湖南师大附中2017届高三月考数学文科试卷三
湖南师大附中2017届高三月考数学文科试卷三
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分．
(1)集合M ＝{x |log2(1－x )
(2)若复数z 满足3＋3i) z ＝3i(i为虚数单位) ，则z 的共轭复数为() 33333333(A)－i (B)i (C)－i (D)＋22224444(3)在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝() (A)12 (B)18 (C)24 (D)30
2
(4)设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x ＋0.3) (x >1)，则a ，b ，c 的大小关系是()
(A)a (5)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为()
1111(A) (C) (D) 3456
ππ5π
(6)右图是函数y ＝A sin(ωx＋φ) ⎛x ∈R ，A >0，ω>0，0
2⎭6⎦⎝⎣6这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R ) 的图象上所有的点()
π
(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6π1
(B)向左平移个单位长度，，纵坐标不变
62π
(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3π1
(D)向左平移个单位长度，纵坐标不变
32－x －ax －5（x ≤1）⎧⎪
(7)已知函数f (x ) ＝⎨a 是R 上的增函数，则a 的取值范围是()
（x >1）⎪⎩x
(A)－3≤a
(8)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B |AF |
两点，()
|BF |
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
2
(9)函数f (x ) ＝⎛1＋e －1⎫cos
x 的图象的大致形状是()
2
⎝⎭
(10)执行如图所示的程序框图，输入p ＝10，则输出的A 为()
(A)－12 (B)10 (C)16 (D)32
4
(11)在体积为的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平面ABC ，
3若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是()
927(A)π (B)π (C) (D)12π
322
y ≥0⎧⎪
(12)设x ，y 满足⎨ax ＋y －1≤0，若z ＝x 2－10x ＋y 2的最小值为－12，则实数a 的取值范围是()
⎪⎩3x －2y －2≤03311
(A)a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
(13)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，那么a 与b 的夹角为____．
(14)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1) 2＋(y －a ) 2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是____．
(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为____．
(16)设函数f (x ) ＝e x (2x －1) －ax ＋a ，其中a
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)
x x x
3sin 1⎫，n ＝⎛cos cos 2，记f (
x
)
＝
m·已知向量m ＝⎛n. 4⎭4⎝⎝4
π
(Ⅰ) 若f (x ) ＝1，求cos ⎛x ＋的值；
⎝3(Ⅱ) 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足 (2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A ) 的取值范围．
(18)(本小题满分12分)
如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B －AD －C ，如图2.
(Ⅰ) 证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
(Ⅱ) 设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角． (19)(本小题满分12分)
3
设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝(a n －1) ．
2
(Ⅰ) 求a 1的值，并求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ) 若数列{b n }为等差数列，且b 3＋b 5＝－8，2b 1＋b 4＝0. 设c n ＝a n ·b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，证5n ＋1n －·明：对任意n ∈N *，T n ＋⎛⎝23是一个与n 无关的常数．
(20)(本小题满分12分)
x 2y 22
已知椭圆C ：1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0) ，F 2(1，0) ，点A ⎛1在椭圆C 上．
a b 2⎝(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；
5
(Ⅱ) 是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M 、N 时，能在直线y ＝上找
3→→
到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ＝NQ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
(21)(本小题满分12分) 1
已知函数f (x ) 2，g (x ) ＝a ln x .
2
(Ⅰ) 若曲线y ＝f (x ) －g (x ) 在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值；
h （x ）－h （x ）
(Ⅱ) 设h (x ) ＝f (x ) ＋g (x ) ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有恒成立，求实数a
x 1－x 2
的取值范围；
(Ⅲ) 若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f ′(x 0) ＋
1
f ′（x 0）
请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
(22)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标
⎧x ＝2cos θπ
方程为θ＝(ρ∈R ) ，曲线C 的参数方程为⎨.
4⎩y ＝sin θ
(Ⅰ) 写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；
8
|MB
|＝求点M 轨迹的直角坐标(Ⅱ) 过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA |·
3
方程．
(23)(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x ) ＝|x ＋1|＋2|x －1|－a .
