第二章一元函数微分学
第二章 一元函数微分学
2.1 导数的概念
教学目的:掌握导数的概念,会用导数的定义求函数的导数,会用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学重点、难点:导数概念,会用导数的定义求函数的导数,用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学形式:多媒体教室里的讲授 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、引入新课
微分学是微积分的重要组成部分, 它的基本概念是导数与微分。
在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度,如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等,而当物体沿曲线运动时,还需要考虑速度的方向,即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。 二、新授课 1.导数概念实例
( 1)、变速直线运动的瞬时速度问题
设动点M 作变速直线运动,其经过的路程s 是时间t 的函数,即s =s (t ) ,求它在时刻
t 0的瞬时速度。
如右图所示,假定在某一瞬时t 0, 动点的M 位置是
s 0=s (t 0) ,而经过极短的时间间隔∆t 后, 即在瞬时t 0+∆t , 动点的
位置到达s =s (t 0+∆t ) ,于是动点M 在时间间隔∆t 内所走过的路程是:
∆s =s -s 0=s (t 0+∆t ) -s (t 0) ,
动点M 在∆t 这段时间内的平均速度为
v =
∆s s (t 0+∆t ) -s (t 0)
= ∆t ∆t
由于时间间隔∆t 较短,它可以大致说明动点M 在t 0时刻的速度,且时间间隔∆t 取得
越小,这段时间内的平均速度愈接近t 0时刻瞬时速度。若令∆t 趋于零,则极限值
s (t 0+∆t ) -s (t 0)
精确地反映了动点在t 0时刻的瞬时速度 。
∆t →0∆t lim
∆s lim s (t 0+∆t ) -s (t 0)
= v (t 0) =lim ∆t →0∆t →0∆t ∆t
(2)、切线问题
如图,如果割线MN 绕点M 旋转而趋向极限位置MT ,直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。
极限位置即 设
。
割线MN 的斜率为
,
,
,
切线MT 的斜率为
2.导数的定义
。
上面讨论的两个实例,虽然是不同的具体问题,但是它们在计算时都归结为如下的 极限:
∆x →0
lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
其中
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=是函数的增量与自变量的增量之比,表示函数的平均变化率。
∆x ∆x
定义:设函数y =f (x ) 在点x 0的某个邻域内有定义,当自变量在x 0取得增量∆x 时,相应地函数y 取得的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) 。
若极限lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim 存在,则函数f (x ) 在点x 0处可导,并称此
∆x →0∆x ∆x →0∆x
极限值为函数y =f (x ) 在点x 0的导数,记为:
f '(x 0) y '|x =x 0
即
dy df (x )
|x =x 0 或 |x =x 0 dx dx
其他形式
;
关于导数的说明:
①点导数是因变量在点程度。
② 如果函数导。
③ 对于任意
。
处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢
在开区间内的每点处都可导,就称函数在开区间内可
都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导
函数记作
,,或。 即
或
注意:1).
。
。
2). 导函数(瞬时变化率) 是函数平均变化率的逼近函数。 3.由定义求导数
步骤:(1)求增量
;
(2)算比值
;
(3)求极值
例1 求函数解(1):
。
(C为常数) 的导数。
。
即
。
例3 根据导数的定义求y x 的导数,其中n 为正整数 。 解(1):由二项式定理,得
n
1n -12n -2
∆y =(x +∆x ) n -x n =C n x ∆x +C n x (∆x ) 2+n
+C n (∆x ) n ,
∆y 1n -12n -2
=C n x +C n x ∆x +∆x
于是
+C (∆x ) .
n n
n -1
y ' =lim
∆y
=nx n -1, 即(x n )' =nx n -1,
∆x →0∆x
一般地,对幂函数y =x α(α为实数) , 有
(x α)' =αx α-1
利用这一公式,可以求出幂函数的导数。
1
1
例如,当α=
时,y =x 2=x >0) 的导数为
2-1111-12
(x )' =x =x 2 ,
22
1
2
即
=
.
当α=-1时 ,y =x -1=
1
(x ≠0) 的导数为 x
2
(x -1) =, ' -(1x -) 1-1=-x -
即 ()' =-
1
x 1
2x
课堂练习 P45 第6(1)、(3)、(5)题 利用导数的定义还能够比较容易地求出 :
11
; (lnx )' =; x ln a x
(a x )' =a x ln a ; (e x )' =e x ;
(sinx )' =cos x ; (cosx )' =-sin x . (loga x )' =
三、本节小结:
导数定义,和几个常见的导数公式 四、课外作业:
3.将一个物体铅直上抛,经过时间t (单位:s )后,物体上升高度为s =10t -(单位:m ),求下列各值:
(1)物体在1 s 到(1+∆t ) s 这段时间内的平均速度;
12
gt 2
(2)物体在1 s 时的瞬时速度;
(3)物体在t 0到t 0+∆t 这段时间内的平均速度; (4)物体在t 0时的瞬时速度;
4.设y =10x 2,试按导数定义求
y ' |x =-1。
2.1导数的概念
教学目的:掌握可导与连续关系,求导举例 教学重点、难点:几何意义、可导与连续关系 教学形式:多媒体教室里的讲授 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程
一、回顾上次课内容
1.各种增量比值(变化率)模型: 2.导数的定义:
3.传统方式求函数的导数:
5.一些已经求出来的基本函数的导数公式。 二、新授课 1.左导数与右导数
定义2: 由于导数为lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)
,则lim -和
∆x →0∆x ∆x
∆x →0
lim +
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
分别称为函数f (x ) 在点x 0处的左导数与右导数,分别记为
∆x
f -'(x 0) 和 f +'(x 0) 。
2.可导与连续的关系
定理一 函数在y =f (x ) 点x 0处可导的充分必要条件是f (x ) 在点x 0处的左导数与右导数都存在且相等。
证明 略。 1、 函数
连续,若
则称点
为函数
在角点不可导。 .
