论中学物理重力与地球引力之尴尬关系_郑伟健
第３７卷第１２期
２０１６年
物 理 教 师
ＰＨＹＳＩＣＳＴＥＡＣＨＥＲ
ｏｌ．３７Ｎｏ．１２Ｖ
（）２０１６
论中学物理重力与地球引力之尴尬关系
郑伟健
（）新兴县第一中学，广东新兴 ５２７４００
讨论目前中学教材因对重力定义摘 要：从近年高考对天体运动考查情况出发，探讨重力与地球引力的关系，的不确切而导致教学产生的一系列自相矛盾的问题，并为教学、教材的编写提出改进设想．关键词：重力；地球引力；万有引力；超重；失重
在辨析和应用重力与地球 高中物理教学中，
引力关系时，引发了诸多问题，这些疑问又难于解释，无法形成自洽的理论体系．
１ 近年高考对相关问题的考查情况
（我国例１．０１５年全国新课标Ⅰ卷第２１题）２
发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经
可过一系列过程，在离月面４ｍ高处做一次悬停（
；最后关闭发动机，认为是相对于月球静止）探测
器自由下落．已知探测器的质量约为１．３×３
，地球质量约为月球的８地球半径约为ｋ１０１倍，ｇ
地球表面的重力加速度大小约为月球的３．７倍，
２／则此探测器．．８ｍｓ９
／（速度大小约为８．９ｍｓ．Ａ）在着陆前的瞬间，
３
（Ｎ．Ｂ）悬停时受到的反冲作用力约为２×１０（Ｃ）从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒．
·ａｒｃｓｉｎ′＝ＮＦ＝ ｆ＝＋Ｒｇρ５Ｒ４５π
３＋５ａｒｃｓｉｎ
ｇ．
４π
读者如果有兴趣，可用例３解决问题的方法，参照图８方便快捷的求解下面练习的答案
．
练习．如图７所示，一侧为平面，另一侧为抛物面的柱体放在水平地面上（图中看到的
图７
，已是柱体的横截面）
（Ｄ）在近月圆轨道上运行的线速度小于人造
卫星在近地圆轨道上运行的线速度．
解析：在中心天体表面上万有引力提供重力，则可得月球表面的重力加速度ｇ月＝由＝ｍｇ，Ｒ２Ｇ２
／．再进一步分析求．１７．６６ｍｓｇ地＝１２≈０７３．
、（）正确．解，可知（Ｄ）Ｂ（假设地例２０１４年全国新课标Ⅱ卷第１８题）．２
球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力
在赤道的大小为ｇ；地球加速度在两极的大小为ｇ０；
地球的密度为引力常量为Ｇ．自转的周期为Ｔ；
）
０－０（．．Ｂ）２Ａ２ （
ＧＧＴｇ０Ｔｇｇ０－（Ｃ２．ＧＴ力使柱体水平向右
以加速度ａ匀加速直线运动：
（１）确定ａ的范围，使得柱体加速运动过程中整个铁链不与抛物面脱离．
０（Ｄ）２．ＧＴｇ
）
图８
抛物线顶点Ｃ到地知柱体横截面宽ＡＢ＝６ｍ，
在光滑抛物面上放一条质面的距离ＣＯ＝２ｍ，
量分布均匀且与抛物线等长的光滑铁链，两端
（，／单位ｋ刚好触及地面，铁链的线密度为ρｍ）ｇ施加
外将铁链的右端点固定于抛物面的Ｂ点，
（）当加速度ａ＝时，求固定点Ｂ对铁链２
１２
的拉力．
）柱体当ａ≤时，该题参考答案分别为：（１
４
（加速运动过程中整个铁链不与抛物面脱离．２）当固定点Ｂ对铁链的拉力是加速度ａ＝ｇ时，
１２
（）收稿日期：０１６－０６－１８２ｇ．１３
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物 理 教 师
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地球表面的物体在两极万有引力等于 解析：
在地球的赤道上万有引力为重重力＝ｍｇ０，Ｒ２
关系普遍的观点如下：在地球表面上的物体，重力是地球引力的一个分力，另一个分力是物体随地球自转所需要的向心力．其关系可用图１表示．
