信息技术使数学史融入课堂教学的研究

2012．1中国电化教育总第300期文章编号：1006—9860（2012）01—0109—04

教学实践与研究

信息技术使数学史

融入课堂教学的研究*

徐章韬1，虞秀云2

（1.华中师范大学教育信息技术工程研究中心，湖北武汉430079；

2.江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022）

摘要：本文按“理念—方式”的整体框架对比解析了《拼图与勾股定理》和《函数的多项式逼近：历史视角和新工具》这两个课例中信息技术使教育取向的数学史融入课堂教学的成功做法，探讨了信息技术在解构、重构内蕴于教育取向的数学史深处的数学之精神、思想和方法，并使之适用于课堂教学的实践路径。笔者认为，适切的课程理念、有序的融合层次、深入学科的信息技术平台，使信息技术与教育取向的数学史以适切的着眼点进入课堂教学中。

关键词：信息技术；数学史；课例研究法中图分类号：G434文献标识码：B

一、研究问题

教育取向的数学史的教育意义已经引起了数学

教育工作者的极大关切[1]，对课程、教学等都产生了积极的影响。然而，由于缺乏有效的信息技术的支持，一些取材于数学史的、有教育意义的素材虽然能进入课程中，但一时还无法进入课堂教学中。如，历史上圆锥曲线的几何来源及Dandelin双球模型很有教育意义(采用崭新的视角，在空间中研究了三种圆锥曲线，揭示了它们之间的内在联系，让学生了解了焦点、离心率和准线的来源，并体会到了平面与空间的辩证统一关系)，也进入了人教社的选修教材《几何证明选讲》中。但是到目前为止，如此有教育意义的内容还处于“选而不修”的状态，难以进入课堂教学中。原因是采用“粉笔+黑板”讲授时，不容易作出复杂的图形，也不容易探究图形间蕴藏的几何关系。课程标准[2]早就看到了信息技术使数学史融入课堂教学的潜在可能性，故特别指出在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dan-delin双球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。强调教育信息化在教学过程中的应用，进而实现教育质量的显著提升，是教育信息化的重大意义所在[3]。在这种背景下还出现了一些利用信息技术，使

教育取向的数学史很好地融入于课堂教学的教学实践研究。如《基于数学史的“圆的面积”的教学案例设计》[4]通过有（无）信息技术的对比指出，基于数学史的教学案例，如果融入信息技术，将是一件“锦上添花”的事情：浓郁的历史文化氛围与现代文明跨越时空地交织在一起，历史文化使思想更深遂，信息技术使思想更完美。《微分中值定理教学中融历史与技术的案例设计》[5]用信息技术形象化、可视化地揭示了微分中值定理的发展历史，发展了学生的数学直觉，提高了教学的思想深度。《拼图与勾股定理》[6]用超级画板揭示了勾股定理的历史文化，不仅让学生感受到了数学历史文化的深邃，更让学生感受到了“数学是美的”“数学是可以欣赏的”，取得了极大的教学成功。IVYKIDRON的《函数的多项式逼近：历史视角和新工具》[7]用Mathematica揭示了逼近、插值的历史发展过程，并用之于课堂教学，有效发展了学生“做数学”的活动经验。这些经验似乎表明，尘封于厚重历史中的精彩的思想方法，应可以在信息技术的支持下更好地进入课堂之中。这样，信息技术将改变课程内容的传统呈现方式，并深入到课程内容中，就有可能在一个“拟历史发展”的流动过程中实施课堂教学，并使之充满浓郁的文化氛围。这是一种美好的愿景。

经验知识应当理论化。本研究从已有的教学实

*本文为中国博士后科学基金“面向学科的信息技术支持下的数学学科教学知识”（编号：2011M501213）、国家自然科学基金“有限制条件的几何定理机器证明”（编号：60903022）、国家科技重大专项核高基项目“面向国产基础软件的数字教育平滑移植研究及应用”（编号：2010ZX01045-001-005-3）的阶段性成果。

