应用蒙特卡罗方法计算弹丸偏心距
第38卷第5期2016年10月
探测与控制学报Vol. 38 No. 5Oct . 2016
Journal of Detection & Control
应用蒙特卡罗方法计算弹丸偏心距
张晋华，闻泉
，王
雨时，张志彪
(南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094)
主商要：针对目前难以准确测量弹丸偏心距的问题，提出利用蒙特卡罗方法模拟计算弹丸偏心距。计算过程
中将弹丸分解成相互独立的基本单元，通过计算各基本单元的质量和质心位置，仿真得出弹丸偏心距的分布规 律。仿真结果表明，弹丸偏心距近似服从瑞利分布和威布尔分布，弹丸质量服从正态分布，与实测数据分析结 果吻合，可以给引信弹道炸分析提供参考。分析表明，减少弹体加工过程中的装夹次数能有效减小弹丸偏 心距。
关键词：引信技术; 蒙特卡罗方法; 偏心距;计算机模拟
中图分类号:TJ 430 文献标志码：A 文章编号：1008-1194(2016)05-0042-07
Projectile Eccentricity Calculation with Monte-Carlo Method
ZHANG Jin h u a , WEN Q uan , WANG Y u sh i , ZHANG Zhibiao
(School of Mechanical Engineering, NUST, Nanjing, 210094, China)
Abstract ： In view of the problems that it is difficult to measure the eccentricity of projectiles accurately, a
method of calculation for eccentricity of projectiles with Monte-Carlo method was proposed. The projectile was split into basic elements which was independent from each other in the calculation process. The distribution law of the eccentricity of spinning projectile could be simulated by calculating the quality and the centroid position of the basic elements. The simulation results coincided with the measuring results, which could provide reference for the analysis of fuze?s early burst. The results showed that the eccentricity of the projectile obeyed rayleigh distribution and weibull distribution approximately. The projectile mass obeys normal distribution The eccentricity of projectiles would be reduced significantly when the number of clamping the projectile body on the machine tool was reduced.
Key words ： fuze technology ； Monte-Carlo method ； eccentricity ； computer simulation ；
置密切相关。因此，准确获取弹丸偏心距，对于弹丸
〇引言
高速旋转弹丸在飞行过程中以锥形运动螺旋前 进，这种运动方式保证了弹丸的飞行稳定性。由于 弹丸零部件制造误差（主要包括尺寸误差和同轴度 误差)和装配间隙，使得旋转弹丸的旋转轴线并非就 是弹丸的几何轴线。当弹箭外形不对称或者由于质 量分布不对称使质心不在弹轴上时，会产生对质心 的力矩，导致弹箭绕质心转动[1]。引信及其零部件 所受弹道环境力，与此绕质心运动以及该质心的位 *
外弹道特性分析和计算以及其引信复杂受力环境分 析和弹道炸原因查找，都具有重要意义。文献[2] 指出，弹丸存在偏心距即径向质心偏移量时会引起 引信无返回力矩钟表机构延期解除保险距离散布， 弹药生产过程中需对弹丸偏心距加以控制。准确计 算旋转弹丸偏心距是弹丸设计、引信设计、弹道分析 计算和弹丸稳定性研究的重要基础之一。
