第一章 概率论的基本理论

第一章 概率论的基本理论

前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。

⎧确定现象

⎨

⎩随机现象

§1. 随机试验

例：E 1：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； Ω1={H , T }

E 2：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；

Ω2={HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }

E 3：抛两颗色子，观察出现点数和； Ω3={2,3,4, ,12} E 4：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； Ω4={t t ≥0} E 5：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；

Ω5={(x , y , z )x >0, y >0, z >0, x +y +z =1}

特点：

⎧(1)试验可以在相同条件下重复进行；

⎪ ⎨(2)试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；⎪

⎩(3)进行试验前不能确定哪一结果出现。

满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。

§2. 样本空间 随机事件

一、 样本空间

随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。样本空间通常用S 或Ω来表示。（见上节）

样本空间的元素——样本点。

二、 随机事件

样本空间S 的子集——随机事件（事件），用A , B , C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。

例1、 E 2 S 2

T T A 1：第一次出现H A 1={H H H , H H , T H T , H }H

A 2：三个均出现T A 2={T T }T

三、 事件间关系与事件的运算

E S A , B A k ⊂S

1. A ⊂B 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A =B ⇔A ⊂B 且B ⊂A 。 2. A ⋃B

A

k =1

n

k

n

A

k =1

∞

∞

k

3. A ⋂B A B 4. A -B =A

A

k =1

k

A

k =1

k

5. A ⋂B =∅ A , B 不相容，互斥

6. A ⋃B =S 且A ⋂B =∅——A , B 互逆，或对立事件 =B =S -A 算律同集合论

例 设A , B , C 表示三个随机事件：

1 A 出现，B , C 都不出现 ○

2 A , B 都出现，C 不出现 ○

3 三个事件均出现 ABC ○

4 三个事件至少有一个出现 A ⋃B ⋃C ○

5 三个事件均不出现 ○

6 不多于一个事件出现 或AB BC AC ○

7 不多于两个事件出现 ○

or ABC

8 三个事件至少有两个出现 ABC ○

9 A , B 至少有一个出现, C 不出现 (A +B ○ )⋅10 A , B , C 中恰好有两个出现 ○

§3. 频率与概率

一、 排列、组合复习

1. 不可重复排列（不放回）

A r

n =n (n -1)(n -2) (-n +r 1)=

n !

n -r !

2. 可重复排列 (放回)

n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 n r

3. 不可重复组合

C r

n

⎛ n ⎫⎝r ⎪⎭

4. 乘法原理、加法原理

二、 频率

1、E, n次，A, n A

f n A

n (A ) =

n

2、性质

⎧⎪

1.0≤f n (A ) ≤1⎨2、f ⎪n (S ) =1

⎩

3、A 1„„A k 均不相容

f n (A 1 „„A k ) =f n (A 1) +f n (A 2) +„„f n (A k )

例1， P8 例2， P9

可见，n 逐渐增大-------f n (A ) 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义

三、 概率 Probability

1. 定义： E S A ⊂E 实数P (A )满足：

⎧⎪(1)P (A )≥0⎪

(非负性)⎨(2)P (S ⎪)=1

(规范性) ⎪⎩(3)设A 1, A 2, , A n , 两两互不相容，即：i ≠j 时A i ⋅A j =∅, 则

P (A 1 A 2 A n )=P (A 1)+P (A 2)+ +P (A n )+ （可列可加性）

则称P 为概率，P (A )为事件A 的概率。 1. 性质 （1） P (∅)=0

（2） A 1, A 2, , A n 两两互不相容，则

P (A 1 A 2 A n )=P (A 1)+P (A 2)+ +P (A n )

（3） A ⊂B ⇒ ⎧⎪⎨P (A )≤P

(B )⎪⎩P (B -A

)=P ()B -(P ) A

[A (B -A ) =B ， A (B -A ) =∅] （4） P (A )≤1 （5） P ()

=1-P (A )

（6） P (A B )=P (A )+P (B )-P (AB )

[A B =A (B -A )B (⋅A -

B )A B =∅A ⊂B B P (A B )=P ()A +

(P

-B

)A B =()P +A ()P -B ()]P

A B

推广：

n

P (A 1 A 2 A n )=∑P (A i )-

i =1

1≤i ∑P (A i

A j

)+

+

∑

P (A n

i A j A k )+ +(-1)P (A 1A 2 A n )