教学实践与研究

践经验出发，探索信息技术如何使教育取向的数学史更好地融入到课堂教学中，为信息技术深入到具体的学科中、具体主题中提供一种可资借鉴的路径。具体地，信息技术应采取何种方式融入教育取向的数学史，才能更好地揭示数学史料中所蕴含的精神、思想和方法，并使之适用于课堂教学。

总第300期中国电化教育2012．1

二、研究设计

（一）研究对象的选取

本研究需要对文本、课件等软性资料（SoftDa-ta）中质的数据进行归纳式的提炼，需要对具体内容作深入细致地分析，故用典型取样法选取国内外两个典型教学实践为研究对象，以提高研究的信度。一个是史艳华老师的《拼图与勾股定理》（以下简称《勾股定理》），另一个是IVYKIDRON的《函数的多项式逼近：历史视角和新工具》（以下简称《多项式逼近》）。在这两个研究中，信息技术与教学做到了真正的融合，就是信息技术一旦剥离出来，课的质量会受到损害[8]。勾股定理是在东西方文化背景下，各自独立发现的人类文明的优秀成果。勾股定理的教学是各国课程改革的“晴雨表”[9]。《勾股定理》立足于教师的教，给出了以教师的教学活动为主线时，信息技术如何使教育取向的数学史走进课堂教学的一些做法。逼近、插值是函数近似表示中的重大问题之一，是一种“以简驭繁”的手段，是一种非常深刻的数学思想。《多项式逼近》反映了在信息技术的支持下，数学研究活动中的高层次思维走进课堂教学的历程。《多项式逼近》立足于学生的学，给出了在教师的导引下，以学生的学习活动为主线时，信息技术如何使教育取向的数学史走进课堂教学的一些做法。这两个研究选材精当、文化背景互异，研究角度互异，以它们为研究对象对比度高，具有典型意义。

（二）课例研究法

本研究采用课例研究法，取决于研究目的。本研究的目的是探讨信息技术如何有效地揭示数学史料的精髓，并使之融入到具体的课堂教学主题中，这完全符合课例研究法的特点：立足于课堂，将理论思想运用于鲜活的教学之中，将宏大的理论转化为个体的教育经验或事件，而不是测量大范围教师群体。本研究也不是为了分析教师外显的教学行为，更多地是为了分析支持教师教学行为的内隐的教学理念。

（三）分析框架

上面两个典型课例涉及三个根本因子：信息技术、教育取向的数学史和课程。我们知道，使用信息技术取得的教学成果，其实并非发轫于技术，主要是由理念、思想和观点决定的[10]。教学行为是教学理念

的表达方式，看得见；教学理念（或目标）内隐于教学行为之中，看不见，但可从教学行为中分析出来，或由教师自己表达出来。我们不仅要从课例中分析出教师“如何做的”，还要解析出教师“为什么要这样做”。本研究参考“目标—手段”的框架，提出“理念—方式”的分析框架，解剖教师的教学行为和教学理念。理念是指教师在课程标准的引领下，对信息技术、数学史与教学内容之间关系的整体思考，期望信息技术、数学史与教学内容如何整合，以更好地在课堂教学中落实课程理念及最大程度地推进学生行为的变化；方式是指教师在处理内容，达成目标的过程中，使用的活动方式的统称。

三、课例中质的数据

《勾股定理》是反映中国本土教育特色的“原生态”的课堂教学实录，从教师制定的教学目标、教学过程、教学反思和专家教师的点评中，可以析出教师的教学行为以及教师教学行为背后的教学理念。《多项式逼近》是反映西方教学理念的课堂教学经验总结，从教师对教学过程的详细描述及说明中可以看到教师的教学行为以及教学行为背后的教学理念。在理念维度上，可分为课程理念、运用数学史的理念、运用信息技术于数学史的理念；在方式维度上，可分为数学史的使用方式、信息技术的使用方式、信息技术融入数学史的方式。因此，从信息技术的使用类别、数学史的使用方式、信息技术的使用方式、信息技术介入数学史的方式、课程理念、等维度得到课例中质的数据如下表所示。

