高二上教材计划

“ 直线、平面、简单几何体” 简介

一、内容与要求

（一）本章主要内容是立体几何的基础知识和解决立体几何问题的基本思想方法 本章的具体知识点主要包括：平面及其基本性质， 两条直线的位置关系，平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离， 直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理， 两个平面的位置关系，平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质， 棱柱，棱锥，多面体和正多面体，球。

（二）本章在体系编排上分为两大节：第一大节是“空间直线和平面”，第二大节是“简单几何体”

1．直线和平面是最基本的几何元素，空间直线和平面的位置关系是立体几何的基础知识。学好这一部分内容，对于学生在已有的平面图形知识基础上，建立空间观念，使对图形的认识实现从平面图形到立体图形这一飞跃，是非常重要的。

第一大节包括6小节，依次按照平面、空间直线、直线和平面平行、直线和平面垂直、两平面平行、两平面垂直的顺序编排。这6节之间密切联系，前面内容是后面内容的理论根据，后面内容既巩固了前面内容，又发展和推广了对前面内容的认识。从而形成了一个关于空间直线和平面位置关系的概念、判定和性质的知识体系。

本大节无论在全章的知识系统中，还是在培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力方面，都具有重要的基础作用。

2．简单几何体，是指最基本、最常见的几何体．按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球。这些内容依次排列，构成第二大节所含的4小节。

由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体（圆台、棱台）又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》（必修本）在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体（棱柱和棱锥）、一般多面体的有关概念、球。

关于棱柱和棱锥，教学内容包括有关概念、性质、直观图的画法三部分．其中直观图的画法仅重点讨论直棱柱和正棱锥的直观图。为对有关体积的计算形成统一认识，第二大节中第一个阅读材料安排了《柱体和锥体的体积》，介绍了祖氏原理，并根据这一原理对柱体和锥体的体积公式作了理论上的说明。

关于多面体，教学内容包括有关概念和欧拉公式。此外，还安排了阅读材料《欧拉公式和正多面体的种类》，对欧拉公式的推导作了简要介绍。

关于球，教学内容包括有关概念、性质、球的体积和表面积．本章通过“分割，求近

似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》（必修本）有较大变化。教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身, 而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节。

第二大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对第一大节中空间直线和平面位置关系相关知识的综合运用。

（三）本章的教学要求

1．掌握平面的基本性质，会画图表示平面。

2．掌握空间两条直线的位置关系，能够画出空间两条直线的各种位置关系的图形；掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给公垂线时的距离）。

会用上述概念以及空间两条直线平行与垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有关问题。

3．掌握空间直线和平面的位置关系，能够画出空间直线和平面的各种位置关系的图形；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；掌握三垂线定理及其逆定理。

会用上述概念以及直线与平面平行、垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有关问题。

4．掌握平面与平面的位置关系，能够画出平面与平面的各种位置关系的图形；掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念。

会用上述概念以及平面与平面平行、垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有关问题。

5．进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单的问题。

6．掌握棱柱的概念、性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形和直棱柱的直观图。

7．掌握棱锥的概念、正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

8．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念，理解多面体的欧拉公式。

9．掌握球的概念、性质、体积及表面积公式。

10．通过本章教学，培养学生的辩证唯物主义观点、空间想象能力和逻辑思维能力．

二、本章的特点

（一）重视加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力 数学语言是在数学思维中产生和发展的，又是数学思维不可缺少的重要工具．在对数学语言的研究中, 通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言。例如，“垂直于同一平面的两条直线平行”是一个立体几何定理的文字语言形式；是该定理的符号语言形式；用图象语言，这个定理则可表示为图1。几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约。 图1

本章编写中注意了采取以下几点措施来加强三种数学语言功能的发挥。

1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系

当代著名数学家、数学教育家G ．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平。从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句

法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索。

在“直线、平面、简单几何体”这章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的。其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言。完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平。因此，加强图形的运用十分重要。本章编写中注意首先强调图象语言，不仅适当增加插图的数量，而且注意提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用。文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简化和再次抽象。显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识。有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，即由一种描述能转化为其他描述，就基本能把握对象了。

对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果，给学生留下更深刻的印象。

2．做好由模型到图形的过渡

立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面（如书页）上的图形想象出三维空间中的几何关系。对此, 即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度。对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大。克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡。要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体（正方体等）的练习可以提前些。通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的。这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容。为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用。