（地１）在赤道上，球引力、重力、向心力
力和物体随地球自转所需向心力的合力－
Ｒ２ｍ
）
３地球的质量：Ｒ联立Ｒ＝ｍＭ＝ｇ，ρ３Ｔ
２
）
０，选项（可得ρ＝正确．Ｂ）２
ＧＴｇｇ０－点评：例１的解决需要用到一个重要关系，即
图１
这在天体表面上万有引力等于重力＝ｍｇ，
Ｒ２
个关系式在天体运动的解题中是经常用到的，以致于有些参考书把该式称为黄金代换．当然这个关系是在忽略地球自转影响的情况下的一个近似应用．
例２重点考查：（１）重力与地球引力的联系
）因地球自转影响而导致地球表面不与区别；（２同纬度上的重力的差异．
学生遇到类似例２的问题，就会迷惑了：究竟
地球引力与重力之间有何关系？什么情况下相等？什么情况下又不相等了？２ 重力与地球引力的联系与区别．１ 教材的相关描述２
现行人民教育出版社高中物理教材（下称人
重力定义：教版）必修１第３章第１节第５地１页，面附近一切物体都受到地球的吸引，由于地球的
）［注释：吸引而使物体受到的力叫做重力（ａｖｉｔｒｙｇ受地球自转的微小影响，物体所受的重力与地球
对它的引力稍有不同，而且同一物体在地球上不；第５同纬度的地方所受的重力也稍有不同］２页倒数第４行还有这样的说明“引力是自然界的一种基本相互作用，地面物体所受的重力只是引力在地球表面附近的一种表现”．广东教育出版社高中物理教材（下称粤教版）必修１，完全删去了重力一节的所有内容．人教版教材除了给出重力定义外，还用注释的方式隐约地指出了重力与地球引力的区别，保证了教材的科学性．为学生进一步的学习提供了一定的理论基础．但重力与地球引力究竟有什么区别呢？教材没有对这一问题进行深入的分析，在学生没有学习万有引力之前，这个问题也不宜提出来的，教师也很难进行补充和深入分析．．２ 地球引力与重力联系与区别在中学教学中２
的补充解释
在高中物理教学中，对于重力与地球引力
的—６０—
２
三者共线，则Ｒ＝ｍω ｇ．２－ｍＲ
（）若物体处于地球的两极上，物体线速度为２
所需的向心力也为０，且重力与地球引力同指向０，
地心，上式表示成－０＝ｍｇ．
Ｒ２
（）若物体处于赤道与两极之间的某一位置３上，则地球引力、重力、向心力三者构成一平行四边形关系，符合矢量运算法则．
通过以上的分析，形成以下几点认识：（１）重力是由于地球引力而产生的力，但不等同于地球（）在地球表面上的物体，引力．可认为重力是地２球引力的一个分力，另一个分力是物体随地球自转所需要的向心力（这一说法其实与“重力是地球引力及因地球自转产生惯性离心力的合力”是等
（）因物体随地球自转所需的向心力很小，效的）．３在地表附近可认为地球引力等于重力．
３ 继发的新问题
即便教材在重力一节内容里就提到了重力与地球引力的差异，但这一分析必须放在学生学习完成万有引力这一模块内容之后．并且随着认识的深入，引发了更多新的问题．．１ ３个主要问题３
问题１：什么条件下可忽略地球自转的影响而认为重力与地球引力相等？
对于问题２在卫星内与卫星一起围绕地球做匀速圆周运动的物体，受到重力作用吗？问题３：既然重力只是地球引力的一个分力，那么要一个地球引力不就足够了，为何还要引入重力？
．２ 问题探讨３
问题１完全是为做题而生，但这个问题却是学生关注的问题，在大多数习题应用中，都认为地表附近地球引力等于重力，毕竟两者差异很小．只有当题目（如例２）提示到要区别，才进行区别应用．
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对于问题２目前有以下观点：
卫星中的物体仍受重力，且认为其重观点１：
力等于地球引力．