1≤i

注意：（1） 性质（2）与（6）的区别；

（2） “至少”出现其中一件的概率，详解同（5）。

例 已知A ⊂B AC =∅ P (A )=0.2 P (B )=0.4 P (BC )=0.1 P (C )=0.3求：

（1） P (B -A )=P (B )-P (A )=0.4-0.2=0.2

（2） P (B C )=P (B )+P (C )-P (BC )=0.4+0.3-0.1=0.6 （3） P (A C )=P (A )+P (C )-P (AC )=0.5

（4） P (B -C -A )=P (B -C )-P (A )=P (B )-P (BC )-P (A )

[AC =∅ A ⊂ 又 A ⊂B 可得 A ⊂B -C ]

（5） P (C -B ) =P (C -B )=P (C )-P (BC )=0.3-0.1=0.2

[AC =∅ ⊃C ⊃C -B 得 (C -B ) =C -B ]

例 已知P (A )=x , P (B )=2x , P (C )=3x , P (AB )=P (BC )=y ，求证：x ≤证明： P (AB )≤P (A ) ∴y ≤x

又 1≥P (B C )=P (B ) P (C )-P (BC )≥2x +3x -y ≥2x +3x -x ≥4x

⇒ x ≤

()

1。 4

1 4

例 设A , B 任意两事件，则P 解：

{( B )(A B )( )(A )}=( B )(A B )=((A B )) (B (A B ))= BA B

=B ( A ) B =B

( )(A )=((A )) ((A ))=

=( A ) =∴ P { }=P {∅}=0

例 P (A )=a ，P (B )=b ，P (A +B )=c ，则P =()

+ 解：P (A )=P (AB )+P A =A B

()()B

⎧⎪P ()=P (A )-P (AB ) ⎨

⎪⎩P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )

P =P (A +B )-P (B )=c -b 小结：

思考：P (AB )=0，问P (ABC )=? 理由？

()

§4. 等可能概型（古典概型）

考查：E ：抛一颗色子，观察出现的点数 S

⎧(1)S 只有有限个元素；

特点：⎪——等可能概型 ⎨

⎪⎩(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同

设E

S ={e 1, e 2, , e n }，由于P ({e 1})=P ({e 2})= =P ({e n })，又

1=P (S )=P ({e 1} {e 2} {e n })=nP ({e i })

∴P ({e i })=

1

, i =1, 2, , n n

若事件A =e i 1, e i 2, , e i k 包含k 个基本事件，则

{}

P (A )=∑P e i k =

j =1

k

()

k A 中包含的基本事件数

=

n S 中包含的基本事件数

例1、 E ：将一枚硬币掷三次，观察正反面出现情况。 （1）A 1——恰有一次出现正面； （2）A 2——至少有一次出现正面； 解：S 所含基本事件数 2⋅2⋅2=8

1

P (A 1)= A 1所含基本事件数 P 3=3 ⇒

3

， 8

17

2所含基本事件数 P (A 2)=1-P (2)=1-=

88

注：“至少”的解决

例2、口袋中有6只球，4只白球，2只红球，从袋中任取球两次，每次随机取一只, 采取（a ）放回抽样；（b ）不放回抽样；对两方式求： （1）取到两球均白——A ； （2）取到两球颜色相同——B ；

(3）取到两球至少有一只白球概率——C 。 解：（a ）放回抽样

S 中基本元素数：6*6=36

1A 中基本元素数：4*4=16，P (A )= ○

16

=0.444 36

2 设取到的球均红事件为A ，则B =A A 且AA =∅ ○111

A 1)=1所含元素2*2=4 P (B )=P (A )+P (A

3 P (C )=1-P (A )=1-○1

4⨯42⨯2

+==0.556 6⨯66⨯6

2⨯2

=0.889，C =1 6⨯6

（b ）不放回抽样

4⨯3

6⨯5

4⨯32⨯1

2 P (B )=+ ○

6⨯56⨯5

1 P (A )= ○

3 P (C )=1-P (A )=1- ○1

2⨯1

6⨯5

例2、 将n 只球随机放入N (N ≥n )个盒子中去，试求每个盒子至少有一只球的概率。 （设盒子容量不限）。 解：

n

N =N S 含基本事件数N N N 个

n

A 含基本事件数N (N -1) (N -n +1)=A N n

N (N -1) (N -n -1) A N

P (A )=n =

N N n

例3、假设每人的生日在一年365天的任一天是等可能的，随机选取n 个人(≤365), 求 （1）生日不相同的概率P (A （2）生日至少有两人相同的概率P (A 2)。 1)； 解：P (A 1)=