3．注意两个方向的转化

培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题．首先是“图形---文字--- 符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式．其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”。因此，本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练。这样做既有利于第一种转化, 同时也为实现第二种转化做了必要准备。

4．文字语言要准确简明

本章的语言叙述力求准确简明。对一个公理和一个定义在文字叙述上作了变化。

（1）关于平面的公理2的叙述

在《立体几何》课本（必修本）中，公理2是这样叙述的：

“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这个点的公共直线。” 关于公理2的这种文字表达上似应改进。读了上述文字，可能初学者会问：“这两个平面的过这个点的公共直线有且仅有一条，此外还有无不过这个点的公共直线？”“这两个平面除这条公共直线外还会有别的公共点吗？”产生这样的疑问的原因是，从字面上看上述公理中“有且仅有一条”的对象单指“通过这个点的公共直线”而不包括其他公共直

线。虽然由“通过这个点的公共直线有且仅有一条”可以推出“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点”，但是这样的推导又需使用另外的公理（公理3），进行这样的推导并非原课本设计的本意。实际上，由课本的上下文及插图可以明显地看出，课本中安排这个公理是要直接明确地告诉学生：“这两个平面的公共直线有且仅有一条，它通过这个点。”

鉴于以上所述，本章虽然仍以这个公理为公理2，但是在文字叙述上改写如下：

* “如果两个平面 有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集

合是一条直线．”（教科书中加页边注：* 在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面．）

由于新教材在第1章专门安排了“集合”的内容，在第9章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，所以编者认为改写后的公理2，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题，从而克服原教材叙述上的不足．

（2）关于两点间球面距离的叙述

《立体几何》课本（必修本）对两点的球面距离叙述如下：

“在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．我们把这个弧长叫做两点的球面距离．”

仔细阅读可以发现，这里两次出现了“距离”一词．细心人会问：既然“球面距离”定义出现在后，那么这段文字中前面的“最短距离”又是指什么“距离”？它相对于哪些距离而言“最短”？

《立体几何》课本（必修本）中上述文字虽算不上循环定义，但至少是在未明确外延的“距离”中说“最短距离”，又用未交代清楚的“最短距离”来解释“球面距离”，这种用含义不清的概念解释新概念的描述方法在逻辑上容易引起混乱．因此，原来的叙述显然应改进．

鉴于以上所述，本章在对两点的球面距离下定义时，改变了用“最短距离”进行解释的作法，代之以用“最短连线的长度”来介绍描述，即文字叙述如下：

“在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧．我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离．”

虽然这里仅仅是几个字的改动，但是这样改在逻辑上更合理，内容上更确切，比原课本写法更直观，从而更便于教学．

5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范

本章在符号语言的使用方面注意把原课本的优点发扬光大． 使用符号的目的在于带来方便，符号要合理．例如，我们用

, 分别表示“平面的交线为a”和“点P 在直线

a 上，a 在平面内”，就是根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理．这里的 都有固定含义，不能随意使用，教学中有必要向学生反复交代．

符号要简洁，在不会引起混乱的前提下可适当简化．例如，用,

而未用

来表示直线a,b 相交于点P ．虽然从严格的角度来看, 后一写法更规范，但

是前一写法较简单，又不至于引起误解，所以前一写法更可取（国家标准也是这样规定的）．采用某种写法要前后一致，不可随意变换．规范是相对的，有时某些约定俗成的不甚严格的符号更实用．

符号要易用，如果一下子出现过多符号会给使用带来不便，则不必强求符号化．例如，

在逻辑中“或”和“且”分别有专门符号，但如果我们

用

来表示“直线a,b,c 或互相平行，或相交于一点

P”，就容易稍不留意而将等弄混．对此类问题本章采

用

类型的表示，以便于初学者掌握．

符号的使用要有通用性，因而应相对规范．本章对于国家标准中已作过明确规定的符号，不折不扣地执行；对于尚未有明确规定的，则按照准确、简洁、易用的标准，结合高中生的实际，参照通常使用的情况，审慎地选择使用．

