利用导数研究函数的单调性学案
利用导数研究函数的单调性
考试大纲解读:
1.了解可导函数的单调性与其导数的关系.
2.导数是研究函数性质的重要工具,它的突出作用是用于研究函数的单调性.每年高考都从不同角度考查这一知识点,往往与不等式结合考察.
知识点归纳:
一、函数的导数与函数的单调性:
1. 若f '(x ) >0, 则f (x ) 为增函数;若f '(x )
2.若函数y =f (x ) 在区间(a ,b ) 上单调递增,则f ′(x ) ≥0,且在(a ,b ) 的任意子区间,等号不恒成立;若函数y =f (x ) 在区间(a ,b ) 上单调递减,则f ′(x ) ≤0,且在(a ,b ) 的任意子区间,等号不恒成立.
3.使f ′(x ) =0的离散的点不影响函数的单调性.
二、利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)求f '(x ) ;
(2)求方程f '(x ) =0的根,设根为x 1, x 2, x n ;
(3)x 1, x 2, x n 将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断f '(x ) 的符号,由此确定每一子区间的单调性。
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例题与习题
求下列函数的单调区间
1. f (x ) =x 3-x 2.f (x ) =x ln x (x >0)
3. f (x ) =ln(2x +3) +x 2 4. f (x ) =(x -1) 2-ln(x -1) 2;
2
5. f (x ) =1
x ln x . 6、f (x ) =x +1
x -1
7、f (x ) =x +2-x 8、f (x ) =sin x
2+cos x
注意事项:
利用导数求单调性是高考的重要热点:
1.若f (x ) 在区间(a ,b ) 上为减函数不能得出在(a ,b ) 上有f ′
2.划分单调区间一定要先求函数定义域;
3.单调区间一般不能并起来.
- 2 - (x )