365⨯364⨯ ⨯(365-n +1)

365n

P (A 2)=1-P (A 1) n 取不同值的结果见表

n =64时，P (A 2)=0.997

例4、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k (k ≤D )件次 品的概率是多少？ 解：指不放回抽样

n

在N 件产品中抽取n 件，所有可能的取法共有C N ；在D 件产品中取k 件，所有可能

k n -k

C D C N -D

种，于是，所求概率为p =——超几何分布。 n

C N

的取法有C C

k D n -k N -D

例5、在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8

整除的概率是多少？

解：设A ——“取到的数能被6整除”，B ——“取到的数能被8整除” 即求：P =P A B =1-P (A )+P (B )-P (AB )

()

()

{}

由于⎢故 P (A )=

2000⎡2000⎤

333

3332000250=250，故P (B )=。又由于

200082000

又[6,8]=24 ⎢ =83 故：P (AB )=⎥200024⎣⎦ ∴

0⎡200⎤

83

25083⎤3⎡333

P (⋅)=1-⎢+-= ⎥⎣[1**********]0⎦4

例6、15名新生随机的平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求： （1）每个班级各分配一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配在同一班级的概率。

555

解：15名新生平均分配到三个班级中去的分法数S =C 15； C 10C 5

3444

（1） 每个班级各分配一名优秀生的分法有P 每个班级各分配一名3C 12C 8C 4种，

44

P 33C 12C 84C 4

优秀生的概率P ； 1=555

C 15C 10C 5

255

（2） 3名优秀生分配在同一班级的分法有3C 12种，3名优秀生分配在同一C 10C 5

255

3C 12C 10C 5

班级的概率P 。 2=555

C 15C 10C 5

例7、某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次接待都是在周二和周四进

行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？

解：假设接待时间是没有规定的，即为等可能概型。

212-7

12次接待都在周二和周四的概率为12=3⨯12很小。所以推断接待时间是有规定的。

7

实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的。

补充：几何概型

设平面图形G ，它的一部分平面图形g ，若向G 上任投一点（假设投中图g 上点的数与该图面积成正比，而与该图形g 在图G 上的相对位置无关）。则点投中图形g 的概率

P =

g 的面积

（可以推广到其他几何图形、直线段、立体）。

G 的面积

例：将长为1的木棒任意折成三段，求此三段构成三角形的概率。 解：

则x , y 取值构成的样本空间S =

{(x , y )0

y

1

1

S 的面积为D =，

2

S 要求三段构成三角形必满足：

⎧x ⎪⎧x +y >1-x -y ⎪

⎪1⎪

y

x +1-x -y >y )⎨⎨(2⎪⎪

1⎩y +(1-x -y )>x ⎪

x +y >⎪2⎩

所以说事件可表示为A =⎨(x , y

)(x , y )

∈S , x

x

⎧⎩111⎫, y ⎬ 221111

A 所对应的图中阴影部分面积为：⨯⨯=

2228

1

1

所以，P (A )==。

42

2

2

例： 在圆周上任取三点A , B , C ，问三角形ABC 为锐角三角形的概率？ 解：如图所设： 样本空间可表示为： S =

){(x , y

π

2, y

x >0, y >0, x +y π

∆ABC 为锐角三角形

⇔x

π

2

, π-(x +y )

π

2

⇔x

π

2

, y

π

2

, x +y >

π

2

该事件表示为：A =⎨(x , y )(x , y )∈S , x

⎧⎩

π

2

, y

π

2

y , x +y >

π⎫

⎬ 2⎭

1πππ2

A 的面积⨯⨯=

22281π2

S 的面积为⨯π⨯π=

22

π

2

2

∴

P (A )=

1 4

例：把10本书随机放在书架上，求其中指定的5本放在一起的概率。

1065

A ——P 解： S ——P 10=10! 6P 5=6!5!