（二）简化了关于几何体的内容，用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，突出相应的数学思想

本章在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球．

1．本章关于球面积和体积公式的推导方法必须与原教材有相应变化．其理由主要有：

（1）教学内容中删除圆台后，原教材中引出球面积公式的预备定理就不能出现了，因此球面积公式的处理不能沿用原教材方式．

（2）教学目标中未包含体积公理及柱、锥体积的理论推导，而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之前的内容．如果不讨论圆柱、圆锥体积的推导，而直接用ü_们来推出球的体积公式，就在逻辑上显得很不协调人们不仅要问：为什么圆柱、圆锥的体积公式不作理论上的推导，而球的体积公式却要推导呢？因此球体积公式的处理也不好照搬原教材方式．

（3）微积分初步知识已属于现代社会新一代人应了解的科学内容之一，利用微积分的基本思想方法，适当借助几何直观，而不严格地使用微积分的有关概念及公式，可以对上述两个公式做出深入浅出的解释性推导，这种方法要比原教材的初等数学证法更具一般性．

2．新教材在处理球面积、球体积公式推导时，与原教材相比较有以下两个主要变化：

（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙．

（2）不用原教材的需要借助圆锥和圆台为预备知识的推导方法，而以求几何度量公式时具有一般性的数学思想为指导，改用“分割，求近似和，化为精确和”的推导方法．同时注意适合高中生的水平，既要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导．具体处理方法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式．

本章推导这两公式时，力图进行在渗透近代数学思想方法上下功夫而又考虑到教学的量力性原则的改革．在这两公式的推导部分，都作了相应的注解，即说明编写者认为在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于强调掌握具体推导过程，以此希望能有助于师生使用本书时把握好重点．

三、教学中应注意的几个问题

（一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力

本章教材的重点，是平面的基本性质、空间直线的位置关系、直线与平面之间（线面）及两平面之间（面面）的平行和垂直关系，即第一大节的主要内容．这是研究立体几何问题的重要基础．掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最根本的内容，其他部分就容易学习了．因此，对于本章前面部分的教学，应注意讲求实效，让学生切实学好这些最基础的

内容，并能在头脑中建立相应的知识体系，使知识条理化．

使学生建立正确的空间观念，对图形的认识上实现由平面到立体的过渡，是本章教学中的难点．为克服这一难点，可注意以下几点：

1．联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练．由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力．

2．体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力．

长期的教学实践证明，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于学习几何是极其重要的第一认识过程．只有完成好这一过程的认识，才能升华到由抽象的文字、符号返回直观图形的第二认识过程．教学中应研究学生的认识规律，按照“先由具体图形到抽象文字和符号，再由抽象文字和符号返回具体图形”的顺序，让学生掌握三种数学语言的综合运用能力．

3．联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同以及两者的内在联系，逐步培养学生把已有的对平面图形认识上升为对立体图形的认识，以及把立体图形分解为平面图形、利用平面几何基础解决立体几何问题的能力．

（二）结合观察分析图形能力的训练，提高学生的逻辑思维能力

本章研究的是立体图形，所涉及的问题包括画图、计算、证明等，其中证明问题占较重要的地位．进一步发展学生的逻辑思维能力，是教学目的之一．由于本章讨论的对象是空间的几何元素，所以有关推理证明必须建立在观察分析立体图形的基础上．完成这样的问题既需要空间想象能力，又需要逻辑思维能力，应该说是两种能力的综合运用．

本章所用的证明方法，主要是通常的直接证法，此外还用到反证法以及同一法的思想，这些证明方法都是根据具体命题的需要而选择采用的，证法简明是选择的主要标准．对于证明过程的表述，本章根据具体题目的特点，分情况采用了

“”和“”两种主要形式，教学中可结合学生实际灵活掌握，而不应限制过死．教学中应要求学生会用反证法证明简单的问题，至于同一法思想的应用，只限于课本的程度，主要是解决有关唯一性的问题，不要求出现同一法的名词，也不过多地训练学生用同一法证题．

本章对球的两个公式的推导，具体处理方法包含较深刻的变化思想，涉及“直与曲”、“近似与准确”、“有限与无限”等的转化，学生学习这些内容时认识上要有一个新的飞越，所以有一定难度．然而，我们认为：适当地引导学生认识公式的来龙去脉，有利于他们理解公式及其产生过程，提高对数学思想方法的认识，符合他们的认识水平和求知欲望．只要在教学中处理得当，注意深入浅出，从特殊归纳一般，对于高中学生来说克服这些障碍是完全可能的．在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于拘泥于推导细节的严谨性．