弹丸偏心距较小，目前难以准确测量。生产过 程中，对弹体偏心距的控制主要是通过检测和控制 弹体壁厚差来间接保证的。
*收稿日期=2016-03-24
基金项目：江苏省自然科学基金青年基金项目资助(BK20140786)作者简介:张晋华(1990—），男，江苏南通人，硕士研究生, 研究方向：精密机械设计与动力学分析。E-mall :zhanfgh204 @163. com 。
张晋华等：应用蒙特卡罗方法计算弹丸偏心距
43
文献[3]在未考虑弹体壁厚差的前提下，用统计 法估算了径向间隙和同轴度误差引起的引信球转子
旋转偏心。文献[4 5]利用弹丸结构特征参数实测
一
上式的含义为用M 去除A ^，得到的余数为 心+1，其中A 、:c 。和M 为预先选定的常数。将得到的 序列G n ，m
而，…&) 除以M ，即可得到区间[0,
&) [8]。
1]之间的随机数(n ，
数据拟合其数学分布，分别指出一种82 mm 口径迫 击炮弹偏心距服从威布尔分布和瑞利分布，一种
155 mm 口径火炮榴弹质量服从正态分布，而偏心 距分布接近于威布尔分布和瑞利分布。文献[6]在 不考虑弹丸质心相对于其几何轴线偏移量的前提 下，利用蒙特卡罗方法模拟了引信机构的旋转偏心， 在区间[〇, 1]内随机数n 已经生成的情况下， U ，W 区间内服从均勻分布的随机数可按下式抽取：
Rt = (b — a ) rt + a
抽取：
(3)
对服从正态分布（ju ，ff ) 的随机数，可按下式
同时指出因旋转偏心所产生的引信机构离心惯性力 以及由此所产生的约束反力及其沿轴向的摩擦力都 不可忽略。
目前未见国内外有关于旋转弹丸偏心距计算机 仿真研究的文献。文献[6]的方法虽不能计算某一 发特定引信的偏心距，但可以找出总体散布范围，工 程上可以用于估算其影响。本文按照文献[6]的思 路，利用蒙特卡罗方法计算旋转弹丸偏心距。
1
蒙特卡罗方法
1. 1蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法也称为随机模拟方法，其基本思
想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理 等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程， 使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程 的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最 后给出所求解的近似值[7]。
对于多维随机函数z =/d
，X 2，X 3，…，X J ，
当已知其中每一个随机变量的分布和分布参数时，
就可利用蒙特卡罗方法确定函数Z 的统计。当完 成大量统计计算（例如1〇5次)后，随机函数Z 便会 出现与现实状态相似的分布规律。蒙特卡罗方法的 理论基础是大数定理和伯努利定理。只要独立试验 次数足够大，这两个定理就能成立。因此，只要进行 足够大量的计算，蒙特卡罗方法的应用就几乎没有 限制[8]。
1. 2蒙特卡罗方法的计算机实现
使用蒙特卡罗方法解决问题时必然会用到随机 数或更常见的伪随机数。计算机产生伪随机数的方 法有多种，其中应用最为广泛的是乘同余法。
乘同余法的递推公式为[9]:
= Xxn(modM ) (1)rn = xJVT 1
(2)
Ri =
^ fj . (4)
式中^»i , i 为标准正态分布抽样。根据复合抽
样方法，可按下式计算[7]:
tmu ] = V 7— 2lnra cos (2jrr i 2)
i = l ,2,-" n (5)
对服从瑞利分布的随机数，可按下式抽取：
R = \/— Zlnrt
i = l , Z,---n
(6)
2
利用蒙特卡罗方法计算旋转弹丸偏
心距
2. 1基本假设在对弹丸偏心距进行分析和计算前，做如下
假设：
1)
弹体同轴度误差方向随机，方向角在
360°]内均勻分布，同轴度误差按瑞利分布[9]。 99. 99%的同轴度误差散布范围与同轴度公差相同。
2)
除弹体同轴度误差外，其余尺寸均符合正态
布，其散布中心为公差带中心，散布范围8 s 为公差带 宽度T 。这相当于假设工艺能力系数为8s /6s =1. 33,也未考虑生产操作过程中为降低废品率保证尺
寸修复裕量而使实际尺寸分布中心并不位于公差带 中心而是略偏向于最大实体状态的实际情况。由于
