必修二数学 第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

一、选择题

1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( ) ． A ．相交

B ．外切

C ．内切

D ．相离

2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( ) ． A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

3．若圆C 与圆(x ＋2) 2＋(y －1) 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) ． A ．(x －2) 2＋(y ＋1) 2＝1 C ．(x －1) 2＋(y ＋2) 2＝1

B ．(x －2) 2＋(y －1) 2＝1 D ．(x ＋1) 2＋(y －2) 2＝1

4．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( ) ． A ．x －y ±＝0 C ．2x －y －＝0

B ．2x －y ＋＝0 D ．2x －y ±＝0

5．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) ． A ．2

B ．2

C ．22

D ．42

6．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( ) ．

A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0 C ．x 2＋y 2－2y ＝0

B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0 D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝0

7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) ．

A ．30

B ．18

C ．62

D ．52

8．两圆(x －a ) 2＋(y －b ) 2＝r 2和(x －b ) 2＋(y －a ) 2＝r 2相切，则( ) ． A ．(a －b ) 2＝r 2 C ．(a ＋b ) 2＝r 2

B ．(a －b ) 2＝2r 2 D ．(a ＋b ) 2＝2r 2

9．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2

＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) ．

A ．14或－6

B ．12或－8

C ．8或－12

D ．6或－14

10．设A (3，3，1) ，B (1，0，5) ，C (0，1，0) ，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( ) ．

A ．

4

B ．

53 2

C ．

53 D ．

22

二、填空题

11．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．

12．已知直线x ＝a 与圆(x －1) 2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________． 14．若A (4，－7，1) ，B (6，2，z ) ，|AB |＝11，则z ＝_______________．

15．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆(x －1) 2＋(y －1) 2＝1的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为 ．

三、解答题

16．求下列各圆的标准方程：

(1) 圆心在直线y ＝0上，且圆过两点A (1，4) ，B (3，2) ；

(2) 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1) ．

17．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．

18．圆心在直线5x ―3y ―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．

19．已知圆C :(x －1) 2＋(y －2) 2＝2，点P 坐标为(2，－1) ，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．

(1) 求直线P A ，PB 的方程； (2) 求过P 点的圆的切线长； (3) 求直线AB 的方程．

20．求与x 轴相切，圆心C 在直线3x －y ＝0上，且截直线x －y ＝0得的弦长为27的圆的方程．

参考答案

一、选择题 1．A

解析：C 1的标准方程为(x ＋1) 2＋(y ＋4) 2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2) 2＋(y ＋2) 2＝() 2，半径r 2＝．圆心距d ＝2 ＋ 1) 2 ＋ (2 － 4) 2＝．

因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C

解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2) 2＋(y ＋1) 2＝4，(x ＋2) 2＋(y －2) 2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝2 ＋ 2) 2 ＋ (－ 1 － 2) 2＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，

所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A

解析：已知圆的圆心是(－2，1) ，半径是1，所求圆的方程是(x －2) 2＋(y ＋1) 2＝1． 4．D

解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1) 2＋(y －2) 2＝1．由

2 － 2 ＋ b 2 ＋ 1

2

2

＝1解得b ＝±．

故所求直线的方程为2x －y ±＝0． 5．C

解析：因为圆的标准方程为(x ＋2) 2＋(y －2) 2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A

解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．

依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1) 2＋y 2＝1，圆心为(1，0) ， 所以过点(1，0) 且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2) ．

联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1) ．故所求圆的半径r ＝|AC |＝2 ＋ 32＝．

(第6题)

所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2) 2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C

解析：因为圆的标准方程为(x －2) 2＋(y －2) 2＝(32) 2，所以圆心为(2，2) ，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝

102

＞r ，

所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r ) －(d －r ) ＝2r ＝62． 8．B

解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a ) 2＋(a －b ) 2＝(2r ) 2． 化简即(a －b ) 2＝2r 2． 9．A

解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1) ＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得