（三）注意知识体系的整理总结

本章第一大节以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索展开，其中“平行”和“垂直”是两种重要的位置关系，这样安排可以被认为是按几何元素纵向深入研究．学习完该大节后，还可以变换一个角度，以“平行”和“垂直”为线索，对所学内容进行横向整理总结．这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活．

四、有待研究的问题

（一）如何更好地联系实际

本章内容如何更好地联系实际，加强学生对所学内容的应用意识和能力？哪些实际问题既具有现代特征又适合高中生研究解决？这是本章编写中不断思考但始终未能找到很好的答案的问题．希望教学中能对此注意研究、收集、总结．

（二）结合教学内容，研究教具学具和教学软件的制作

模型教具在立体几何教学中有特殊地位，结合教学内容研制相应的教具学具，对培养学生的观察能力和动手能力是十分有益的．随着计算机的日益普及，教学软件等在教学中的作用正逐步开拓．因此，围绕本章内容开展这方面的研制和使用应及早提到日程。

第十章 “排列、组合与概率” 简介

高中数学(试验本·必修) 的第十章是《排列、组合与概率》，它是由现行高中数学必修本代数下册的第九章《排列、组合、二项式定理》和第十章《概率》合并而成的。

作为高中数学必修内容的最后一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位。以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系；至于概率，在概率论与数理统计已获得今日社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对它进行初步学习更是显得十分重要：可以获得概率的一些基本知识，了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，并为到高中三年级以及进一步学习概率统计知识打好必要的基础。

一、内容与要求

(一) 内容分析

从《新大纲》来看，本章内容与现行高中数学必修本的相应两章内容完全相同，在教材处理上，考虑到科学计算器已进入高中数学学习，注意了运用计算器进行较为复杂的排列组合、概率的计算，并删减了计算器的情况下学习必要性已不太大的“用二项式定理进行“近似计算”等内容。

在内容安排上的一个突出变化，就是将排列、组合与概率从分章安排改为并成一章，这主要是基于两者之间的下述密切联系：

排列与组合，主要研究有限集合的一类计数问题，而本章中的概率，重点研究随机试验下基本结果有限的事件的概率，特别是等可能性事件的概率；求排列数、组合数与求等可能性事件的概率在内容上是平行的，因为求 中的n 、m 实际上往往是求排列数、组合数；概率为p 的事件在n 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率计算公式，实际上就是二项展开式

的通项为第k 十1项的公式, 从解应用题的思考方法看也完全相通，

正向思考时，利用加法原理、乘法原理、互斥事件的概率加法公式等将较复杂的问题进行分解，必要时利用逆向思考的方法通过考虑集合在全集中的补集、求对立事件的概率等来简化问题的求解。

鉴于排列、组合与概率的上述密切联系，将它们并成一章，有利于知识间的融汇贯通，有利于进一步了解排列、组合的具体应用，有利于节省教学时间，有利于控制排列、组合的学习难度。

本章第一大节从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的

思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理。在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫。随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备。

在本章的第二大节，先在实例的基础上提出随机事件的概率的概念后，着重研究了所谓古典概型——随机试验下的结果数有限且发生的可能性相等的概率模型，使学生会进行一些最简单的概率计算并由此加深对概率概念的理解，为了扩大所能计算的概率的范围，又研究了事件的加、乘运算，提出了互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式。最后通过计算n 次独立重复试验中事件恰好发生 k次的概率，使前面所学知识在这里得到综合运用，形成本章的一个较为理想的收尾。

本章还为部分学有余力的学生安排了两篇阅读材料。一篇是《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系。例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题。另—篇阅读材料《抽签有先有后，对各人公平吗？》是一个在现实生活中常常遇到的问题。对这个问题有些人存在着“先抽有利”的心理，这篇阅读材料运用概率计算的方法，说明了先后抽签的公平性。

(二) 教学要求

1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题。

3. 掌握二项式定理和二项展开式的性质。并能用它们计算和证明一些简单的问题。

4．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能性事件的概率。

5．了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。

6．通过对概率知识的学习，了解偶然性富于必然性之中的辩证唯物主义思想。

二、本章编写的主要特点

“注”的方式，小结了解题的思路与方法。例如 10．5节例2后的“注”写道：“像例2这样，求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求该事件的对立事件的概率”。