正态分布只有99. 99% (即散布范围8 s 对应的置信 度)的取值在公差带宽度T 内，故在蒙特卡罗模拟时 要剔除在公差带了之外的抽样尺寸即不合格尺寸[6]。
3) 弹体材料为均质材料。4) 忽略纸垫的影响。
5) 不考虑弹体表面不圆度等形状误差。6) 不考虑弹体表面处麵觀及装配涂漆的影响。
7) 不考虑倒角和圆角尺寸偏差。8) 弹带槽按辊花前尺寸计算。
9) 假设螺纹中径服从正态分布，公差带宽度
中径极值之差。
44探测与控制学报
10)假设战斗部装药密度均匀，不考虑引信、弹 带、炸菌柱及曳光管0身的径向偏心距，弹带、炸药 柱、曳光管相对于弹丸中轴线的偏心由弹体上相应 孔决定，引信、弹带、炸药柱、曳光管质釐已知。2. 2仿真方法
本文将旋转弹丸分解为相互独立的多个基本國 转単元，通过计算各回转单元的质卩:和质心位置 兄，為，X 3，…，足，则弹丸的质心位置可看作这些 1)弹口螺纹M 27X L 5对外圆柱部的同轴度误 差不超过25 mm ;
2 ) jt 蔚室孔(p •对外圆柱部的同轴度误弟不 超过 0. 25 mm ;
3) 过 0. 075 mm ;
4) 弹带对外圆柱部的同轴度误差不超
0. Q 75 mm 0
定心部（37)对外圆柱部的同轴度误差不
随机变M 的多维随机函数Z 二/(兄，&，X 3，…，
。对该多维随机函数的统计规律进行研究，就 可#^出弹丸径向质心位置的分布规律。具体应用方 法和步骤与文献[6 ]的基本相同4
3
算例
3.1 37 mm 口径高炮榴弹径向质心位置分布一种37 mm 口径高炮權弹弹丸结构如图1所
示，弹丸弹体结构如图2所示9
1_引信;2. 纸垫;3. 炸药柱;4. 弹体;5_弹带;6. 曳光管
图
丨1 一种37 mm 口径高炮榴弹弹丸结构图 Fig.l
The structure drawing of 37 mm-caliber projectile
月
-S . I X Z Z
S 图2 —种37 mm 口径髙炮榴弹弹体结构
Fig. 2 The structure drawing of 37 mm-caliber
projectile body
由弹丸产品图上技术要求可知：
从生产工艺分析：
1) 除弹带部和定心部外，假设弹体外表面其部分对外圆柱部的同轴度误差都不超过〇. 25 mm ;
2)
假设下药室孔对外圆柱部的同轴度误差也
不超过0• 25 mm 。
将弹体分解为弹头部、定心部、连接段、圆柱部、 弹带部、环槽部、尾锥部、螺纹孔、上药室孔和下药室 孔共10部分，如图3所示，分别计算各部分体积。 其中螺纹孔体积按螺纹中径计算，螺纹孔中径及其 它长度尺寸按服从正态分布计算。在计算各部分体 积时，同一尺寸可能会被多次使用，在每一次计算弹 丸偏心距时，同一尺寸的值在计算各部分体积过程 中保持不变。弹体材料密
从工厂调研可知，目前该弹体的加工方法主要
为冷挤压与车削。工序为：冲床下料、整形、一挤、二 挤、引伸、切口、收卩、+:定心部、年弹尾曳光管孔、寧 弹带槽、辊花、扩螺纹孔、铰药室孔、车内螺纹、磨定 心部、检验。挤压过程中，主要通过模具定位孔定位 还料，共需装夹5次;车削过程中，主要通过通用工 装装夹弹体，共需装夹7次。因此可以假设各部分
相对于圆柱部的同轴度误差不相关。
图3 —种37 mm 口径高炮榴弹弹体分解成基本回转单元
Fig. 3 A 37 mm-caliber projectile body was
broken into basic rotary units
从弹丸设计图纸可餐37 mm 口径商炮榴弹弹 丸偏心距计算原始数据如表1所列。
张晋华等：应用蒙特卡罗方法计算弹丸偏心距
45
表1 37 nun 口径高炮榴弹弹丸偏心距计算原始数据
Tab. 1 The original date of calculating eccentricity of 37 mm-caliber projectile
同轴度误差
同轴度误差名称
弹头部与外圆柱部同轴度误差n 定心部与外圆柱部同轴度误差r2连接段与外圆柱部同轴度误差r 3弹带槽部与外圆柱部同轴度误差r4弹带与外圆柱部同轴度误差r4环槽部与外圆柱部同轴度误差n 尾锥部与外圆柱部同轴度误差r7螺纹孔M27X 1. 5与外圆柱部同轴度误差
上药室孔与外圆柱部同轴度误差r 9炸药柱与外圆柱部同轴度误差r 9下药室孔与外圆柱部同轴度误差r n 曳光管与外圆柱部同轴度误差m
装配时引信轴线与弹口螺纹轴线的偏差r 12
基本尺寸
0. 250. 0750. 250. 0750. 0750. 250. 250. 250. 250. 250. 250. 25n2