卫星中的物体不受重力，因为重力仅观点２：是针对地面附近的物体而言．：卫星中的物体不受重力，因为地球对物观点３体的引力已完全用于提供物体围绕地心做圆周运
４ 解决方案的探求
查阅相关文献，重力的定义有众多版本并存，
《物理教师》但又都不完美．０１０年第１０期刊载２“关于重力定义的再探讨”一文中也指出了重力的实际上，重力的定义还不止３类．而人教３类定义．
版中学教材采用的定义，其引发的问题正如上文所述．
由此看来给重力建立一个准确完备而又简单易懂的定义并非易事．那么中学阶段如何来处理
这些问题呢？要从根本上解决问题，有必要给重力一个更确切的定义．
．１ 重力的再认识４
（）重力的确切含义：物体所受所有万有引力１——非与所有惯性力的合力叫重力（在地球表面—惯性系中）．（）重力是一个名副其实的效果力，一个虚拟２力，是引力与惯性力表现出的效果，其效果性表现在让人感受到“重”表象上，也因此而得名．在４种基本相互作用中，并没有重力．
（）重力的大小等于物体对悬挂物的拉力或３，可用测力对支持面的压力，即原来所谓的“视重”计测出．超重或失重时，物体受到的引力不变，而物体的重力发生了变化，完全失重的情况下，重力
（为０在完全失重的情况下，用手提着物体并不觉，这样规定才符合“得“重”重力”一词的含义及其给人的主观体验）在地表附近依据测重力来测物．体的质量，必须是以大地为参照系的平衡状态下．．２ 改进设想４
考虑到重力本身的复杂性，重力定义的科学性，及中学生接受能力的局限性，对中学教材及教学提出以下设想：
（）重力不再作为一个基本力，写入中学教１材，而以类似于向心力一样的效果力引入，仅作为产生“重”的效果的一种原因的深入探究学习．（）先学地球引力，以及比较完整的动力学知２识后，再研究重力以及超重、失重等相关问题．在地
，用地球引力代替原来教材中表附近（近似情况下），用引力加速度代替原来的“重力加速所谓的“重力”
度”来研究近地表面落体、抛体运动等动力学问题．综上所述，关于重力与地球引力目前的教材及教学理论体系仍存在着种种问题，望本文能起到抛砖引玉的作用．
参考文献：
——重力与万唐忠敏．关于重力定义的再探讨—１ 王太军，
［］（）：有引力应该“分家”物理教师，Ｊ．２０１０１０３６－３８．
２
且动所需向心力，由－ｍ′．＝ωｒ＝ｍｇ２２
ｒｒ
２
，，即得ｍ这种状况就是物体处于完全失ｍ′＝０ωｒｇ重状态．
．３ 各观点存在的问题３
观点１与“重力是地球引力除去向心力外的一个分力”这个理论矛盾．观点２也有个问题：地表附近是什么样的空间范围？即物体离地面多高的地方就不再受重力？一个实际的例子是，假设有一个正飞离地球的航天器，那么航天器飞到离地球多高处就没有重力了呢？
观点３与“地面上的物体由于地球自转影响导致地球引力与重力不等”这一理论吻合．但也仍存在许多问题：其进一步的推论是完全失重的物体不再受到重力的作用．那么，在地面附近物体自由落体运动（处于完全失重状态）时，受不受重力作用呢？
在粤教版高中物理教材必修１“超重和失重”
“有这么一段话：在超重现象和一节中（第９６页）失重现象中，物体对支持物压力（或对悬挂物拉
力）的大小与物体的重力大小不相等，但物体所受的重力并没有发生变化”．
在人教版高中物理教材必修１第９０页也有
“自由落体在下落的过程中所受重这样的一句话：
力的大小、方向都不变，所以加速度的大小、方向
也是恒定的”．可见，高中物理整个理论体系认为：地表附近的物体完全失重时，重力是不变的．况且，如果认为完全失重的物体不受到重力，那么自由落体、抛体运动物体的加速度又何来？
当然，实际上落体、抛体运动物体的加速度仍是由地球对物体的引力使其产生．这样问题３又应运而生：既然重力只是地球引力的一个分力，那么要一个地球引力不就足够了，为何还要引入重力？众多连环的问题将高中物理的理论推向了一个自相矛盾的深渊！一系列问题无法从根本上得到解决，其深层的原因出在重力定义的问题上．