(三) 突出了知识间的内在联系

中学数学里的各种知识并不是孤立存在的，而是相互联系的，这种联系不仅可使我们将整个中学数学知识编织成一个有序的结构，而且便于我们利用这种联系从不同的角度去解决同一问题。在本章中，除上面提到的将排列、组合与概率并成一章，将二项展开式与n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式联系起来以外，还特别将前面学习的函数与二项展开式联系起来。

我们曾研究过许多函数，特别是研究过自变量离散变化的一种函数——数列，因此从函数的角度看，研究二项式系数的性质其实并不是一个什么新鲜问题，它实际上是研究定

义域为{0，l ，2， „ ，n}的某个函数的性质，这样就可以借鉴以前研究函数的一些经验与做法，画出其图象以增加研究的直观性，确定需要研究的性质的内容(包括定义域、对称性、增减性、最大值等) 。这样处理，不仅使对“二项式系数的性质”的学习变得直观和有规可循、从而便于接受，而且使所学知识成为以前知识的自然延伸，而不是一个另起的新知识生长点。

(四) 重视启发学生的思维

编写教材时，充分利用本章的特点让学生在通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以启发学生积极开动思维机器，培养其观察、归纳能力。例如在提出“组合”这一节的第1个引入例时，随即发问：这个例子与 “排列”那一节的第1个引入例有什么不同? 在讲“组合数的两个性质”时，当引导学生得出

。后，提出问题：“怎样对这一结果进行解释呢?”从而引导到对组合数的性质1的证明。同样，组合数的性质2也

不是直接提出，而是先从一道例题的结论中发现，然后问：“你能对上面的等式作出解释吗?”，由此顺其自然地进入组合数的性质2的证明。

此外，教材在叙述过程中还适当安排了一些“想一想”这些“想一想”，均是一想就能回答的问题，旨在活跃教材讲述的气氛，以更好地吸引学生，并对所讲的重点问题起到补充作用。例如教材在导出排列数公式后，先举了两个代入公式进行计算的具体例子，然后安排了一个“想一想：如果

，那么n ＝? m=?”这是针对学生只习惯于正向思考、不

习惯于逆向思考而设计的：如果给出了n ，m ，学生能很快写出A 的表示式，但是反过来，已知的表达式，要求找出n 和m 时，却往往反应不那么敏捷了，因此这个简单的“想一想”有助予学生从正、反两方面去熟悉排列数公式。又如，在导出了公式

后，紧接着安排了一个“想一想：对比上面公式与前面表示二项式定理的公式，你能看出它们之间的联系吗？”这个问题本身是简单的：上式就是二项展开

式

的第k+1 项。在弄清这个事实后，达到了复习前面的公式、了解了

两个公式的联系、了解了前面公式的应用、对以后应用中可能产生的混淆作了提醒等目的。

(五) 注意知识的应用

本章内容，特别是有关概率的部分，有着广泛的实际应用，正是因为这一点，使数学教育改革中各国中学数学课里增加概率统计知识成为没有争议的事。尽管本章只是介绍了有关概率的一些最初步知识，如讲概率的加法仅限于互斥事件、讲概率的乘法仅限于相互独立事件，从而使知识联系实际问题受到一定限制，但总的来看，本章内容在解决实际问题方面还是大有可为的。在编写教材时，内容联系实际的面力求广泛，涉及生活的方方面面且为学生所熟悉，使学生充分感受到所学知识与实际生活的联系，体会到数学在社会中的作用，当然，也要注意避免联系学生不熟悉、不易理解的应用问题。从知识应用涉及的内容看，联系日常生活的有体育比赛、科学选材、文娱活动、旅游、购物、分物品、存放物品、电话号码、储蓄、掷硬币、掷玩具等，联系社会生活的有出生率、药物疗效、天气预报、上(下) 班等，联系学生生活的有选代表、排课表、课外活动、排节目、过生日等，联系生产实际的有产品检验、电路设计、测量误差、生产故障、种籽发芽等。需要指出的