a5ae ai as a9ai 〇an an an
各部分质量
方位角
ai az as
基本回转单元弹头部质量定心部质量连接段质量弹带槽部质量弹带质量环槽部质量
尾锥部质量
弹口螺纹M 27X 1.5所占质量
上药室孔所占质量
炸药柱质量下药室孔所占质量
曳光管质量引信质量
质量
mi 〇mu mu
表1中r 12为装配时引信轴线与弹口螺纹轴线 的偏差。由于弹口螺纹中径与引信螺纹中径大小不 同，所以在装配过程中引信轴线与弹口螺纹轴线很 可能会不重合。假设引信轴线与引信螺纹轴线重 合，则r 12为弹口螺纹中径与引信螺纹中径之差。
表1中各部分质量《^按立体解析几何学方法 解算得出，如计算环槽部质量:
ry = [mirisin a i +m 2r2sin a2 +m 3r3sin a3 + (m4 + m 5)r4sin a4 +m 6r6sin a6 +m 7r7sin a ? —m 8r8sin a8 + (mi〇 —m 9)r9sin a g + (m 12 ~ m n )rn sin an +m 13 •
13
(r8sin a8 +r 12sin
i=i
(9)
弹丸偏心距r 为：
r = \/ri (10)
nifi
=
i p
-
J
jr [-^ +-R (1 — cos 0) ] Rcos ddd
应用M A T L A B 软件编程对弹体偏心距进行蒙 特卡罗模拟，在模拟过程中对于每个组成环都以
1〇5个合格抽样值代表整体，则可得该37 mm 口径 高炮榴弹弹丸偏心距分布直方图，如图4所示。图 5为该37 mm 口径高炮榴弹弹丸质量分布直方图。同理可得弹体偏心距分布直方图和弹体质量分布直 方图分别如图6和图7所示。3. 2偏心距分布曲线拟合和参数估计
由图4和图6走向趋势判断，该37 mm 口径高 炮榴弹弹丸偏心距和弹体偏心距分布比较接近于瑞 利分布和威布尔分布。由图5和图7走向趋势判 断，该高炮弹丸质量和弹体质量分布接近于正态 分布。
对弹丸偏心距分布曲线进行拟合，经筛选，瑞利 分布和威布尔分布的拟合曲线与原始数据曲线基本 吻合，图8给出了该37 mm 口径高炮榴弹弹丸偏心 距的瑞利分布和威布尔分布拟合曲线，图9给出了 该高炮弹丸质量的正态分布拟合曲线，经拟合可得 瑞利分布的参数:尺度参数6=0. 034 633 8;威布尔
(7)
式中，
3. 63，= 36. 6(\17) ，必=35. 4(\62)，
假设4、必服从正态分布。
假设表1中同轴度误差服从瑞利分布，用
M A T LA B 命令raylmcKB )产生随机数模拟同轴度 误差。由验算知，随机数命令raylrnd (0. 059)可保 证其值有99. 99%在公差带[0,0. 25]内，而随机数 命令raylmd (0. 017)可保证其值有99. 99%在公差 带[0，0. 075]内，在蒙特卡罗模拟时要剔除在极限尺 寸范围之外的值(约有〇. 01%) 。
假设弹体各部分同轴度误差不相关，以弹体外 圆柱部中轴线为基准，则弹丸的径向质心位置为： rx = [miricos ai +m 2r2cos a 2 +w 3r3cos a 3 + (w 4 + w %)r4cos a 4 +m , 5r6cos a 6 +m 7r7cos a 7 —m 8r8cos a 8 + (mw — m 9) r9cos a 9 + (««i2 — mn ) rn cos an +m 13 •
13
(r8cos as 十厂i2cos 0-12) ]/(8)
46
探测与控制学报
分布的参数:形状参数a = 0. 048 474 4,尺度参数 6=1. 911 04;正态分布的参数：771 = 728. 568, s = 1.615 67。图10给出了该高炮榴弹弹体偏心距的 瑞利分布和威布尔分布拟合曲线，图11给出了该高 炮榴弹弹体质量的正态分布拟合曲线，经拟合可得
瑞利分布的参数:尺度参数6 = 0. 044 257 4;威布尔 分布的参数:形状参数a = 0.061 804 3,尺度参数 6=1. 893 46;正态分布的参数：m = 492. 202,5 = 1.626 22。
图4 37 mm 口径高炮榴弹图5 37 mm 口径高炮榴弹
偏心距分布直方图
质量分布直方图
图6 37 mm 口抬高炮榴弹 弹体偏心距分布直**團
图7 37 mm 口径高炮榴弹弹体质量分布直方图
Fig. 4 Distribution histogram
of eccentricity of 37 mm-caliber projectile
I I
