不等式恒成立.能成立.恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恰好成立问题的处理方法
若不等式f(x)A(或f(x)B)在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)A(或f(x)B)
1的解集为D如:不等式ax2bx10的解集为x1x则ab____ 3
二、不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值:函数f(x)最值易求
(1)若不等式f(x)A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)minA或f(x)下界MA
(2)若不等式f(x)B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)maxB或f(x)上界MA
2、分离参数法: 参数易分离且函数f(x)最值易求
将参数与变量分离,转化为g()f(x)(或g()f(x))恒成立g()f(x)max(或g()f(x)min) 或g()f(x)上界M(或g()f(x)下界M)
3、数形结合:函数图象易画
f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)ming(x)max(xI) 例1、设x[
1,1],xa恒成立,求a的取值范围. 4、主参换位法:将题中已知范围的参数m视为主变元
注意:1:对于函数f(x)kxb,x[m,n]有:
f(m)0f(m)0 f(x)0恒成立,f(x)0恒成立f(n)0f(n)0
2:设f(x)ax2bxc(a0),(1)f(x)0在xR上恒成立a0且0;
(2)f(x)0在xR上恒成立a0且0。
3:设f(x)ax2bxc(a0)
(1) 当a0时,f(x)0在x[,]上恒成立. 法1:分离参数后用极值原理
bbb法22a 或或2a2af()00f()0
f()0,用分离参数法则较复杂。 f(x)0在x[,]上恒成立f()0
(2)当a0时,同理 注意:a=0的讨论
x22xa例2、已知f(x) x
(1)对任意x1,,f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围;
(2) 对任意a1,1,f(x)4恒成立,试求实数x的取值范围;
(3)已知当x1,,f(x)的值域是0,,试求实数a的值.
三、不等式能成立(有解)问题的处理方法
若在区间D上存在实数x使不等式g()f(x)成立,则等价于在区间D上g()f(x)max;
若在区间D上存在实数x使不等式g()f(x)成立,则等价于在区间D上的g()f(x)min.
例3、存在实数x,使得不等式xx3a3a有解,求实数a的取值范围. 2
12ax2x(a0)存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 2
四、两个函数的能成立与恒成立的处理方法: 例4、已知函数f(x)lnx
设两个函数f(x)、g(x)
1. 对x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)min
2. 对x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max
3. x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)min
4. x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)max
5.对x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max
6. 对x1a,b,x2c,d,使得f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)maxg(x)min
1例6、已知函数fxx,gxm,对任意x10,2,存在x21,2,使得f(x1)g(x2)22x
成立,求实数m的取值范围.m
1 4
例7、已知两函数fx8x216xk,gx2x35x24x,其中k为实数。
(1)对任意x[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(2)存在x[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;
(3)对x1,x23,3,都有f(x1)gx2,求k的取值范围。
(4) x1,x23,3,使得f(x1)gx2成立,求k的取值范围;
(5) 对任意x13,3,x23,3,使得g(x2)f(x1)成立,求k的取值范围;
(6)x1,x23,3,使得f(x1)gx2200成立,求k的取值范围;
(7) x1,x23,3,都有f(x1)gx2200成立,求k的取值范围.
1、已知函数fxx22ax1,gxa,其中a0,x0 x
(1)对任意x1,2,都有f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 对任意x11,2,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
2、设x3是函数f(x)(x2axb)e3x(xR)的一个极值点.
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
2(Ⅱ)设a0,g(x)(a25x)e,若存在1,2[0,4]使得f(1)g(2)1成立,求a的取值范围. 4
3、已知函数f(x)=mx(m,nR)在x=1处取到极值2. 2xn
112],总存在唯一的x[,e] (e为自然对数的底),使得22...2e(1)求fx的解析式; (2)设函数gx=ax-lnx.若对任意的x1[
gx2=fx1,求实数a的取值范围.
4(2010山东理数)已知函数f(x)lnxax
(Ⅰ)当a1a1(aR). x1时,讨论f(x)的单调性; 2
12(Ⅱ)设g(x)x2bx4.当a时,若对任意x1(0,2),存在x21,2,使 4
f(x1)g(x2),求实数b取值范围.
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
kx2kx62对任意的xR恒成立,则实数k的取值范围是 1、已知不等式2xx22、①对一切实数x,不等式x3x2a恒成立,则实数a的范围是 ②若不等式x3x2a有解,则实数a的范围是
③若方程x3x2a有解,则实数a的范围是
3、不等式kx2k20有解,则k的取值范围是4、对于满足|p|2的所有实数p, 函数f(x)x2(p2)x1p的值总是正数的x的取值范围是
5、(1)若不等式x22mx2m10对0x1 的所有实数x都成立,则m的取值范围
(2)设fxx22ax2,当x[-1,+]时,都有f(x)a恒成立,则a的取值范围
6、若对任意xR,不等式xax恒成立,则实数a的取值范围是________
7、若x,y满足方程x2(y1)21,不等式xyc0恒成立,则实数c的范围是(1)n1
8、若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立,则实数a 的取值范围是nn
9、已知二次函数f(x)ax2x(aR,a0),若x[0,1]时,总有f(x)1,试求a的取值范围.
210、已知向量a(x,x1),b(1x,t),若函数fxab在区间1,1上是增函数,求实数t
的取值范围.
111、已知函数f(x)ax3bx2x3,其中a0 3
(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
(2)已知a0,且f(x)在区间0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
12、设函数f(x)x4ax32x2b(xR),其中a,bR.若对于任意的a2,2,不等式f(x)1在1,1上恒成立,求b的取值范围.
4x27,x[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域; 13、已知函数f(x)2x
(2)设a1,函数gxx33a2x2a,x0,1,若对于任意x10,1,总存在x00,1使得g(x0)f(x1)成立,求a的取值范围.