灵敏度分析
灵敏度分析
在工程分析中,人们不仅关心车辆、产品等东西的性能预测,同时也关心利用性能预测的结果来变更设计、修正误差时的灵敏度进行分析。对这些参数的灵敏度进行量化分析,即称作灵敏度分析。
举例来讲,想预测飞机的起飞距离。从Anderson的《Intro. To Flight》一书中,起飞距离的估算遵循如下方程:
SLO
1.44W2
= gρ∞SCLmaxT
结合实际例子,以Anderson书中描述的CJ-1喷气式飞机为例。该例子中,各项取值如下:
S=318ft2
ρ∞=0.002377slugs/ft3(海平面高度)
g=32.2ft/s2
T=7300lbs W=19815lbs CLmax=1.0
依据该“名义”工况:
SLO
1.44(19815)
= (32.2)(0.002377)(318)(1.0)(7300)
2
SLO=3182ft(名义工况)
假设CLmax不确定,相对于名义工况有±0.1的误差,则 0.9≤CLmax≤1.1
同样,我们假定飞机在负载情况下重量有所增加。具体来讲,加入重量有10%的增加:
(1)线性灵敏度分析
(2)非线性灵敏度分析(即再评价) 上述两种分析方法各有优缺点。通常依据问题本身的性质以及可用的工具来选择使用哪种方法。采用两种方法分别进行分析。
线性灵敏度分析
线性灵敏度依据泰勒级数方法近似。假定我们想知道SLO随W和CLmax的变化关系,则:
SLO(CLmaxΔCLmax,W+ΔW)≅SLO(CLmax)+
∂SLO∂S
ΔCLmax+LOΔW∂CLmax∂W
则SLO的变化量为:
ΔSLO≡
∂SLO∂S
ΔCLmax+LOΔW ∂CLmax∂W
∂SLO∂SLO
SLO随CLmax和Wj变化的线性灵敏度分别为导数∂CLmax和∂W。
本例子中:
∂SLOSLO−1.44W2
==−
CLmax∂CLmaxgρ∞SCLmax2T
∂SLOS2−1.44W
==2LO
∂Wgρ∞SCLmaxTW
Wj
通过下面的公式可以看出CLmax和变化时对SLO变化的贡献或比例关系:
ΔSLO1∂SLO1∂SLO
≅ΔCLmax+ΔWSLOSLO∂CLmaxSLO∂W=
CLmax∂SLOΔCLmaxW∂SLOΔW
+
SLO∂CLmaxCLmaxSLO∂WW144
[1**********]
敏感分数
对本例子:
所以,当CLmax有微小变化时,它对飞机起飞距离的影响大小相等、方向相反。
当重量变化时,它对SLO的影响方向相同,数量为两倍。因此,依据线性分析的结果,SLO对W的灵敏度要比CLmax高。 依据线性分析,我们想知道当CLmax变化±0.1时,起飞距离将变化μ0.1SLO:
当重量增加10%时,得到:
W=(1.1)(19815lb)→ΔSLO≈+2(0.1)ΔSLO≈+636ft
非线性灵敏度分析
对于非线性分析,在上述给定条件下(包括扰动因素),简单地对起飞距离进行重新求值。为了分析CLmax变化的影响,有:
SLO(CLmaxSLO(CLmax
1.44(19815)2
=0.9)=
(32.2)(0.002377)(318)(0.9)(7300)
=0.9)=3535ft
类似的,
SLO(CLmax=1.1)=2892ft
最后,W增加10%,到21796lb时 SLO(W=21796lb)=3850ftΔSLO(ΔW=+0.1W)=+668ft