是，我们有意回避了赌博等问题，如将掷点数用的赌具改叫做正方体玩具，以避免对学生产生负面影响。

三、教学中应注意的几个问题

(一) 注意把握教学要求

学生学习本章时，是第一次接触概率知识，它只是内容丰富的概率论与数理统计这门庞大的数学分支的一些最初步的知识，限于教学要求和学生的知识基础，对其中很多问题的讲述从数学的角度看是不严密的。例如，对随机事件的概率的一般定义，实际上是一个并不严格的描述性定义，多个事件两两相互独立的意义，教材上并未明确指出；互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式是在具体例子的基础上归纳出来的，并未进行一般的证明等等。但是，这种理论上的不严谨并不影响学生了解概率等概念的实际意义和进行简单应用；即并不影响完成本身的学习目标。因此，我们在教学观念上定要把学习看成一个不断深化的过程，摆脱“深、透、全”的影响，避免将教学要求拔高。比如注意，不要为了讲清随机事件的意义而引进样本空间的概念，不要企图将随机事件的一般定义讲得更加清楚、更加确切，不要提出一般的两个事件的和与积的意义，不要补充3个以上的事件的两两相互独立的确切含义，不要对互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行一般性证明。在排列与组合这—部分，排列数公式在具体例子基础上归纳得出即可，不必用数学归纳法去进行严格证明，对于本章的例习题，在要求上不宜提高，因为事实证明，过高的教学要求不仅增加了学生的负担，而且冲淡了学生对基本概念的理解和学会基本的应用。

(二) 加强对解应用题的指导

解排列、组合和概率的应用题，既是本章的重点，又是本章的难点。实践表明，极易算错是上述应用题的一个非常显著的特点；因此加强对解应用题的指导，是本章教学成功的一个关键问题。具体来说，建议在以下环节上进行指导。

1．仔细审题，弄清题意。通过审题，应弄清题目中的条件，特别注意其中是否带有隐含条件。例如，“从数字0，1，2，3中每次取出 3个数字，共可组成多少个没有重复数字的三位数?”这道题，如果将它看成一个求排列数问题，那么数字0不能作为一个排列的开头就是其中的隐含条件。如果审题不仔细，常常漏掉或错误理解其中的隐含条件。其次，在审题中要弄清题目属于哪一类问题，特别是要区别排列问题与组合问题：可向学生强调，它们的区别在于是否与顺序有关，为了鉴别这一点，可以任选其中的一个结果，交换其中两个元素的位置，如果结果不变就是组合问题，否则就是排列问题。

2．点拨思路，加强分析。对带有附加条件的排列组合题和某些概率题，通常有不同的解题思路。可以正向思考，也可以逆向思考，正向思考时可以通过“分类”将问题分解，也可以通过“分步”将问题分解。这时，就要根据问题的特点，确定一种较为简便、合理的解法。为便于将问题分析清楚。有时还可画出辅助图形。在讲完例题后，还可回过头来对解题思路和方法进行体会和小结，以达到举一反三的目的。

3．变换解法，验算结果。对于排列组合题，学生常常是计算出错却坚信正确无疑，这时可引导学生变换解法再去求解，对所出现的重复和遗漏计算等问题进行反思。这样既验算了所得结果，又活跃了学生解题思路，减少了学生以后解应用题时可能发生的错误。

2．做好由模型到图形的过渡

(三) 结合本章内容对学生进行思想教育

对学生进行思想教育，是包括各门课程在内的整个学校各方面工作的共同任务，有意识地结合数学教学的具体内容对学生进行思想教育，往往能收到事半功倍的效果。

1．通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，“杨辉三角”是我国古代著名的数学成就之一，它的发现要比欧洲早约500年，因此应通过这一伟大发现，说明中华民

族的勤奋与智慧，激发学生的民族自豪感；为祖国的繁荣昌盛而努力学习的热情。

2．通过对概率等知识的教学，使学生认识对立统一的辩证唯物主义观点。随机事件在一次试验中的发生与否具有偶然性，但在多次重复试验中，它的发生存在着一定的规律性，即 “偶然中有必然”‘可见，偶然性与必然性既是对立的，同时在一定的条件下又是可以转化的。学生认识这一对立统一规律，对他们今后正确地认识事物及其关系很有帮助。

(四) 注意在符号使用方面所出现的变动

根据新颁布的有关量和单位使用的国家标准，排列数符号P 已弃用，而改用A ，这样改动的一个好处是使表示排列数和概率的符号避免采用同一字母，这在将排列与概率并成一章时尤其有着重要意义。按照上述标冶，组合数的符号采用数符号与组合数符号表示的协调，并照顾到过去一直采用

