利润问题公式及练习题

1、某商品按百分自20利润定价，售后又按8折出售，结果亏损了64元，问：这一商品的成本是多少元？

指导：公务员考试数学运算之利润问题

利润问题多是商业中的百分数问题。成本、定价、利润、打折是常用的词汇，他们分别代表什么呢？举个离子大家就非常清楚了。例如一张桌子的买入价或做这张桌子所需要的钱，就是成本。如果这张桌子的成本是100元，以120元的价格售出，这120元就是这张桌子的定价，定价与成本的差，即120－100=20，这20元就是利润。利润就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售商品，我们把它称为“打折”，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原价的85%出售。利润问题中，还有一种利息和利率的问题，它也属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。

这一问题常用的公式有：

定价=成本+利润

利润=成本×利润率

定价=成本×（1+利润率）

利润率=利润÷成本

利润的百分数=（售价－成本）÷成本×100%

售价=定价×折扣的百分数

利息=本金×利率×期数

本息和=本金×（1+利率×期数）

例1 某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元？

A.80 B.100 C.120 D.150

【答案】B 。解析：现在的价格为（1+20%）×80%=96%，故成本为4÷（1－96%）=100元。 例2

某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？

A.100 B.120 C.180 D.200

【答案】D 。解析：每个减价35元出售可获得利润（45－35）×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45－15=30元，故每个定价为30÷（1－85%）=200元。

例3

一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？（ ）

A.1000 B.1024 C.1056 D.1200

【答案】C 。解析：设乙店进货价为x 元，可列方程20%x－20%×（1－12%）x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×（1－12%）×（1+20%）=1056元。

以下是几道习题供大家练习：

1、书店卖书，凡购同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的 ，只有甲种书得到了优惠，这时，买甲种书所付总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，已知乙种书每本定价是1.5元，优惠前甲种书每本定价多少元？

A.4 B.3 C.2 D.1

2、某书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者优惠5%，每次买书500元以上者（含500元）优惠10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，这位顾客第二次买了多少钱的书？

A.115 B.120 C.125 D.130

3、商店新进一批洗衣机，按30%的利润定价，售出60%以后，打八折出售，这批洗衣机实际利润的百分数是多少？

A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20

4、某商场推销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8%。求这种商品原来利润率是多少？（17%）

1、 现对某商品降价10%促销, 为了使销售总金额不变, 销售量要比原价销售时增加百分几(精确到0.1%)

2、 新华书店一天内销售两种图书, 甲种书籍共卖得1560元, 为了发展农业科技, 乙种书籍下乡共卖得1350元, 若按甲乙两种书籍成本分别计算, 甲种书籍盈利25%,乙种书籍亏本10%,试问该书店这一天共盈利(或亏本) 多少元, 请说明你的理由.

3、 某电子有限公司向某银行申请甲乙两种贷款, 共计136万元, 每年须付利息16.84万元, 甲种贷款每年的利率是12%,乙种贷款每年的利率是13%,请你求出这两种贷款的数额各是多少?

4、 若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前

的x%增加到(x+10)%，x 等于多少？

储蓄、保险、纳税

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

1．储蓄

银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日) 内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，

本利和=本金×(1+利率经×存期) ．

如果用p ，r ，n ，i ，s 分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元) ．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元) ．

答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

用复利法计算本利和，如果设本金是p 元，年利率是r, 存期是n 年，那么若第1年到第n 年的本利和分别是s 1，s 2, „，s n ，则

s 1=p(1+r)，

s 2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，

s 3＝s 2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，

„„，

s n =p(1+r)n ．

例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？ 解 按表22．1的利率计算．

(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元) ．

(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2) ·(1+0.0522)3≈25898(元) ．

(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2) 2·(1+0.0552)≈26003(元) ．

(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1＋0.0621×3) ·(1+0.0558×2) ≈26374(元) ．

(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3) ·(1+0.0522)2≈26268(元) ．

(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5) ≈26660(元) ．

显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

例3 小华是独生子女，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为4000元，四年大学共需16000元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元，他们开始到银行存入了多少钱？(设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22％，

6.21％和6.66％)

解 从5岁到18岁共存13年，储蓄13年得到利息最多的方案是：连续存两个5年期后，再存一个3年期．

设开始时，存入银行x 元，那么第一个5年到期时的本利和为

x+x·0.0666×5＝x(1+0.0666×5) ．

利用上述本利和为本金，再存一个5年期，等到第二个5年期满时，则本利和为

x(1+0.0666×5)+x(1+0.0666×5) ·0.0666×5

=x(1+0.0666×5) 2．

利用这个本利和，存一个3年定期，到期时本利和为x(1+0.0666×5) 2(1+0.0621×3) ．这个数应等于16000元，即

x(1+0.0666×5) 2·(1+0.0621×3)=16000，

所以 1.777×1.186x=16000， 所以 x ≈7594(元) ．

答 开始时存入7594元.

2．保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

例4 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？ 解 (1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家) ，

365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家) ．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元) ．

答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

例5 财产保险是常见的保险．假定A 种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B 种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A 种保险一年，弟弟投保8万元B 种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％) 解 哥哥投保8万元A 种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元) ．

弟弟投保8万元B 种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元) ，

而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元) ．

兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元) ．

因此，弟弟投的保险更合算些．

3．纳税

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元) ，预扣率为3％，全额计税．

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略) ．

由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x 元，y 为相应的纳税金额(元) ，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

例6 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①) ，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x 元，小张的收入为y 元，则有方程组：

由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，

化简、整理得 0.16x-0.2x+1840=1560，

所以 0.04x=280，x=7000(元) ．

则 y=10000-7000=3000(元) ．

答 小王收入7000元，小张收入3000元．

例7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x 元应缴纳的税额．

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

解 设这笔稿费为x 元，由于x ＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％) · 20％×(1-30％)=x-6216，

化简、整理得

0.112x=x-6216，

所以 0.888x=6216， 所以 x=7000(元) ．

答 这笔稿费是7000元．

练习二十二

1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

(3)连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法) ？