[机械优化设计]试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案

一、填空题

1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。

2、机械优化设计采用数学规划法,子 。

3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。

6、函数 1

2XTHXBXCT的梯度为 HX+B 。

7、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_共轭_____关系。

8、设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。

10、用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数f(x)x210x36的极小点，初始搜索区间

[a,b][10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为

12、、

13、牛顿法的搜索方向dk，其计算量且要求初始点在极小点置。

14、将函数f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1

2XTHXBXCT的形

式 。

15、存在矩阵H，向量 d1，向量 d2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d1和向量 d2是关于H共轭。

16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。

17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。

二、选择题

1、下面方法需要求海赛矩阵。

A、最速下降法

C、牛顿型法

D、DFP法

2、对于约束问题

minfXx1x24x24

x1x210

3x10

x20

X1222 g1X g2X g3X 根据目标函数等值线和约束曲线，判断

为 。

A．内点；内点

B. 外点；外点

C. 内点；外点

[1,1]T为X2[51T,]22

3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。

A 无约束优化问题

C 只含有等式的优化问题

D 含有不等式和等式约束的优化问题

4、对于一维搜索，搜索区间为[a，b]，中间插入两个点a1、b1，a1

A [a1，b1]

B [ b1，b]

C [a1，b] 5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A设计变量

B约束条件

C目标函数

6、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk-αkHk▽f(xk)，下列不属于Hk必须满足的条件的是________。

A. Hk之间有简单的迭代形式

B.拟牛顿条件

D.对称正定

7、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的

B、上升方向

C、最速下降方向

D、下降方向

8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

A 梯度法

B 牛顿法

C 变尺度法

9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则

充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处 。

A 正定

C 负定

D 半负定

10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是假设要求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1

A、其缩短率为0.618

B、α1=b-λ（b-a） f(X)在R上为凸函数的

D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

11、与梯度成锐角的方向为函数值方向，与负梯度成锐角的方向为函数值降 方向，与梯度成直角的方向为函数值 不变 方向。

A、上升

B、下降

C、不变

D、为零

12、二维目标函数的无约束极小点就是。

B、梯度为0的点

C、全局最优解

D、海塞矩阵正定的点

13、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为 向量。

A 相切

C 成锐角

D 共轭

14

B 惩罚因子是不断递减的正值

C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D 初始点必须在可行域内

15、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是

A 牛顿法 C 共轭梯度法 D 变尺度法

16、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度

、快 C、一样 D、不确定

17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是 。 A 需要求海赛矩阵

B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 二次收敛性

D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度

三、问答题

1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区

答：搜索的原理是：区间消去法原理

区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法

（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？

答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解

3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值

4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。

四、解答题

1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最优解，设初始点x(0)=[-2，4]T,选代精度ε=0.02（迭代一步）。

2、试用牛顿法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最优解，设初始点x(0)=[2,1]T。

3、设有函数 f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。

4、求目标函数f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1，1，-2]T处具有极小值。

6、给定约束优化问题

min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2

s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0

g2(X)=－x1－2x2＋4≥0

g3(X)= x1≥0

g4(X)=x2≥0

验证在点X[2，１]TKuhn-Tucker条件成立。

7、设非线性规划问题

minf(X)(x12)x2

g1(X)x10

g2(X)x20

g3(X)x1x2102222 s.t.

用K-T条件验证X

*1,0T为其约束最优点。

10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

14、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

判断题

1,二元函数等值线密集的区域函数值变化慢 x

2海塞矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式大于零 x 3; 当迭代点接近极小点时,步长变得很小, 越走越慢 v 4二元函数等值线疏密程度变化

5 变尺度法不需海塞矩阵v

6梯度法两次的梯度相互垂直v