效用与无差异曲线一样都是刻画偏好的一种方式
Lecture 4 效用
z 效用与无差异曲线一样都是刻画偏好的一种方式
z 能根据效用函数计算边际效用和边际替代率
z 能判断效用函数的单调变换
z 掌握完全替代、互补品的效用函数
z 掌握拟线性、柯布道格拉斯情况下的效用函数形式
1.效用与效用函数
效用:是指商品带给消费者的满足程度
效用函数:为每个可能的消费束指派数字的方法,它指派给受较多偏好的消费束的数字大于受较少偏好的消费束的数字。
举例。
序数效用论的观点:效用指派的唯一重要特征在于它对消费束所进行的排序。效用函数的数值只在对不同消费束进行排序时才有意义。任意两个消费束之间的效用差额的大小是无关紧要的。
效用函数的单调变换:不改变数字次序的变换。如乘以一个正数,加上任意数,奇次幂等。 单调变换的数学判断:如果的df/du大于零,则f 是u的单调变换
单调变换后的效用函数与变换前的效用函数反映相同的偏好。
举例。U=2v-13
由效用函数推导无差异曲线,比较容易,这里注意单调变换的效用函数形式上不同,但对应统一族无差异曲线
举例。
由无差异曲线推导效用函数,更困难,且答案不唯一。
通常情况下,无差异曲线可以看作是效用函数的几何表示
3.几种特殊的偏好的效用函数
判断你所找的效用函数是否恰当:只要问两个问题,即沿着无差异曲线移动,它等于常数吗?对于受较多偏好的消费束,它指派料更高的数字吗?如果这两个问题的答案都是肯定的,我们就有了效用函数。
完全替代偏好可以用这样的效用函数描述:u(x1,x2)=ax1+bx2(a、b>0),表示a单位商品2与b单位商品1对消费者的效用是一样的; 特点:
是x1和x2的线性函数
如果横轴表示x1,纵轴表示x2, 将该线性函数的x2前系数化为1,x1前的系数K就是x1替代x2的替代比例,即MRS(x1对x2的替代)=K=完全替代无差异曲线的斜率
完全互补偏好可以用这样的效用函数描述:u(x1,x2)=min{ax1,bx2}(a、b>0),表示消费者消费a单位商品2的同时消费b单位商品1;
因为完全互补品任何一种多出都没有意义,因此用MINIMAL形式,同理,如果将x2的系数化为1,x1的系数如果为K,则K为1单位的x1需要的x2与之互补消费的数量,也就是说,斜率K为互补消费的比例。比如,一杯咖啡需要2勺糖,则可写成u(x1,x2)=min{2x1,x2},x1代表咖啡,x2代表糖
拟线性偏好可以用这样的效用函数描述:u(x1,x2)=u(x1)+x2,表示消费者的无差异曲线都是垂直平移;效用函数对x1是非线性的,但对x2是线性的。
柯布-道格拉斯偏好可以用这样的效用函数描述:u(x1,x2)=x1cx2d(c、d>0),表示性状良好的无差异曲线。
对于效用函数u(x1,x2),固定商品2的消费量x2不变,那么商品1的消费量x1的变化引起效用u(x1,x2)变化的变动率叫做边际效用,记作MU1,用公式表示为:MU1=ΔUu(x1+Δx1,x2)−u(x1,x2)=在上一章中,我们知道边际替代率(MRS)度量Δx1Δx1
的是无差异曲线上某既定商品束对应点的斜率,表示消费者恰好愿意该消费束的商品2代替商品1的比率。同本章的效用函数相联系,边际替代率也等于两种商品的边际效用之比:MRS=
举例 Δx2MU1=−。 Δx1MU2
1、画出下列效用函数的无差异曲线,并判断是否满足凸性。
(a) u(x1;x2) = x1+2x2. (e.g., x1 = score of the midterm exam, and x2 = score of the final exam) (b) u(x1;x2) = max{x1;x2}. (e.g., x1 = score of the 1st midterm, and x2 = score of the 2nd midterm)
(c) u(x1;x2) = min{2x1+x2;x1+2x2}
2、Oswald Odd只消费商品1和2。他的效用函数为U(x1, x2)=x1+x2+min{x1, x2}。请画出Oswald的无差异曲线。
解:Oswald的效用函数为:
⎧x1+2x2ifx1>x2⎪U(x1,x2)=x1+x2+min{x1,x2}=⎨3x1ifx1=x2
⎪2x+xifx
所以Oswald的无差异曲线有两条斜率为-2和-1/2的直线组成,见下图。
x1