(Ⅰ) 若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；
(Ⅱ) 若不等式f (x ) ≤a (x ＋2) 的解集为非空集合，求a 的取值范围．
参考答案
21－e 1－e e －1
(9)【解析】由题意得，f (x ) ＝⎛1＋e 1⎫cos x ＝所以f (－x ) ＝cos(－x ) ＝·cos －cos x ，⎝⎭1＋e 1＋e 1＋e x ＝－f (x ) ，所以函数f (x ) 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1， 21－e ⎛⎛⎫－11() 则f ＝1＋e cos 1
(10)【解析】第1次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝0－2＋10＝8>A ＝0，是，A ＝S ＝8，n ＝1≥p ＝10，
否，n ＝2n ＝2；
第2次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝8－4＋10＝14>A ＝8，是，A ＝S ＝14，n ＝2≥p ＝10，否，n ＝2n ＝4；
第3次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝14－8＋10＝16>A ＝14，是，A ＝S ＝16，n ＝4≥p ＝10，否，n ＝2n ＝8；
第4次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝16－16＋10＝10>A ＝16，否，n ＝8≥p ＝10，否，n ＝2n ＝16； 第5次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝
10－32＋10＝－12>A ＝16，否，n ＝16≥p ＝10，是，输出A ＝16，故选C. (11)
x
－x
x
【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知SD ⊥14
平面ABC ，且球心O 在SD 上，则S △ABC ×SD ＝解得SD ＝2. 设三棱锥S －ABC 外接球半径为R ，则R
333
＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2＝BD 2＋OD 2，即R 2＝(2) 2＋(2－R ) 2，解得R ＝，
2
49
故所求球的体积为V R 3＝π，故选B.
32(12)【解析】由题意作平面区域如下，
∵z ＝x 2－10x ＋y 2＝(x －5) 2＋y 2－25的最小值为－12，
∴(x －5) 2＋y 2的最小值为13，直线ax ＋y －1＝0恒过点A (0，1) ， 3
直线y ＝x －1与圆(x －5) 2＋y 2＝13相切于点B (2，2) ；
2
11
∵ax ＋y －1＝0可化为y ＝－ax ＋1，故－a ≥k AB ＝故a ≤－故选D.
22
(14)．
【解析】圆的半径是4，△ABC 是直角三角形，则圆心C 到直线AB 的距离为22， |a ＋a －2|
a ＋1
＝22，解得a ＝－1.
2π
(15)4＋
3
2π1
【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为π·2＋2·2·1＝4.
333
1⎫． (16)⎡2e ⎣⎭
【解析】f (x )则题意说明存在唯一的整数x 0，使g (x ) 的图象在直线y ＝ax －a 下方，g ′(x ) ＝e x (2x ＋1) ， 11
当x 时，g ′(x )>0，
22
111
－＝－2e －又g (0)＝－1，g (1)＝e>0， 因此当x 时，g (x ) 取得极小值也是最小值g ⎛⎝222
⎧⎪－a >g （0）＝－13
直线y ＝ax －a 过点(1，0) 且斜率为a ，故⎨，解得a
1
2e ⎪⎩g （－1）＝－3e ≥－a －a
x x x 3x 1x 1x π1
(17)【解析】(Ⅰ) f (x ) ＝m·n ＝cos 2＋＝sin ⎛＋＋
44422222⎝262πx π1x π1
由f (x ) ＝1，得sin ⎛＝，所以cos ⎛x ＋⎫＝1－2sin 2⎛⎫分)
⎝262⎝3⎭⎝26⎭2(Ⅱ) 因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得
(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C ) ，因为A ＋B ＋C ＝π，
ππ1
所以sin(B ＋C ) ＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B 又0
223ππππππ2π22
则A ＋C ＝，A ＝π－C ，又0332262363ππ13⎛3＋13⎫.(12分)
(18)【解析】(Ⅰ) 因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD .(2分)
又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD .(3分) 因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(4分)
(Ⅱ) 取CD 的中点F ，连结EF ，则EF ∥BD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．(6分) 连结AF 、DE . 设BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝3，CD ＝6，DF ＝3.
在Rt △ADF 中，AF AD ＋DF ＝21.(8分) 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，
1
则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝28，即BC ＝27，从而BE ＝BC ＝7，cos ∠CBD ＝
2BD 2＋BC 2－CD 21
＝－. 在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos ∠CBD ＝13.
2BD ·BC 27
在Rt △ADE 中，AE AD ＋DE ＝5.(11分)
AE 2＋EF 2－AF 21在△AEF 中，cos ∠AEF ＝. 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60°.(12分)
22AE ·EF 3
(19)【解析】(Ⅰ) 当n ＝1时，S 1＝(a 1－1) ，即2a 1＝3a 1－3，所以a 1＝3.(1分)
2
333
因为S n ＝(a n －1) ，则S n －1＝(a n －1－1)(n ≥2) ．两式相减，得a n (a n －a n －1) ，即a n ＝3a n －1(n ≥2) ．(4分)
222
所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝a 1·q n 1＝3·3n 1＝3n .(5分) (Ⅱ) 因为b 3＋b 5＝2b 4＝－8，则b 4＝－4. 又2b 1＋b
4
＝0，则b 1＝2.(7分)
－
－
设{b n }的公差为d ，则b 4－b 1＝3d ，所以d ＝－2，所以b n ＝2＋(n －1) ×(－2) ＝4－2n .(8分) 由题设，c n ＝(4－2n )·3n ，则T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n . 3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n 1.(9分)
＋
两式相减，得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n 1
＋
＝6－2(32＋33＋…＋3n ) －(4－2n )·3n 1.
