第一章直线和平面 三垂线定理

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 三垂线定理教案

教学目标

1．使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理；

2．通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想．具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上；

3．能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用．注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力．进一步提高学生的空间想象能力．

教学重点和难点

1．三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力；

2．变异位置下三垂线定理的应用．

教学设计过程

师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？

（思维从问题开始，点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续）

生：相交、平行或异面．

师：对．我们可把上述三种情况表述为

其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了．两条直线相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直，值得作深入的研究．而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况．

（进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题）

我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定．即如果两条异面直线所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂

直．

师：回答得很好．实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的．这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法．但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？

（进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法）

生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定．即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了．

师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法．要证线线垂直，只需证线面垂直．

（为三垂线定理的证明埋下伏笔！）

于是，新问题是：如何找出这样一个平面——过l 且与a 垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l 当然不在其内）都与直线a 垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l 相交的直线又与a 垂直呢？

（启而不发，由学生思考）

生：过l 上一点P （异于点O ），作PA ⊥α于A ，则由线面垂直的性质有a ⊥PA ．

师：很好！在图3中，作出PA ⊥α于A （此时不连结AO ），并板书

生：不对，首先应刻画“在平面内”的一条直线．

师：对！这非常重要（板书三垂线定理）．试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述．

如图4，PA ⊥α于A ，PO ∩α＝O ，AO 是PO 在平面α上的射影．a α，若a ⊥AO ，则a ⊥PO ．

请写出条件和结论．（板书）

已知：PA ⊥α于A ，PO ∩α＝O ，（这里已隐含AO 为斜线PO 在平面α上的射影）a α，a ⊥AO ．

求证：a ⊥PO ．

（请学生完成证明过程．事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了．只要请学生到黑板板演，并订正即可）

师：你能给这条定理起个名字吗？

生甲：我从条件中发现有两个垂直关系．我给他起名叫“两垂线定理”．

（生哄笑）

师：好！如果是你第一个发现这条定理的，可能今天就叫两垂线定理了．结论中还有一个重要垂直呢？

生乙：最好叫三垂线定理吧！

师：好！这就是立体几何中重要的三垂线定理．它是证明空间线线垂直的重要定理． 两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面α的垂线PA 是关键！我们如何记忆这条定理呢？

生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直．

生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系．

师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆．实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA ⊥α于A 的前提条件和a α内的关键词语．

要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？

生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了．

师：请同学探求一下平面内的直线a 就这一条吗？

生：不止一条，因为在平面α内，只要与a 平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的直线是一组平行直线．

师：演示一组抽拉投影片．如图5，只需将动片（含直线a 的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线．当且仅当a 通过O 点时a 与PO 是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系．

（图中框片1为固定不动，片2可以抽拉，a 画在2上，左、右抽拉可显示a 的运动过程为一组平行直线）

师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明．

（前面在三垂线定理的探求过程中，已把它的大前提、小前提及结论分析清楚，故在这

里学生可比较顺利地构造出它的逆命题）

生：只要把三垂线定理中的小前提a ⊥AO ，与结论中的a ⊥PO 互换一下就可以了． （师把板书中的条件a ⊥AO 与结论a ⊥OP 互换）

是真命题吗？

生：是！与三垂线定理的证明思路一样．

例1 如图6，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 平面，C 为圆O 上任一点（异于A ，B ）．试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由．

（这是立体几何中一个重要图形．既有线面垂直问题，又有线线垂直，既有三垂线定理的应用，又有平面几何知识的运用）

生甲：两个．分别是Rt △PAC ，Rt △PAB ．

生乙：三个．还应有Rt △PCB ．

师：谁是直角？理由是什么．

生乙：∠PCB ，由三垂线定理可证．

师：你能叙述一下吗？根据三垂线定理的操作程序叙述清楚．

生乙：因为PA ⊥⊙O 平面，PC ∩⊙O 面＝C ，因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，所以BC ⊥PC ．

师：生乙证明中，什么地方还应再强调一下．

生丙：BC 平面⊙O ．

师：除这三个直角三角形外，还有吗？

生：还应有一个Rt △ABC ，因为直径上的圆周角为直角．

师：好！这样才全面认识了这个空间图形．事实上图形P-ABC 是一个三棱锥．原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形，请同学思考：你能再构造一个三棱锥，使它的四个面全是直角三角形吗？（课下继续思考）

