高中数学空间几何体综合测试题

高中数学空间几何体综合测试题

第一部分 三视图

一、 选择、填空题

1、 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为__12___.

正(主) 视图 侧(左) 视图

俯视图

2、一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6

（B ）12

正(主) 视图 侧(左) 视图

（C ）24 （D ）36

3、已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边

三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三 俯视图

角形，则此三棱锥的体积等于 （B ）

（A

（B

正视图

（C

）4 （D

）3

俯视图

4、一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 (A) 2 (B )

4

3

(C) 1+

1

5、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm ），则这个几何体的体积是（ ）

53cm 233

C ． 2cm 3 D ． cm

2

A ． 3cm 3 B ．

6、已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，

俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（B ）

（A

）

正视图

（B

） 33 （D

） 33

俯视图

（C

）

7、如图所示，O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能是(A) ．．．

(A) (B) (C)

(D)

8、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥

P -ABC 的主视图与左视图的面积的比值为____1_____.

9、一几何体的三视图如左下图所示，则该几何的体积是

体

主视（第10题

俯视

左视

3500

3

10、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示

（单位：cm ），则这个几何体的表面积是（ ） A ．9πcm 2 B ．12πcm 2 C ．15πcm 2 D ．24πcm 2

第二部分 立体几何

1、对于平面α和异面直线m , n ，下列命题中真命题是

（A ）存在平面α，使m ⊥α，n ⊥α（B ）存在平面α，使m ⊂α，n ⊂α （C ）存在平面α，满足m ⊥α，n //α（D ）存在平面α，满足m //α，n //α 2、空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫

做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到

γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，β，

则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（C ）

（A ） 3- （B ）3-2 （C ）6-3 （D ）

3、如图，四面体OABC 的三条棱OA , OB , OC 两两垂直，OA =OB =2, OC =3，D 为四面体OABC 外一点. 给出下列命题. ①不存在点D , 使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D , 使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D , 使CD 与AB 垂直并且相等

④存在无数个点D , 使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是

（A ）①②（B ）②③（C ）③（D ）③④ 4、给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；

③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；

C

D

O

B

④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．

其中为真命题的是

（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④ 5、空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为

该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为

（A ）3 （B ）3-2 （C ）6-3 （D ）3-

6、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ② 若α//β，m ⊂α，则m //β；

③ 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④ 若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β． 其中正确命题的序号是(D) (A) ①③ (B) ①②

(C)③④ (D) ②③

7、已知平面α β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中 错误的是 D ．．

A ．若m //β，则m //l B ．若m //l ，则m //β C ．若m ⊥β，则m ⊥l D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 8、对于四面体ABCD ，有如下命题 ①棱AB 与CD 所在的直线异面；

②过点A 作四面体ABCD 的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点； ③若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点， 其中正确的是 (A) ①

(B) ②③

(C ) ①④

(D) ①③

9、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α；

② 若α//β，m ⊂α，则m //β；

③ 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④ 若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β． 其中正确命题的序号是(D) (A) ①③ (B) ①②

(C) ③④ (D) ②③

10、已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面, 下列命题中正确的是（C ） （A ） a //b ，b //α，则a //α

（B ） a ，b ⊂α，a //β，b //β，则α//β （C ） a ⊥α，b //α，则a ⊥b

（D ） 当a ⊂α，且b ⊄α时，若b ∥α，则a ∥b

11、已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，那么“l //m ”是“l //α”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

二、解答题

1、（本小题满分13分）

如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF //DE ，DE =3AF ，

BE 与平面ABCD 所成角为600.

(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求二面角F -BE -D 的余弦值；

（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM //平面BEF ，并证明你的结论.

(Ⅰ) 证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，

所以DE ⊥AC . „„„„„„„„2分 因为ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ，

从而AC ⊥平面BDE . „„„„„„„„4分 (Ⅱ) 解：因为DA , DC , DE 两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示.

F C

因为BE 与平面ABCD 所成角为60，即∠DBE =60，

分

所以

ED

=3. DB

由AD =3可知DE =AF =„„„„„„6分

则A (3,0,0)，F ，E ，B (3,3,0)，C (0,3,0)，

所以BF =(0,-，EF =(3,0,-， „„„„„„7

分

⎧⎧⎪n ⋅BF =0⎪-3y +=0

设平面BEF 的法向量为n =(x , y , z ) ，则⎨ ，即， ⎨

⎪⎪⎩n ⋅EF =0⎩3x -=0

令z =分

则n =4(2, 6)

. „„„„„„„8

因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，CA =(3,-3,0) ，

n ⋅CA „„„„„„„9o 分 c 〈n CA 〉===

n CA 所

以

因为二面角为锐角，所以二面角F -BE -D 的余弦值为

. „„„„„„10分 13

(Ⅲ) 解：点M 是线段BD 上一个动点，设M (t , t ,0) .

则AM =(t -3, t ,0) ，

因为AM //平面BEF ，

所以AM ⋅n =0， „„„„„„„11

分

即4(t -3) +2t =0，解得t =2. „„„„„„„12分

此时，点M 坐标为(2,2,0) ，BM =分

2、（本小题满分13分）

如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，∠ADE =90，

1

BD ，符合题意. „„„„„„„133

AF //DE ，DE =DA =2AF =2.

(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求证：AC //平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.