P (A )=

6!5! 1

= 10! 42

例：把n 本书随机给甲、乙两人，问甲、乙各至少得到一本的概率。 解：P (A )=1-P =1-

()

21=1- 2n 2n -1

例：（抽签的合理性）设有n 个人订了n 张票，其中k 张甲级票，现让这n 个人依次各抽一张，在未抽完之前，先抽者不准公布结果，试证明每个人抽得甲级票的概率相等，都为

k

，与先后次序无关。 n

证明：设A m 表示第m 个人抽得甲级票(m =1,2, , n )

1n -1

(n -1)! =k C k P n -1k

P (A m )==

P n n n ! n

§5. 条件概率

通俗例子：某班有32人，男20人，女12人，选一代表免费旅游，每人若现规定只挑选男生，则男生每人有

1

的可能性，32

1

的可能性，女生没有可能。 20

一 、 条件概率

事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，称为条件概率，记为P B A 。 注：区分P B A 与P (AB )

()

()

⎧⎪(1)样本空间上，计算P (AB )—S, 计算P (B |A )—S A

⎨

“同时”发生用P (AB )，有包含关系或主从关系用P (B |A )⎪⎩(2)A 与B

例1、一枚硬币抛两次，观察正反面情况：

A ——“至少有一次H ” B ——“两次同一面”

S ={HH , HT , TH , TT }， A ={HH , HT , TH }， B ={H H , T }T

321

， P (B )=， P (A B )= 444

1

而P (B |A )=（A 中三个基本事件，B 在A 中只一个基本事件）

3P (A )=

可见，P (B |A )≠P (B ) P (B |A )≠P (BA )

1

P (AB )1

（思考P (A |B )=? ） P (B |A )== ⇒ P (B |A )=

33P A 4

一般怎样定义呢？

1、定义：设A 、B 事件且P (A )>0，称P (B |A )=下事件B 发生的条件概率。

2、性质：

（1） 对每个事件P (B |A )≥0； （2） P (S |A )=1；

P (AB )

为在事件A 发生的条件

P A ⎛∞⎫∞

（3） 设B 1, B 2, 是两两不相容的事件，则有P B i A ⎪=∑P (B i A )；

⎝i =1⎭i =1

⎡⎤⎛⎛∞⎫⎫

P B i ⎪⋅A ⎪⎢⎥∞∞∞∞

P B A (i )=P B A ⎥⎢P ⎛B A ⎫=⎝⎝i =1⎭⎭=1P B A =()(i )⎥ ∑∑∑i i ⎪⎢ P A P A P A i =1i =1i =1⎝i =1⎭

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

1~○3知条件概率满足概率定义）（4） 条件概率满足§3概率的各性质（由○。如：

P (B 1 B 2A )=P (B 1A )+P (B 2A )-P (B 1B 2A ) P (B |A )=1-P (|A )

例：某动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如

果现在有一个20岁的该动物，问它能活到25以上的概率是多少？

解：设 A ——“活到20岁以上” P (A )=0.8

B ——“活到25岁以上” P (B )=0.4

B ⊂A ， A B =B ，P (AB )=P (B )=0.4

∴

P (B |A )=

P (AB )0.4

==0.5

P A 0.8

二、乘法定理：

设P (A )>0，则P (AB )=P (B |A )P (A )

B |A )P (A 推广：设A 、B 、C 为事件且P (AB )>0，则P (ABC )=P C P (

一般地，设A 1, A 2, , A n 为事件，P (A 1A 2 A n -1)>0，则

()

)

P (A 1A 2 A n -1)=P (A n A 1A 2 A n -1)P (A n -1A 1A 2 A n -2) P (A 2A 1)P (A 1)

例：（Polya 模型——常描述传染病的传染过程）

设袋中装有r 只红球，t 只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a 只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。

解：设A i (i =1,2,3,4)表示“第i 次取到红球”，则3, 4分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为：

P (A 1A 234)=P 4A 1A 23P (3A 1A 2)P (A 2A 1)P (A 1)

t +a t r +a r

=r +t +3a r +t +2a r +t +a r +t

()