Fig. 5 Distribution histogram of quality of 37 mm-caliber projectile
Fig. 6 Distribution histogram Fig. 7 Distribution histogram
of eccentricity of
of quality of
37 mm-caliber projectile body 37 mm-caliber projectile body
--弹体偏心鉅--威布尔分布—瑞刹分布
a
l
弹体偏心I g /m m
图8 37 mm 口径高炮檐弹图9 37 mm 口径高炮榴弹弹丸偏心距瑞利分布和 威布尔分布的拟合曲线
弹丸质U 正态 分布的拟合曲线
0.15 0.20486 488 490
弹体质量/g
492
图10 37 mm 口杼高炮榴弹弹体偏心距瑞利分布和 威布尔分布的拟合曲线
图11 37 mm 口衫高炮檐弹
弹体质M 正态分布的
拟合曲线
Fig. 8 The fitted curve of Fig. 9 The fitted curve of rayleigh distribution and normal distribution of the weibull distribution of eccentricity of 37 mm-caliber projectile
quality of 37 mm-caliber
proj ectile
Fig. 10 The fitted curve of rayleigh distribution and weibull distribution of eccentricity of 37 mm-caliber
projectile body
Fig. 11 The fitted curve of normal distribution of quality
of 37 mm-caliber projectile body
3. 3偏心距分布拟合检验
Kolmogorov -Smirnov 检验可以作双侧检验，检
验样本是否服从指定的分布，也可以作单侧检验，检 验样本分布函数是否在指定的分布函数之上或之 下。对该37 mm 口径高炮榴弹弹丸偏心距样本进 行K -S 检验，检验弹丸偏心距和弹体偏心距是否服 从瑞利分布和威布尔分布，弹丸质量和弹体质量是 否服从正态分布。结果表明，在显著性水平0.05 下，弹丸质量服从州= 728. 568 g ，^ = l . 615 67 g 的 正态分布，弹体质量服从爪=492. 202 g 、5 = 1.626 22 g 的正态分布，弹丸偏心距和弹体偏心距
近似服从瑞利分布和威布尔分布（在显著性水平
0. 000 1下，弹丸偏心距和弹体偏心距服从威布尔 分布)。偏心距分布类型与基本假设中假设的同轴 度误差分布类型接近。3. 4实测数据验证
现有该37 mm 口径高炮榴弹弹体偏心距和弹 体质量实测数据50组，分布直方图如图12和图13 所示。
经拟合检验可知，在显著水平〇. 05下，弹体偏 心距实测值服从瑞利分布和威布尔分布，弹体偏心 距实测值几乎分布在(〇, 〇. 07)区间内。由图10可 知，弹体偏心距仿真计算值几乎分布在(〇，〇. M )区
张晋华等：应用蒙特卡罗方法计算弹丸偏心距
47
间内，且近似服从瑞利分布和威布尔分布。仿真计 算是按尺寸极值条件进行的，而实际加工尺寸要留 有工艺能力裕度，因此弹体偏心距实测值范围小于 仿真值分布范围是可信的。
25
—弹体偏心距实测值-----威布尔分布—瑞利分布
不变的情况下，可得该状态下该37 mm 口径筒炮樹 弹弹丸偏心距分布直方图如图14所示，图15为瑞 利分布和威布尔分布的拟合曲线s经拟合检验可 知，在不考虑弹体除定心部外的其他部分相对于外 圆柱部的同轴度误差时，在显著性水平〇. 05下，该 37 mm 口径高炮榴弹弹丸偏心距不服从尺度参数 6 = 0. 030 077 3的瑞利分布，也不服从形状参数a = 0. 041 851 6、尺度参数6=1. 866 36的威布尔分布。
由图14可知，当加工弹体过程中只装夹两次 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
弹体偏心距/m m
图12 37 mm 口径高炮榴弹弹体偏心距实测
数据分布直方图
Fig. 12 Distribution histogram of test dates of eccentricity of 37 mm-caliber projectile body
o .
