灰色预测GM(1,1)模型实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式

设有变量X(0)＝{X(0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：

X(1)＝{X(1)(k)，k＝1，2，…，n}

其中

k

X(1)

(k)＝



X(0)(i)

i1

＝X(1)(k－1)+ X(0)(k) 对X(1)可建立下述白化形式的微分方程：

dX(1)(1)

dt

十aX＝u 即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)： 

X(1)(k+1)＝(X(0)(1)－

ua)eak＋u

a

或



X(1)(k)＝(X(0)(1)－ua(k1a)e)＋ua

式中：k为时间序列，可取年、季或月。

2. 辩识算法





记参数序列为a, a＝[a,u]T,a

可用下式求解:

a

＝(BTB)-1BTYn 式中:B—数据阵；Yn—数据列

1(1)(1)

2(X(1)X(2))

1B＝1(X(1)(2)X(1)

(3)) 1 2 ...  12(X（1）(n-1)X(1)(n)) 1 

Yn＝(X(0)(2), X(0)(3),…, X(0)(ｎ))T (1) (2)

(3) (4) (5)

(6) (7)

3. 预测值的还原

由于GM模型得到的是一次累加量，k{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM模型所得数据X



(1)

(k+1)(或X



(1)

(k))经过逆生成即累减生成(I—AGO)还原为X(0)(k+1)(或



X(0)(k))，即：

X(k)＝X(0)(i)

(1)



k



i1

＝



i1

k1

X(i)＋X(0)(k)

k1i1



(0)



X(k)＝X(k)－X(0)(i)

(0)

(1)



因为X



(1)

(k-1)＝



i1

k1

X(i)，所以X(k)＝X(k)－X(1)(k -1)。



(0)



(0)



(1)



4. 灰色系统模型的检验

检验方法一：残差合格（相对误差）

定义：设原始序列

X(0)x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)

相应的模型模拟序列为



ˆ(0)xˆ(0)(1),xˆ(0)(2),,xˆ(0)(n) X

残差序列



(0)(1),(2),(n)

ˆ(0)(1),x(0)(2)xˆ(0)(2),,x(0)(n)xˆ(0)(n) x(0)(1)x相对误差序列

(1)(2)(n)(0),(0),,(0)

x(n)x(1)x(2)

n

k1



1.对于k＜n,称k

(k)

x(0)(k)

为k点模拟相对误差，称n

(n)

x(0)(n)

为滤波相对误差，

1n

称k为平均模拟相对误差；

nk1

2.称1为平均相对精度，1n为滤波精度；

3.给定，当，且n成立时，称模型为残差合格模型。 检验方法二：关联合格

ˆ为相应的模拟误差序列，为X 定义：设X为原始序列，X

联度，若对于给定的00,0，则称模型为关联合格模型。

(0)

(0)(0)

ˆ与X

(0)

的绝对关

检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格 定义：设X

(0)

ˆ为原始序列，X

(0)

为相应的模拟误差序列，

(0)

为残差序列。

1n(0)

x(k)为X(0)的均值，

nk1

1n(0)2

s1(x(k))2为x(0)的方差，

nk11n

(k)为残差均值，

nk11n2

s2((k))2为残差方差，

nk1s

1. 称c2为均方差比值；对于给定的c00，当cc0时，称模型为均方差比合格模

s1

型。 2. 称pP

(k)对于给定的p00,当pp0时，称模0.6745s1为小误差概率，

表1 精度检验等级参照表

相对误差 关联度 均方差比值 0.01 0.90 0.35 0.05 0.80 0.50 0.10 0.70 0.65 0.20 0.60 0.80

型为小误差概率合格模型。

精度等级

一级 二级 三级 四级 小误差概率

0.95 0.80 0.70 0.60

一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

5. GM(1,1)预测应用举例

设原始时间序列为：X

x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)

2.874,3.278,3.337,3.390,3.679

(0)(0)

(0)



建立GM(1,1)模型，并进行检验。 解：1）对X

[D为X X

(1)

作1-AGO，得

x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4),x(1)(5) 2.874,6.152,9.489,12.579,16.558

(1)



的一次累加生成算子，记为1-AGO]



2)对X

作紧邻均值生成，令

Z(1)(k)0.5x(1)(k)0.5x(1)(k1)

Z(1)z(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4),z(1)(5)