符号选定为和均可，考虑到排列的习惯，这次教材中将组合数

。此外在研究某些事件的概率时，变量在某一段的取值范围已不用

而改为 “[a，b]”，这是因为在上述标准中前者的意义改为[a，b]，用它表

示分组数据时不能保证数据的既不重复又不遗漏。

四、有待研究的几个问题

(一) 是否将“重复排列”明确为教学要求

在《大纲》中，并未列上“重复排列”的知识条目，但不论是从现行高中必修本，还是从本高中试验教材来看，重复排列的知识及其应用实际上都已涉及到了。笔者认为，与其将它这样“羞羞答答”地塞进所学内容．还不如索性将其明确为教学内容更好．这样在教学时更利于掌握。

从n 个不同元素中可以重复地选取m 个元素。按照一定的顺序排成一排，叫做n 个不同元素的允许重复的m 个元素的重复排列。这个概念是不难理解的，与不重复排列相比，被选的n 个元素互不相同这一点是共同的，不同的只是所选的m 个元素，一个要求互不相同，一个无此要求。从重复排列数公式的推导看，也较简单，易于理解，只要运用乘法原理，可立即得到它等于

实际上，学生在运用乘法原理解某些应用题时，已自觉不自觉地多次运用过这一公式．而一旦将这一公式明确提出，学生会强化对它的记忆与理解，从而可以减少常常发生的答案是

还是

的混淆。

重复排列不仅易于掌握，而且应用很广，诸如电话号码、密码等问题均与其有关。可见，在现有的乘法原理的基础上，顺势提出重复排列的概念、在实例基础上归纳出重复排列数公式，从这个公式应用的角度讲点例题(此例题教材本来就有，只是求解的根据的提法不同) ，所花时间充其量为1课时，鉴于上述分析，将重复排列明确为教学内容是适宜的。

(二) 是否应从集合的角度去解释排列、组合和概率

排列、组合和概率的概念，均可从集合的角度去解释或定义。例如，从3个不同元素a ， b ， c中取出2个元素的所有排列是：

ab， ac， ba， bc， ca， cb，

这些排列组成一个集合，每一排列是其中的一个元素，求，实际上就是求上述集合(记为 A)的元素个数card(A)。这里， card(A)＝ 6。对于组合，也可作类似考虑，而概率的集合解释，教材正文中已提到了。

对于将排列、组合、概率与集合联系起来，在本教材征求意见过程中存在着不同意见，持赞成态度的强调了进行这种联系的两点好处。

首先，集合是中学数学中的基本概念之一，在中学里研究的数、式、函数、图形、向量、排列与组合、概率等，都可以看作是某种集合，即在集合的高度上，各种不同概念间的本质显现得更清楚了，它们之间的联系更突出了。因此，将排列、组合、概率与集合联系起来，有助于学生在高中数学必修课的最后，从集合的角度对所学的主要概念进行梳理，对所学知识进行综合复习和融汇贯通。

其次，可利用集合表示的直观性和集合的并、交、补等运算关系求解较复杂的应用题。解排列、组合应用题的一个特点是容易算错，常因对问题的分析不够仔细和确切导致计算的重复和遗漏，而当用集合方法考察这些应用题时，可将问题中的限制条件间的关系转化为可用集合文字图清楚显示的集合间的运算关系，从而使问题较容易获得解决。 另一方面，不赞成将排列、组合、概率与集合联系起来的理由主要也是两条。

首先，不进行上述联系，学生也能理解有关概念，并不会影响本章的学习效果，而进行上述联系后，虽然观点高了，但并不见得学生就能理解，这对于以学会用数学为主要目的的多数学生来说未必合适。

其次．国家标准规定中的集合符号的表示较为繁琐。集合A 的元素个数表示为card(A)，集合A 在全集I 中的补集表示为，因此当用这些符号表示一些问题时，增加了问题的抽象程度，有将简单问题复杂化之嫌。

鉴于上述，本教材将排列、组合与集合的联系暂列为仅供学有余力学生学习的“阅读材料”，而在与集合的联系更为直接(事件就是一种特殊的集合) 、用集合方法分析有关问题更为清晰的概率中，适当增加了对概率问题的集合解释。这些处理方法是否妥当，还需在教材试验中进一步研究。