o 40d . 3530靼一!
o d . 2520#d 1510廳
o d
. 05图13 37 mm 口径高炮榴弹弹体质量实测
数据分布直方图
Fig. 13 Distribution histogram of test dates of quality
of 37 mm-caliber projectile body
在显著水平〇. 05下，弹体质量实测值服从正态 分布。弹体质量实测平均值为491. 38 g 。由图11 可知，弹体质量仿真计算值服从正态分布，仿真计算 平均值为492. 202 g ，仿真计算平均值与实测平均值 相差0.17%,
弹体偏心距和弹体质量实测数据的分布情况验 证了本文方法的可信性。3. 5分析和讨论
假设弹体内、外表面和弹口螺纹在车床上一次 装夹完成加工，定心部精度较高，需用磨床加工，加 工弹体过程中需装夹两次，即弹体除定心部外的其 他部分与外圆柱部的偏心一致，因本文以外圆柱部 中轴线为基准，则可忽略弹体除定心部外的其他部 分相对于外圆柱部的同轴度误差。在其他条件保持
时，弹丸偏心距分布在(〇，0. 05)区间内，与图4相比 弹丸偏心距明显减小。因此，减少弹体加工过程中
装夹次数能有效减小弹丸偏心距。
弹丸偏心距/m m
图14两次装夹时该37 mm 口径高炮榴弹
弹丸偏心距分布直方图
Fig. 14 Distribution histogram of eccentricity of 37 mm-caliber projectile when clamping twice
豳一！/
嫌
輮
图15两次装夹时该37 mm 口径高炮榴弹丸偏心距瑞利
分布和威布尔分布的拟合曲线
Fig. 15 The fitted curve of rayleigh distribution and
weibull distribution of eccentricity of 37 mm-caliber projectile when clamping twice
3. 6在一种105 m m 口径火炮榴弹中的应用
根据一种105 mm 口径火炮榴弹弹丸产品图，
48
探测与控制学报
采用与Lh 述相同的计算方法，得出该弹丸偏心距分 布直方图和弹丸质量分布直方图，如图I 6和图I 7 所示。由图16可知，该105 mm 口径火炮榴弹弹丸 偏心距几乎都分布在(〇, 〇. 83)区间内。经拟合检验 可知，在显著性水平〇• 05■下该1Q 5 mm 口径火炮 榴弹弹丸偏心距不服从尺度参数6 = 0.185 593的 瑞利分布，但服从形状参数g =〇. 249 203、尺度参数 6=1.650 86的威布尔分布，弹丸质量服从？》= 距。计算过程中将弹丸分解成相互独立的基本单 元，通过计算各基本单元的质量和质心位置，仿真得 出弹丸偏心距和质量的分布规律。
利用蒙特卡罗方法计算一种37 mm 口径高炮 榴弹及一种105 mm 口径火炮榴弹的偏心距和弹丸 质量，仿真结果和实测数据分析结果基本吻合，弹丸 偏心距近似服从瑞利分布和威布尔分布，弹丸质量 服从正态分布。减少弹体加工过程中的装夹次数能 16. 450 6、s =0. 040 707 2 的正态分布。
图16 —种105 mm 口径火炮權弹弹丸
偏心距分布直方图
Fig. 16 Distribution histogram of eccentricity of
a 105 mm-caliber projectile
图17 —种105 mm 口径火炮權弹弹丸质量分布直方图
Fig. 17 Distribution histogram of quality of
a 105 mm-caliber projectile
该105 mm 口径火炮榴弹弹丸表定质量为 16. 2 kg ，理论计算平均值与表定值相差L . 5，仿
真结果可信。
4
结论
本文提出利用蒙特卡罗方法模拟计算弹丸偏心
有效减小弹丸偏心距. Q
弹丸偏心距理论最小值是〇, 最大值与弹径正 相关。一种37 mni 口径貪炮榴弹和一种105 mm 口径火炮榴弹弹丸偏心距最大值分别是〇. 17 mm 和0. 83 mm 。弹丸偏心距最犬_偉.约与弹径的L . 5 次幂呈正比关系。
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