三、 全概率公式和贝叶斯公式

定义：设S 为试验E 的样本空间，B 1, B 2, , B n 为E 的一组事件。若： （1）B i B j =∅, i ≠j , i , j =1,2, , n ； （2）B 1 B 2 B n =S ， 则称B 1, B 2, , B n 为样本空间S 的一个划分。

若B 1, B 2, , B n 是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B 1, B 2, , B n 中必有一个且仅有一个发生。

例：S ={1,2,3,4,5,6} B 1={1, 3, }5 B 2={2, 4, }6

定理（全概率公式）：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，B 1, B 2, , B n 为S 的一个划分，且P (B i )>0(i =1,2, , n )，则

P (A +)=P (1B )(P 1)B

称为全概率公式。

(A ()B 2P B +()2+

P =B ((B n ). P ∑n )A

i =1

n

|

i

) p (A i B ) P B

证明：（由原因推结果）

A =A S =A (B 1, B 2, , B n )=AB 1 AB 2 AB n

由假设P (B i )>0(i =1,2, , n )且(AB i ) AB j =∅, i ≠j 则P (A )=P (AB 1)+P (AB 2)+ +P (AB n )=

()

∑P (A B )P (B ).

i

i

i =1

n

定理（贝叶斯公式）：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，B 1, B 2, , B n 为S 的一个划分，且P (A )>0，P (B i )>0(i =1,2, , n )，则

P (B i A )=

P (A B i )P (B i )

∑P (A |B ) P (B )

i

j

j =1

n

，(i =1,2, , n )，

称为贝叶斯（Bayes ）公式. 证明：（由结果找原因）

P (A B i )P (B i )P (B i A ) P (B i A )= =n

P A ) B (j ) ∑P (A |B i P

j =1

例：某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。

解：设A ——“取到的是一只次品”，

B i (i =1,2, , n )——“取到的产品是第i 家工厂提供的”

易知，B 1, B 2, B 3是样本空间的一个划分，且P (B 1)=0.15，P (B 2)=0.80，

P (B 3)=0.05，P (A |B 1)=0.02，P (A |B 2)=0.01，P (A |B 3)=0.03。

（1） 由全概率公式：P (A )=

∑P (A B )P (B )=0.0125；

i

i

i =1

3

（2） 由贝叶斯公式：P B 1A =

()

P (A |B 1)P (B 1)0.02⨯0.15

==0.24

P A 0.0125

P (B 2A )=0.64，P (B 3A )=0.12。

以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。

例：设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份：

（1）先抽到的一份是女生的概率；（2）已知取到的第一个地区的报名表的条件下，后抽到一份是男生的概率；（3）已知后抽到的一份是男生表，问先抽到的一份是女生表的概率。

解：设B i ={报名表是第i 个区的考生} A j ={第j 次抽到的是男生}则 P (B (B 1)=P 2)= P 1B 1=

i =1,2,3

j =1, 2

(P 3)B 1 3

375 P (1B 2)= P (1B 3)= 101525

29

（1）P (1)=∑P (1B i )P (B i )=；

90

()

（2）P A 2B 1=P A 2A 1B 1+P A 21B 1=（3） 求P 1A 2=

3

()()()

7⨯67⨯37⨯97

+==； 10⨯910⨯910⨯910

()

P (1A 2)P A 2——定义！

P (A 2)=∑P (A 2B i )P (B i )=

i =1

3

718120161

⨯+⨯+⨯=

[1**********]

1⎡7⨯38⨯720⨯5⎤2

P (1A 2)=∑P (1A 2B i )P (B i )=⎢++= ⎥3⎣10⨯915⨯1425⨯24⎦9i =1

2

20 ∴ P (1A 2)==

6190

例：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

解：设A ——“产品合格”，B ——“机器调整良好”

已知 P A B =0.9，P A =0.3，P (B )=0.75，P =0.25 P A =

()

()

()

()

P (B ()B P (B A )P )=

=0. 9

P A P A B P (B )-P A P P B A =0.9——后验概率。 P (B )=0. 7——先验概率；5

()

§6. 独立性

例：E ：掷两枚色子，观察出现点数：

A ——甲出现6点； B ——乙出现6点

11，P (B )= 66

11=P AB = P (B A ， ⇒ P (B A )=P (B )，P (AB )=P (A )P (B ) ())6

6⨯6

S 含6⨯6个元素，P (A )=

定义：设A 、B 两事件，若P (AB )=P (A )P (B )，则称A 与B 为相互独立的事件。 注：（1）A 、B 独立⇔A 与，与B ，与也相互独立（4对中有一对独立，则另外3对也独立）。