(Ⅰ) 证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，∠ADE =90，

F

D

C

A 所以DE ⊥平面ABCD ， „„„„„„„2分 所以DE ⊥AC . „„„„„„„3分 因为ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ，

所以AC ⊥平面BDE . „„„„„„„4分 (Ⅱ) 证明：设AC BD =O ，取BE 中点G ，连结FG , OG ，

//1DE . „„„„„„„„5OG =所以，

2

分

//OG ， „„„„„„„„6因为AF //DE ，DE =2AF ，所以AF =

分

AFGO 而四边形是平

FG //AO . „„„„„„„„7分

从因

为

行四边形，

FG ⊂

平面

BEF

,

AO ⊄

平面

BEF , „„„„„„„„8分

所以AO //平面BEF ，即AC //平面BEF . „„„„„„„„9分

（Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ,

所

以

AB ⊥

平面

A

. „„„„„„„„11分

因为AF //DE , ∠ADE =90, DE =DA =2AF =2，

所以∆DEF 的面积为分

1

⨯ED ⨯AD =2， „„„„„„„„122

41

S ∆DEF ⨯AB =. „„„„„

33

所以四面体BDEF 的体积=

3、（本小题共14分）

已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形．∠BCD =60，AB =PB =PD =

2，

PC =，AC 与BD 交于O 点，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．

（Ⅰ）求证：EC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD ；

（Ⅲ）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 所以EO ∥PC ．

又EO ⊂平面BDE , PC ⊄平面 所以PC ∥平面BDE ．

C

（Ⅱ）证明：连结OP ， 因为PB =PD ，

所以OP ⊥BD ．

在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ， 又因为OP AC =O ， 所以BD ⊥平面PAC ． 又PH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥PH ．

在直角三角形POB 中，OB =1，PB =2，

所以OP =

又PC ，H 为OC 的中点， 所以PH ⊥OC ． 又因为BD OC =O 所以PH ⊥平面ABCD ．

（Ⅲ）解：过点O 作OZ ∥PH ，所以OZ ⊥平面ABCD ．

如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系．

可得，A ，B

(0,1,0)，C (，

P (

33) ，E ) ．

24

3所以AB =(,0) ，AP =( ) ，

2 3

CE =) ．

4

设n =(x , y , z ) 是平面PAB 的一个法向量，则

⎧+y =0

⎧n ⋅AB =0⎪⎪

，即⎨， ⎨ 3

x +z =0⎪⎪⎩n

⋅AP =0

⎩2

令x =

1，则n =(1． 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，

4〈n , CE 〉=． 可得sin θ=cos

7

所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为

4、（本小题共13分）

4

． 7

已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形．PB =PD ，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE ．

„„„„„„„„6（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB =PD ，

所以OP ⊥BD ．

在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 因为OP AC =O 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE

C

C

所以平面PAC ⊥平面BDE ． „„„„„„„„13分

5、（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD //BC ，

∠ABC =∠PAD =90︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若PA =AB =BC =

1

AD . 2

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得BE //平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证

明，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A -PD -C 的余弦值. 解法一：

（Ⅰ）因为 ∠PAD =90︒，所以PA ⊥AD .

又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD =AD ， 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD .

在底面ABCD 中，因为∠ABC =∠BAD =90︒，AB =BC =

1

AD ， 2

所以

AC =CD =

AD ， 所以AC ⊥CD . 2

又因为PA AC =A ， 所以CD ⊥平面PAC . „„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得BE //平面PCD ，

证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，

1

则EF //AD ，且EF =AD .

2

由已知∠ABC =∠BAD =90︒，

1

所以BC //AD . 又BC =AD ，

2

所以BC //EF ，且BC =EF ，

所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE //CF .

因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，

所以BE //平面PCD . „„„„„8分

（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，

则 CG ⊥AD .

又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH ⊥PD 于H ，

连结CH ，由三垂线定理可知CH ⊥PD .

- 11 -

所以∠GHC 是二面角A -PD -C 的平面角.

设AD =2，则PA =AB =CG =DG =

1, DP =. 在∆PAD 中，

GH DG =

，所以GH =. PA DP CG =

，cos ∠GHC =. GH 所以

tan ∠GHC =

即二面角A -PD -

C „„„„„„„„„„„„13分

解法二：

因为 ∠PAD =90︒， 所以PA ⊥AD .

又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD =AD ， 所以 PA ⊥底面ABCD . 又因为∠BAD =90︒，

所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.

设AD =2，则A (0,0, 0) ，B (1,0, 0) ，C (1,1, 0) ，D (0,2, 0) ，P (0,0, 1) .

（Ⅰ）AP =(0,0, 1) ，AC =(1, 1, 0) ，CD =(-1, 1, 0) ,

所以 AP ⋅CD =0，AC ⋅CD =0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .

又因为AP AC =A ， 所以CD ⊥平面PAC . „„„„„„„„„„„„4分

11

（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则E (0, 0, ) ，BE =(-1, 0, ) .

22

⎧⎪n ⋅CD =0,

设平面PCD 的一个法向量是n =(x , y , z ) ，则⎨

⎪⎩n ⋅PD =0.

因为CD =(-1, 1, 0)，PD =(0, 2,-1) ，

⎧-x +y =0, 所以⎨ 取x =1，则n =(1, 1, 2).

⎩2y -z =0. 1

所以n ⋅BE =(1, 1, 2)⋅(-1, 0, ) =0， 所以n ⊥BE .

2

- 12 -