2.874,4.513,7.820,11.84,14.718



于是，

(0)x(2)13.278(0)x(3)1，Y3.337 (0)1x(4)3.39013.679(0)x(5)

4.5131

.5137.82011.18414.7187.8201

BB4111111.841

14.7181

423.22138.235

438.235

z(1)(2)

z(1)(3)B(1)

z(4)

(1)z(5)1

4.51317.820

111.84

14.7181

423.22138.2350.0173180.165542 (BB)438.2350.16655421.832371138.2354423.221438.235238.235423.221



138.2354

38.235423.221230.969

ˆ(BB)1BYa



1

1

3.2780.0173180.1655424.5137.82011.18414.7183.3370111.16655421.83237113.390

3.679

3.278

0.0873860.0301150.0281430.0893443.337 1.0852800.5378330.01905110.6040763.390

3.679

.037156 30.065318

3）确定模型

dx(1)

0.037156x(1)3.065318 dt

及时间响应式

bb

ˆ(1)(k1)(x(0)(1))eak x

aae0.037156k82.4986 85.3728

(1)

4)求X的模拟值

ˆ(1)xˆ(1)(1),xˆ(1)(2),xˆ(1)(3),xˆ(1)(4),xˆ(1)(5) X



=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)

(0)

5)还原出X的模拟值，由

ˆ(0)(k1)xˆ(1)(k1)xˆ(1)(k) x

ˆ(0)xˆ(0)(1),xˆ(0)(2),xˆ(0)(3),xˆ(0)(4),xˆ(0)(5)得 X



=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）



6）误差检验

表2 残差与相对误差计算结果

3 4 5

3.337 3.390 3.679

① 平均相对误差

3.3541 3.4811 3.6128

-0.0171 -0.0911 0.0662

0.51% 2.69% 1.80%

151

k(1.41%0.51%2.69%1.80%)

4k14

=1.0625%…………（参考表1，1级）

ˆ的灰色关联度 ② 计算X与X

S

1(x(k)x(1)(x(5)x(1)) 2k2

1

(3.6792.874) 2

4

=(3.2782.874)(3.3372.874)(3.3902.874)

0.4040.4630.516

=1.7855

ˆS

ˆ(k)xˆ(1)(xˆ(5)xˆ(1) (x

2

k2

4

1

1

(3.23182.874)(3.35412.874)(3.48112.874)(3.61282.874)

2

0.35780.48010.60710.

=1.8144

ˆSS

1

ˆˆˆ(5)xˆ(1)) (x(5)x(1))(x(x(k)x(1))(x(k)x(1))

k2

4

2

1

(0.35780.40)4(0.48010.46)3(0.60710.51)6(0.36940.402)2

0.04620.01710.0910.016 5

=0.04535



ˆ1SSSS1SS



11.78551.81444.5999



11.78551.81440.045354.64525

=0.9902＞0.90…………（参考表1，为1级）

综合：精度为一级，可以用

ˆ(1)(k1)85.3728xe0.037156k82.4986

ˆ(0)(k1)xˆ(1)(k1)xˆ(1)(k)预测。 其中，x

6. GM(1,1)模型的特点总结

GM(1,1)是一种长期预测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，该预测值应是可信的。在采用灰色系统理论进行定量预测时，如果存在对预测对象影响较大的因素，就要在定性分析的基础上，寻找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对预测值进行必要的修正，使预测值更接近实际情况，提高预测值的可信度，为科学决策提供可靠的数据。另外，若作长期预测，要考虑对上限值的约束条件。 应用灰色预测模型GM(1,1)进行预测较之其它常规的时间序列预测法有以下显著的特点。

(1)灰色模型是一种长期预测模型，将预测系统中的随机元素作为灰色数据进行处理，而找出数据的内在规律。进行预测所需原始数据量小，预测精度较高，无须像其它预测法要么需要数据量大且规律性强，要么需要凭经验给出系数。

(2)理论性强，计算方便，籍助计算机及其程序设计语言或相关软件间接计算，使得数据处理简便、快速、准确性好。

(3)用有限的表征系统行为特征的外部元素，分析系统的内在规律。灰色系统理论采用对系统的行为特征数据进行生成的方法，对杂乱无章的系统的行为特征数据进行处理，从杂乱无章的现像中发现系统的内在规律，这是该方法的独特之处。

(4) 适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。