A =A (A )B +(B )=AB P (A )=P =(P )(A )P +B (P A )B ()P

A B

P ()=P (A )-P (A )P (B )=P (A )⎡⎣1-P (B )⎤⎦=P (A )P ()

（2）若P (A )>0，P (B )>0，则A 与B 独立和A 与B 不相容不能同时成立。（由独立和不相容的定义）。

定理：设A 、B 两事件，且P (A )>0，则A 、B 相互独立⇔P B A =P (B ) 定义：设A 、B 、C 三事件，

()

⎫P (AB )=P (A )P (B )⎫

⎪⎪

P (AC )=P (A )P (C )⎬A , B , C 两两相互独立

⎪

⎬A , B , C 相互独立

⎪

P (BC )=P (B )P (C )⎭⎪

⎪

P (ABC )=P (A )P (B )P (C )⎭

注：A , B , C 两两独立 ⇒ A , B , C 相互独立。

例：四张卡片

不能

任取一张，A i ——“取到的卡片第i 位上数字是1”，i =32, 1

P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=

21

= P (A P A (A 1A 2)=2)3=42

(P 1A )31 4

P (A 1A 2A 3)=0，可见A 1, A 2, A 3两两独立，但不相互独立。

推广：A 1, A 2, , A n 相互独立是指：∀k , 1

P A i 1A i 2 A i k =P A i 1P A i 2 P A i k 。

n 23n 01⎡等式数目 C n +C n + +C n =(1+1)-C n -C n =2n -n -1⎤

⎣⎦

()()()()

注：实际应用中，独立性往往不根据定义判断，而据实际意义判断（这需注意）。 例：设P (A )=a ，P (B )=0.3，P B =0.7，试问： （1）若A , B 互不相容，a =? （2）若A , B 相互独立，a =? 解：P A B =P +P (B )-P ()

()

()()

=1-P (A )+P (B )-(P (B )-P (AB ))

=1-P (A )+P (AB )

=-1a +⇒0a =（1）AB =∅ 0. 7

0. 3

（2）0.7=1-P (A )+P (A )P (B ),

0.7=1-a +0.3a ⇒a =

3 7

例：甲、乙、丙三人同时对飞机进射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：设B i ——飞机被i 人击中，i =1,2,3 P (B i )=?

C ——飞机被击落 A 1, A 2, A 分别代表甲击中、乙击中、丙击中，3

B 1=A 123 1A 23 12A 3

P (B (A (2)A 1)=P 1)

A ( A P 3A 6 (P )()P () )A ()P (A )(P )A =0.

3

1

2

3

1

2

3

B 2=A 1A 23 A 12A 3 1A 2A 3 P (B 2)=0. 4 1B 3=A 1A 2A 3 P (B 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=0.14

P (C )=∑P (C B i )P (B i )=0.2⨯0.36+0.6⨯0.41+0.14⨯1=0.458

i =13

小结：

⎧k ⎧

P A =⎪()n ⎪

直接求⎨⎪

⎪P (B A )—定义的含义⎪⎩

⎪

P (AB )⎧⎪

条件P B A =()P A ⎪⎪

⎪⎪⎪

求概率⎨ ⎪P (AB )=P (B A )P (A )

⎪⎪

⎪间接求⎪⎨P (A )=∑P (A B i )P (B i ) (全概率)⎪⎪⎪⎪P (B i A )—贝叶斯⎪⎪⎪⎪P (A B )⎪⎪⎪⎩⎩

例：如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

解：设A , B 分别表示开关闭合

可靠性为P (A B )=P (A )+P (B )-P (AB )=P (A )+P (B )-P (A )P (B )

=0.96⨯2-0.962=0.9984

记C i 表示第i 个不能闭合，则若记系统失败为C 时有C =C 1C 2 C n

P (C )=P (C 1C 2 C n )=P (C 1)P (C 2) P (C n )=(1-0.96)n

=0.04n

此时系统可靠性为 1-P (C )=1-0.04n 令 1-0.04n

>0.9999

则得 n =3，即至少三个开关关联。