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物 理 教 师
ＰＨＹＳＩＣＳＴＥＡＣＨＥＲ
第３７卷第１２期
２０１６年
质点与球体之间万有引力的数学证明及其应用
尹文心
（）江苏省泰兴中学，江苏泰兴 ２２５４００
牛顿从物摘 要：万有引力普遍存在，但万有引力定律公式只适用于质点或均质球之间万有引力大小的计算．理学的角度证明了质量均匀的球体和球外一质点间的万有引力，可等效成球的质量集中在球心，从而转化为两质点之间的万有引力的计算．这一结论为人们所熟悉并应用，但不知道如何证明，通常物理学书籍也没有证明过程．本文试从数学的角度利用微积分证明这一结论，以便让更多的人接受、理解和运用．关键词：万有引力定律；微元；微积分；换元法
开普勒利用椭圆知识发现了 在物理学史上，
行星运动三定律，而牛顿却从这三条定律中发现了更加普遍、更加简洁的万有引力定律，牛顿通过理论推导和“月—地”检验，万有引力定律在１６８７年于《自然哲学的数学原理》上发表：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引，该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关．
如果用ｍ１和ｍ２分别表示两个物体的质量，用ｒ表示它们之间的距离，万有引力定律可以用
Ｍ＝Ｒｓｄｄｉｎｉｎπσ·２θ·Ｒθ＝ｓθθ． ｄ
２
由于球对称，环带与质点之间万有引力沿两者连
那么万有引力线方向，设球带Ａ到质点距离为ａ，大小为
因为缺少精密测量下面的公式来表示：Ｆ＝２．
ｒ
在牛顿发表仪器，牛顿并没有能测定引力常量Ｇ．
英国物理万有引力定律１００多年之后的１７９８年，学家卡文迪许设计了扭秤实验做了精确的测量
－１２２１
／Ｇ＝６Ｎ·ｍｋ．６７×１０ｇ．问题．质量为Ｍ的均如图１所示，半径为Ｒ，
距离球心ｒ的球外放置一质匀球壳，球心在Ｏ点，求均质球壳与质点之间的万有量为ｍ的质点，引力
．
解析：球壳质量分布在θ～的面密度σ＝２．
４Ｒπ
θ＋ｄθ球壳表面取一环带，如图１所示，则环带质量
图１
·
ｃｄｏｓｏｓα＝２·αθ．２２ａａ
代入可得在ＲｃｔＢＣ中，ｏｓα＝△Ａ
ａ
·Ｆ＝２·ｄｄθ＝２·
２ａａｒ
２（）θ．３
２ａ
２
在△Ａ故ｒ－２ｒｃＢＣ中由余弦定理ａ２＝Ｒ２＋Ｒｏｓθ，
２（）·（）ｄＦ＝２－＝ｃｏｓθ２２３２
）（Ｒ＋ｒ－ｒｃ２ｒ２Ｒｏｓθ
２（）·（ｃ．ｏｓθ）２２３２
Ｒ２＋ｒ－２ｒｃ２ｒＲｏｓθ令ｘ＝ｃｏｓθ换元法得
２（）·Ｆ＝２ｘ．ｄ２２３２
Ｒ＋ｒ－２ｒ２ｒＲｘ对整个球壳求和，即为壳和质点之间的万有引力为
２１－
（）
Ｆ＝２·ｘ＝／２２３２
（１２Ｒ＋ｒ－２ｒｒＲｘ）２２２
２·－１（）ｘ．／２２３２
（１Ｒ２＋ｒｒ４ｒＲｘ）－２
将积分号后面的部分单独计算，
Ｆ＝Ｇｄ
∫
∫
——谈然后才是名称—２ 赵凯华．概念的形成是首要的，
“］（）：重力”的定义［２Ｊ．物理教学，０１１０１９－１０．］３ 曹树华．重力与参照系的关系及重力的确切定义［Ｊ．
（）：物理教师，２００２０３９－１１．必修１）广州：广４ 普通高中课程标准实验教科书物理（．
东教育出版社，２０１０．
必修）北京：人５ 普通高中课程标准实验教科书物理１（．
民教育出版社，２０１０．
（）收稿日期：０１６－０６－２１２
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