0 － 0 ＋ c － 4

3 ＋ 1

2

2

＝，即|c －4|＝10，

所以c ＝14或－6．

10．C

3⎛⎫

， 3⎪， 解析：因为C (0，1，0) ，容易求出AB 的中点M 2，2⎝⎭⎛3⎫

所以|CM |＝2 － 0) ＋ － 1⎪ ＋ ． (3 － 0) 2＝

2⎝2⎭

2

2

二、填空题

11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．

解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0) ． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3) ． 3⎫⎛

⎪． 所以AB 的中点，即圆心为 － 2，2⎭⎝

3⎫25⎛

因为|AB |＝4 ＋ 3＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2) ＋ y － ⎪＝．

2⎭4⎝

2

2

2

2

即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．

解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0) 和(2，0) 时与圆相切，

所以a 的值是0或2．

13．8．

解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5) 或(0，－3) ．

所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3) ＝8． 14．7或－5．

2

解析：由6 － 4) 2 ＋ (2 ＋ 7) 2 ＋ (z － 1) 2＝11得(z －1) ＝36．所以z ＝7，或－5．

15．22． 解析：如图，S

四边形

P ACB ＝2S △P AC ＝

1

|P A |·|CA |·22

＝|P A |，又|P A |＝PC |2－1，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为

|3＋4＋8|3＋4

2

2

＝3．

(第15题)

于是S 四边形P ACB 最小值为32－1＝2． 三、解答题

16．解：(1) 由已知设所求圆的方程为(x －a ) 2＋y 2＝r 2，于是依题意，得 ⎧a ＝ － 1，⎧(1 － a ) 2＋16 ＝r 2，⎪⎪

解得⎨ ⎨222⎪．⎪(3 － a ) ＋4 ＝r ．⎩r ＝ 20⎩

故所求圆的方程为(x ＋1) 2＋y 2＝20．

(2) 因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1) ，

所以圆心必在过点M (2，－1) 且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． ⎧⎧⎪y ＝x － 3，⎪x ＝ 1，

由⎨ 解得⎨ ⎪⎪⎩2x ＋y ＝0．⎩y ＝ － 2．

即圆心为O 1(1，－2) ，半径r ＝2 － 1) 2 ＋ (－ 1 ＋ 2) 2＝2． 故所求圆的方程为(x －1) 2＋(y ＋2) 2＝2．

17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝

1

． 2

⎛1⎫ ， 0⎪， 所以点E 的坐标为 1，

⎝2⎭

又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0) ，(1，1，1) ，

1⎫⎛11⎫⎛ 1， ⎪，同理可得G 点的坐标为 1所以点F 的坐标为 1， ⎪．

2⎭⎝22⎭⎝

18．解：设所求圆的方程为(x －a ) 2＋(y －b ) 2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，

所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，

⎧⎪5a －3b －8＝0，⎧⎪5a －3b －8＝0，

所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎨ 或⎨

⎪⎪⎩a －b ＝0，⎩a ＋b ＝0，⎧⎪a ＝4，⎧⎪a ＝1，

解得⎨或⎨所以圆心坐标为(4，4) ，(1，－1) ．

⎪⎪⎩b ＝4，⎩b ＝－1．

故所求圆的方程为(x －4) 2＋(y －4) 2＝16，或(x －1) 2＋(y ＋1) 2＝1．

19．解：(1) 设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2) ，即k x ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2) 到直线的距离为2，

－ k － 3 k ＋ 1

2

＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．

故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．

(2) 在Rt △PCA 中，因为|PC |＝2 － 1) 2 ＋ (－ 1 － 2) 2＝，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．

1

(3) 容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝．

3

2CA 2

如图，由CA ＝CD ·PC ，可求出CD ＝＝．

PC 2

1

设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．

3由

1 － 6 ＋ 3b 27＝解得b ＝1或b ＝(舍) ．

3 ＋ 32

(第19题)

所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．

(3) 也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．

20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a ) ，

圆心(a ，3a ) 到直线x －y ＝0的距离为d ＝ － 2a 2

．

又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a ) 2＋(y －3a ) 2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 ⎛2

－ 2a ⎫

⎪⎪＋() 2＝(3|a |)2． ⎝

2⎭

(第20题)

解得a ＝±1，r 2＝9．

故所求的圆的方程是(x －1) 2＋(y －3) 2＝9，或(x ＋1) 2＋(y ＋3) 2＝9．