＋
9（1－3n 1）155⎫n ＋1＋
n ·所以T n ＝－3＋(2－n )·3n 1＝－⎛3.(11分) 2⎝2⎭1－3
－
5n ＋115
n －·故T n ＋⎛3＝－(12分) ⎝22
(20)【解析】(Ⅰ) 设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎛1，
⎝
2在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2x 22
22，因此a 2，b ＝a －c ＝1，故椭圆C ＋y ＝1.(5分)
2
2
2
2
(Ⅱ) 椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 5
x 3，，Q (x 4，y 4) ，MN 的中点为D (x 0，y 0) ， 设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，P ⎛3⎝y ＝2x ＋t ⎧⎪2
由⎨x 消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 2
⎪⎩2y ＝1
y 1＋y 2t 2t
所以y 1＋y 2，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝＝且－3
929
→→
由PM ＝NQ 知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点， 5
y 34t 2t －157
所以y 0，可得y 4＝，又－3
29931a
(21)【解析】(Ⅰ) 由y ＝f (x ) －g (x ) 2－a ln x ，得y ′＝x －，由题意，1－a ＝3，所以a ＝－2.(2分)
2x h （x ）－h （x ）1
(Ⅱ) h (x ) ＝f (x ) ＋g (x ) ＝x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有，
2x 1－x 2设x 1>x 2，则h (x 1) －h (x 2)>2(x 1－x 2) ，即h (x 1) －2x 1>h (x 2) －2x 2恒成立，
1
问题等价于函数F (x ) ＝h (x ) －2x ，即F (x ) ＝2＋a ln x －2x 在(0，＋∞) 为增函数．(4分)
2a
所以F ′(x ) ＝x 2≥0在(0，＋∞) 上恒成立，即a ≥2x －x 2在(0，＋∞) 上恒成立，
x 所以a ≥(2x －x 2) max ＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞) .(6分)
1＋a 11a
(Ⅲ) 不等式f ′(x 0) g (x 0) －g ′(x 0) 等价于x 0＋
x 0x 0x 0f ′（x 0）1＋a
设m (x ) ＝x －a ln x ＋由题意知，在[1，e ]上存在一点x 0，使得m (x 0)
x
2
a 1＋a x －ax －（1＋a ）（x －1－a ）（x ＋1）
由m ′(x ) ＝1－＝.
x x x x 因为x >0，所以x ＋1>0，令m ′(x ) ＝0，得x ＝1＋a .
①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m (x ) 在11，e]上单调递增，只需m (1)＝2＋a a ＋1＋1
令m (1＋a ) ＝1＋a －a ln(1＋a ) ＋1a
t ＋1
考查式子
t －11＋a e 2＋1
③当1＋a >e，即a >e－1时，m (x ) 在11，e]上单调递减，只需m (e)＝e －a ＋，解得a >.
e e －1
⎛e ＋1，＋∞⎫.(12分)
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2) ∪ ⎪
⎝e －1⎭
x 22
(22)【解析】(Ⅰ) 直线l ：y ＝x ，曲线C ＋y ＝1，(4分)
2
2
⎧x ＝x ＋223
(Ⅱ) 设点M (x ，y ) ，过点M 的直线为l ：⎨(t 为参数) 由直线l 与曲线C 相交可得2⎩y ＝y ＋20
1
1
2
2(x 0
x 0＋2y 0－22
8⎪8x 2y ⎪22
3|MB |＝＋2y 0) t ＋x 0＋2y 0－2＝0，由|MA |·＝即1表示椭圆．
3⎪363⎪2⎪⎪
x 22x 222
取y ＝x ＋m 代入y ＝1得3x ＋4mx ＋2m －2＝0，由Δ>0⇒3
＝1夹在平行直线y ＝x 3之间的两段椭圆弧．(10分) 3
(23)【解析】(Ⅰ) 当a ＝1，不等式|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即为|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于
⎧⎧⎪x 1⎨，或⎨或⎨⇒x 2，
⎪3x －1>x ＋3⎪1－3x >x ＋3⎪3－x >x ＋3⎩⎩⎩
22
所以所求不等式的解集为{x |x 2}．(5分)
(Ⅱ) 由f (x ) ≤a (x ＋2) ⇒|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2) ，即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3) ．
⎧1－3x ，x
设g (x ) ＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎨3－x ，－1≤x ≤1，如图，P (－3，0) ，k
⎩3x －1，x >1.
1＝，k ＝k ＝－3. P A
2PD BC
11⎫故由题可知a
分) 2