高中数学复习专题之极限的概念及其运算的考点解析及例题辅导
极限的概念及其运算
高考要求
极限的概念及其渗透的思想,在数学中占有重要的地位,它是人们研究许多问题的工具本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念,并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题。
重难点归纳
1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限
学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限个在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能直接求极限
3
(1)n
0,liman0(|a|1) lim
nnn
a0
b,当kl时0
a0xka1xk1ak
0,当kl时 limll1
nb0xb1xb1
不存在,当kl时
例1已知lim(x2x1-ax-b)=0,确定a与b的值
x
命题意图在数列与函数极限的运算法则中,都有应遵循的规则,也有可利用的规律,既有章可循,有法可依因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能
知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理,这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法
错解分析 技巧与方法有理化处理
解 lim(xx1axb)lim
2
(x2x1)(axb)2
xx1axb
2
xx
lim
x
(1a2)x2(12ab)x(1b2)
xx1axb
2
要使上式极限存在,则1-a2=0,
当1-a2=0时,
1b2
(12ab)2
(12ab)x(1b2)(12ab)上式limlimxx1a11bx2x1axb1a
xx2x
(12ab)
由已知得0
1a1a20a1
解得1 (12ab)
b021a
例2设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-与n无关的常数,且b≠-1
(1)求an和an-1的关系式;
(2)写出用n和b表示an的表达式;
∴
1
,其中b是
(1b)n
(3)当0<b<1时,求极限limSn
n
命题意图历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式,前n项和Sn等有紧密的联有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限,或先求出前n项和Sn再求极限,本题考查学生的综合能力
知识依托解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系
错解分析本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一
技巧与方法抓住第一步的递推关系式,去寻找规律
解(1)an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-
11
(1b)n(1b)n1
=-b(an-an-1)+
b
(n≥2) n
(1b)
解得an=
bban1 (n≥2) 1b(1b)n1
(2)a1S11ba1
1b,a11b(1b)2
bbb1b2b2b
an[an2]()an2
1b1b1b(1b)n(1b)n1(1b)n1b2bbbb2
()[an3]1b1b(1b)n1(1b)n1(
b2bbb
)an3,1b(1b)n1
2
3
bn1bb2b3bn1由此猜想an()a1
1b(1b)n1把a1
b
代入上式得2
(1b)
bbn1
(b1)
bb2bn(1b)(1b)n1
an
(1b)n1
n(b1)2n1
1bbn11
(3)Sn1ban1b
(1b)n(1b)(1b)n1(1b)n1b(bbn1)1n1
1()(b1),n
1b1b(1b)
0b1时,limbn0,lim(
n
n
1n
)0,limSn1.
n1b
nn1
例3求 n解:当a2或a2时,lim
a2nn1
n2a
nn1
121()n1
1
lim;
2na()naa
当2a2时,lim
a2nn1
n2a
nn1
a1()n
1; liman
2a()n4
2
an2n132n11
当a2时,limnlim2n1; n1
n2an62
当a2时,
an2n1(2)n2n1
2nan12n(2)n1
2n2n12n11
(n为奇数)n
2n2n1326
n
n1n1
22323(n为偶数)2n2n12n2
巩固练习
1 an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数,则lim(
n
111)等于 a1a2an
2
B0
C1
D-1
2若三数a,1,c成等差数列且a2,1,c2又成等比数列,则lim(
B1
C 0或1
acn
)的值是( ) 22
nacD不存在
3lim(xxxx) =_________
n
4 若lim(a2n2n1nb)=1,则ab的值是_________
n
5 在数列{an}中,已知a1=
33111,a2=,且数列{an+1-an}是公比为的等比数列,数5210010
列{lg(an+1-
1
an}是公差为-1的等差数列 2
(1)求数列{an}的通项公式; (2)Sn=a1+a2+…+an(n≥1),求limSn
n
6 设f(x)是x的三次多项式,已知lim
f(x)f(x)f(x)
=1,试求lim的值 (alim
n2ax2an4ax4anx3a
为非零常数)
7已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公式分别为p、q,其中p>q,且p≠1,q
≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求lim
Sn
的值
nSn1
参考答案
1解析anC2n
n(n1)111
,2(), 2ann1n
lim(
n
1111
)lim2(1)2
na1a2ann
答案A
ac2ac2ac2
2解析22 , 得2 或2
22
ac1ac2ac6
答案 C
二、3解析 lim(xxxx)lim
xxxxxxxx
xx
lim
x
1x1x
1. 21
3
x2
1
答案1 2
4解析
原式=lim
n
a2(2n2n1)n2b2a2nn1nb
2
lim
n
(2a2b2)n2a2na2
a2nn1nb
2
1
222ab0a22
b42b1
∴a·b=82 答案 82
11331an}是公比为的等比数列,且a1=,a2=,
2510100
111131311n-111n1
∴an+1-an=(a2-a1)()n-1=(-×)()=()n1,
[**************]
11
∴an+1=an+n1 ①
210
1
又由数列{lg(an+1-an)}是公差为-1的等差数列,
213113
且首项lg(a2-a1)=lg(-×)=-2,
210025
5解(1)由{an+1-
1
an)=-2+(n-1)(-1)=-(n+1), 2
11--
∴an+1-an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1) ②
22
511n+1
①②联立解得an=[()n+1-()]
2210
∴其通项lg(an+1-
5n1k1n1k1
(2)Sn=ak[()()]
2k12k1k110
n
11
()2()2511
limSn[]
11n2911210
6 解由于lim
f(x)
=1,可知,f(2a)=0
x2ax2a
①
同理f(4a)=0 ②
由①②可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式,由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里A、C均为待定的常数,
由lim
f(x)A(x2a)(x4a)(xC)
1,即limlimA(x4a)(xC)1,
x2ax2ax2ax2ax2a
③
得A(2a4a)(2aC)1,即4a2A-2aCA=-1
同理,由于lim
f(x)
=1,得A(4a-2a)(4a-C)=1,即8a2A-2aCA=1 ④
x4ax4a
11
由③④得C=3a,A=2,因而f(x)= 2 (x-2a)(x-4a)(x-3a),
2a2a
f(x)111
limlim2(x2a)(x4a)2a(a) x3ax3ax3a2a22a
a1(1pn)b1(1qn)7.解:Sn
1p1qSn
Sn1
a1(1pn)b1(1qn)
1p1q
a1(1pn1)b1(1qn1)
1p1q
a1(1q)b1(1p)a1(1q)pnb1(1p)qn
a1(1q)b1(1p)a1(1q)pn1b1(1p)qn1
由数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,知p>0,q>0
a1(1q)b1(1p)a1(1q)pnb1(1p)qn
Snpn
当p1时limlimn1
nSn1na1(1q)b1(1p)a1(1q)pb1(1p)qn1
pn
a1(1q)b1(1p)qn
a(1q)b(1p)()11
ppn
lim当p<1时,q<
1qn11na1(1q)b1(1p)
a1(1q)b1(1p)()n1
pppp
0a1(1q)0p.
1
0a1(1q)0
p
1, limpnlimpn1limqnlimqn10
n
n
n
n
lim
Sn
1
nSn1