师：通过例1，作出判断的关键是什么？

生：平面的垂线PA 是关键，有它就能保证前三个Rt △．

例2 如图7，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，且AB ＝3，AD ＝4，PA ＝3，求点P 到CD ，AB 和BD 的距离．

（此例的关键是用三垂线定理．作出它们的距离，再化归为解Rt △的问题．可能有如下典型错误）

1．学生往往还是应用直角三角板，用平面几何方法过P 作PH ⊥CD 于H ，使∠PHC ＝90°，如图8．通过此例进一步说明用概念指导作图的重要性．进一步阐述空间图形中保平行不保角的规律，经启发学生可发现只要连结PD ，由三垂线定理可保证PD ⊥CD 于D ，于是PD 就是点P 到直线CD 的距离．

2．连结BD ，AC ，令AC ∩BD ＝O ，连结PO ，则PO 是P 到BD 的距离．这里误认为ABCD 为正方形了！

对第三个问题的分析，可说明既可利用三垂线定理构造点P 到BD 的距离．又可先作出距离PH ．如图9，再用三垂线定理的逆定理证明AH ⊥BD ．再通过解Rt △ABD ，求出斜边上的高AH ，最后可解PH ．

师：请给出完美的简答．

生：如图10，连结PB ．

因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，且BC 平面ABCD

所以PB ⊥BC ，于是PB 为点P 到直线BC 的距离．

生丙同学能在变异形式下应用三垂线定理，这种能力我们要有意识地进行培养和训练． 师：D1B 和AB1的位置关系呢？

生丁：还是垂直位置关系，这里D1A1⊥平面ABB1A1，连A1B ，则由三垂线定理可证D1B 和AB1垂直．

师：很好！这里基础平面是ABB1A1，而面的垂线是D1A1，A1B 是D1B 在平面ABB1A1上的射影．于是构造出应用三垂线定理的条件，使问题得到解决．

那么D1B 与B1C 呢？

生：当然还垂直了！依据的还是三垂线定理，这里基础平面是BCC1B1，面的垂线是D1C1．

师：通过一组投影片，演示变异形式下三垂线定理的应用．（以正方体为载体）

（1）如图12，换一个角度看问题．试判断正方体对角线A1C 和面对角线BD 的位置关系．

显然A1A ⊥平面ABCD ，A1C ∩平面ABCD 于C ，则AC 为A1C 在平面ABCD 上的射影，又BD ⊥AC ，所以BD ⊥A1C ．（三垂线定理）

（2）如图13，试判断正方体对角线B1D 与面对角线AD1的位置关系．

演示投影片，将正方体中局部旋转成图12下部分，于是问题就化归为（1）的问题结论．最后再覆盖上含辅助线与字母的图形，如图14，即化归为三垂线定理的常规图形．

对变异形式下三垂线定理的应用，是立体几何中一个重要能力要求．

例4 有一方木料，右侧面上有一点M ，要经过点M 在右侧面画一条直线和AM 的连线

垂直，应该怎样画．（如图15）

（在前三个例题的基础上，例4可较顺利地得到解决）

生：连结BM ，AM ，因为AB ⊥平面BCC1B1，所以BM 为AM 在平面BCC1B1上的射影．因此只需在平面BCC1B1上，过点M 作BM 的垂线EF 即可，其理论依据是三垂线定理．

课堂教学小结

这节课我们通过对“平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线”问题的探讨．具体方法是把问题转化为“平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一的直线——射影”的位置关系的研究，而得出三垂线定理．这充分体现了研究立体几何的基本思想方法——降维转化的思想方法，将空间问题转化为平面问题来解决．

对三垂线定理本质的理解有如下四点：

（1）从证明思路看

布置作业

1．课本p ．30 练习1；

2．课本p ．31～p ．32 习题四11，12，13．

课堂教学设计说明

三垂线定理是空间图形中直线和平面位置关系的关键性定理，它起到承上启下的作用，涉及到与“垂直”有关的几乎所有领域，是立体几何问题平面化，降维转化思想方法的具体体现．因此，教学过程中特别注意问题的引入与线线垂直，线面垂直相关联，进而将其纳入证明线线垂直与线面垂直的逻辑结构中．突出渗透化归转化的数学思想方法．同时对变异形式下三垂线定理应用的训练给予充分的重视，这样才能为灵活运用三垂线定理打下坚实的基础．