《勾股定理》和《多项式逼近》中质的数据表类别使用的信息技术

《勾股定理》超级画板

《多项式逼近》

Mathematica

把历史上数学家对逼

采撷体现勾股定理证明方

近、插值的思考问题数学史的使用方

法的多样性及其丰富的文

式设计成前后连贯的教

化内涵的史料

学问题

信息技术的使用动态地呈现教学内容的有进行数学实验，支持探

方式力工具究性学习的有力武器

利用计算机软件演示

在数学史沉淀为数学教学各个阶段多项式逼近内容的一个知识点上使用函数的过程，让学生在

信息技术介入数

了信息技术，动态地展现了Mathematica营造的实

学史的方式

历史上解决同一问题方法验环境中，经历从欧拉

到龙格创立理论时所的多样性

经历的心路历程

让学生更便利地经历观察、比较、拼图（操作）、计算、推理、交流等数学教学活动过

获得做数学的经验，

程，发展空间观念和有条理课程理念

发展学生的数学直觉

地思考与表达的能力，获得一些研究问题的、合作交流的方法与经验

课例中质的数据对比总结如下：在理念上，信息

2012．1中国电化教育总第300期

教学实践与研究

画板。超级画板能画，能算，能动，能变，能测，是深入数学学科的动态几何软件，能满足数学教学活动的需要。《多项式逼近》中使用的信息技术是Mathe-matica。Mathematica是一款科学计算软件，在数值计算、代数、图形和其它方面有应用广泛，是“做数学”的好帮手。可见，要依据课程内容的特点选择适当的信息技术，适合内容特点的信息技术才是好工具。

信息技术使教育取向的数学史融入课堂教学需要选取合适的切入点，如可以把与学习内容相适应的学习方式当作切入点：有的内容宜采用有意义的接受式学习方式，有的内容宜采用探究性的学习方式；相应地，课程内容呈现的基本方式也有两种：一是在教师主导下，以讲授方式呈现课程内容，二是学生在教师的导引下，以探究方式学习课程内容。这样，信息技术的使用方式也有两种：一是动态呈现课程内容；二是支持探究学习。从根本上说，《勾股定理》是以讲授的方式呈现几何课程内容。只不过由于有信息技术的支持，原先由教师讲解的内容，现在变由信息技术动态地呈现了。寻找变化过程中的不变量和不变性是数学研究任务之一，而超级画板的动态性为营造变化的过程提供了技术上的有力支持。学生在从动手操作到动脑思维的过程中更好地体验到了事物的关键特征，在动态变异中改变了知识的获取方式，培养了探究创新能力。《多项式逼近》是以探究的方式呈现代数课程内容。代数课程抽象，信息技术使得抽象的公式、符号栖居于形象之上，生成了可视化的表象。信息技术还使得学生和数学家一起思，一起做，体会到了不同理论创立者的不同方法，学到了活的数学。信息技术有助于改变课程内容的呈现方式、学习方式。如还可以考虑信息技术在何处切入数学史。《勾股定理》表现了信息技术与数学史可以在认知凝聚成知识的点上深度融合；《多项式逼近》则反映了信息技术与数学史在认知的发生发展过程中深度融合。图1是信息技术选取合适的切入点使教育取向的数学史融入课堂教学的示例。

技术既能充分揭示课程内容中所内蕴的历史文化价值，也能有效地揭示知识的发生发展过程；既是沟通内容间实质关系的有效手段，也是一种变革学习方式的有效手段。在方式上，信息技术与教育取向的数学史既可以在认知凝聚成知识的点上深度融合，也可以在认知的发生发展过程中深度融合；信息技术既可以作为动态呈现内容的有效手段来使用，也可以作为变革学习方式、促进理解的有效工具来使用。

四、讨论、分析及主张

由于融信息技术与教育取向的数学史于一体的课堂教学涉及到多种理念，这些理念间的关系决定了信息技术、数学史和课程的整合路径及整合方式，因此信息技术、数学史与课程该如何整合是一个多因素的、全新的研究领域。数学史料成为课程理念、课程内容的文化载体，一方面可以展现数学文化的多样性，另一方面也可以遵循数学的发生发展路径来推动学生对课程内容的理解。从这个意义上说，数学史与课程的关系，较之信息技术与课程的关系更为密切。这样，信息技术、数学史和课程的整合就可分为两个层次：一是数学史与课程的整合；二是信息技术与融数学史于一体的课程整合。《勾股定理》直接呈现与课程内容有关的数学史料，借以丰富课程的文化内涵，并让学生用信息技术对图形进行操作，揭示各种证法的实质及内在联系，从而让学生领悟到数学思想的精髓。《多项式逼近》不是直接呈现与课程有关的数学史料，而是把数学史料设计成前后连贯的问题，让学生在信息技术的支持下，自主探索，历经数学思想发展的各个阶段。课程理念的不同决定了数学史融入课程及信息技术融入数学史的理念和方式的不同。《勾股定理》的侧重点在于探讨如何更有效地向中学生传递数学知识，数学史料的运用更多是相当于一种“佐料”，用以提高课堂教学的文化品味，信息技术是一种很好的提高教学效率的工具；而《多项式逼近》的侧重点在于发展大学生“做数学”的活动经验，数学史料成了“问题之源”，而信息技术是一种很好的“做数学”的工具，发展数学直觉的工具。

信息技术的选取对理念的顺利实施有很大的影响。信息技术与课程的有机整合需要有深入学科的信息技术[11]。大部分数字技术的产生并非出于教育的目的。当把普适的数字技术应用到教育中时，就会费力不讨好。道理其实很简单，“工欲善其事，必先利其器”。《勾股定理》中使用的信息技术是优秀的国产教育软件———超级

根据上面的讨论与分析，

信息技术使数学史融

教学实践与研究

入课堂教学的可能路径如下：（1）课程理念决定了数学史料的选取、信息技术的使用方式及其与数学史料的融合方式。这是理念上、认识上的问题，也是需要首先解决的问题。（2）第一层次的融合，把数学史教育取向应用到实施课程中。以恰当的方式把数学史教育取向融合到实施课程中（或在知识点上融合，或在知识的发生发展过程中融合），使数学史料成为课堂教学内容的有机组成部分，成为体现课程理念的载体。这是第二层次融合的“脚本”。数学教育界在这方面做过大量的工作，有较为成功的经验可资借鉴[12]。（3）根据课程内容的特点，选取深入学科的信息技术。（4）第二层次的融合，把信息技术与第一层次的融合结果再次融合。这里有不同的着眼点，或立足于改变学生的学习方式，让学生在信息技术的支持下，自主探究，感受数学历史思想的深邃；或立足于信息技术的动态功能，揭示课程内容的实质，使课程内容浸润文化，提升课堂教学的文化品味；或立足于信息技术的可视化功能，化抽象为形象，使抽象栖居于形象之上，揭示思想方法发展的过程性、阶段性，发展学生的直观洞察力。这条可能路径如图2所示。

目标

总第300期中国电化教育2012．1

综上，适切的课程理念，有序的融合层次，深入学科的信息技术平台，使信息技术与教育取向的数学史以适切的着眼点进入课堂教学中。

参考文献：

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[10]李芒.论信息技术的教学价值[J].电化教育研究,2007,（8）:4-8.[11]张景中,彭翕成.深入数学学科的信息技术[J].数学教育学报,2009,

（5）:1-7.

脚本

平台

在深入学科的信息技术的支持下

第二层次的融合：把信息技术与第一层次的结果再次融合

着眼点

作者简介：

徐章韬：博士，副教授，国家数字化学习中心在站博士后研究人员，研究方向为信息技术背景下

（[email protected]）。立足于改变学生的学科教学知识

学习方式

立足于信息技术的动态功能

立足于信息技术的可视化功能

实施

2011年8月30日誅收稿日期：

责任编辑：朱广艳

图2信息技术使数学史融入课堂教学的可能路径