例题1 判断函数y =|x |=⎨
⎧-x , x
, 在点x =0处是否可导 ( 如右图 ) 。
⎩x , x ≥0
解 由于∆y =|0+∆x |-|0|=|∆x |,所以
∆y |∆x |∆x =lim +=lim +=1
∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x →0∆x
∆y |∆x |-∆x lim =lim -=lim -=-1∆x →0-∆x ∆x →0∆x ∆x →0∆x lim +
因为左、右极限不等,故极限lim
∆y
∆x →0∆x
不存在,即函数在点x =0处不可导。
从几何直观上看,它的图像在点x =0处没有切线。
再例如,
在
定理二 凡可导函数都是连续函数。 证 设函数
在的点
处可导,
处不可导,
为
的角点。
∴ 函数
在点
连续。
注意:该定理的逆定理不成立,即若函数f (x ) 在点x 0处连续,在点x 0处未必可导,即连续是函数可导的必要条件,但不是充分条件。 ★ 连续函数不存在导数举例
2、设函数在点
连续,但
,称函
数 3、设函数
在点
有无穷导数。(不可导) 例如,
,在
处不可导。
在连续点的左右导数都不存在点不可导。例如,
(指摆动不定) ,则
在 4、若可导点) 。
处不可导。
,且在点
的两个单侧导数符号相反,则称点
为函数
的尖点(不
例2 讨论函数,在处的连续性和可导性。
解
是有界函数,
在
。
处连续。
但在处有
,
当时,在
在-1和1之间振荡而极限不存在,
处不可导。
证明 略。
3.导数的几何意义 1、几何意义
倾角)
表示曲线在点处的切线的斜率,即,(为
切线方程为
;
法线方程为
.
例3 求等边双曲线在点处的切线
的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解 由导数的几何意义,得切线斜率为
所求切线方程为
,即
。
法线方程为
三、本节小结:
,即。
连续是函数可导的必要条件,但不是充分条件 1、导数的实质:增量比的极限;
2
、
3、导数的几何意义:切线的斜率;
;
4、函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5、求导数最基本的方法:由定义求导数。
6、判断可导性
2.2 导数的运算
教学目的:掌握导数的运算法则和基本公式。 教学重点、难点:可导函数四则运算的导数法则。 教学形式:多媒体演示、讲授法 教学时间:2课时 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、
引入新课
复习导数的概念,熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式
(x α)' =αx α-1 (c )' =0
11; (lnx )' =; x ln a x
(a x )' =a x ln a ; (e x )' =e x ; (sinx )' =cos x ; (cosx )' =-sin x . (loga x )' =
基本初等函数与初等函数的关系。 二、新授课
1、可导函数的和、差、积、商的求导法则
定理三 设函数u (x ), v (x ) 在点x 处可导,则函数u ±v 、uv (v ≠0) 在点x 处可导,且有: (1)若
u
v
f (x ) =αu (x ) ±βv (x ) ,则f '(x ) =αu '(x ) ±βv '(x ) ,α, β为常数;
(2)若
f (x ) =u (x ) ⋅v (x ) ,则f '(x ) =u '(x ) ⋅v (x ) ±u (x ) ⋅v '(x ) ,
推广:(uvw ) ' =u ' vw +uv ' w +uvw ' ;
(3)若
u (x ) u '(x ) ⋅v (x ) -u (x ) ⋅v '(x ) f (x ) =f '(x ) =v (x ) ≠0,,则。
v (x ) [v '(x )]2
证明(1): 对于自变量x ,取得其改变量∆x ,从而函数y =f (x ) 取得改变量
∆y =[αu (x +∆x ) +βv (x +∆x )]-[αu (x ) +βv (x )]
=[αu (x +∆x ) -αu (x )]+[βv (x +∆x ) -βv (x )]
∆y αu (x +∆x ) -αu (x ) βv (x +∆x ) -βv (x ) ∆u ∆v =+=α+β∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
∆y ∆u ∆v
y ' =lim =lim (α+β)
∆x →0∆x ∆x →0 ∆x ∆x
∆u ∆v
=αlim +βlim
∆x →0∆x ∆x →0∆x =αu '(x ) +βv '(x )
即 [αu (x ) +βv (x )]'=αu '(x ) +βv '(x ) 同理可证: [αu (x ) -βv (x )]'=αu '(x ) -βv '(x )
证(3) 设,
推论
在处可导。
(1) (2)
; ;
(3)
例1 求y =2x 4-3x 3+7x -8的导数。
.
解:y ' =(2x 4-3x 3+7x -8)' =(2x 4)' -(3x 3)' +(7x )' -(8)' =8x 3-9x 2+7
课堂练习一:
(1)设曲线y =x 2+x -2在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为
例2 求f (x ) =x 2sin x 的导数。
解:f '(x ) =(x 2sin x )'
=(x 2)'sin x +x 2(sinx )' =2x sin x +x 2cos x
课堂练习二:
(2)设函数y =x (x -1)(x -2)(x -3) ,则y '(0)= ; 例3 求
的导数。
解
即
同理可得
例4 求的导数。
解
同理可得
课堂练习三: (3)设y =
1-x
,则y ' = ; 1+x
三、本节小结:
1、可导函数的和、差、积、商的求导法则
定理三 设函数u (x ), v (x ) 在点x 处可导,则函数u ±v 、uv (v ≠0) 在点x 处可导,且有: (1)若(2)若
u
v
f (x ) =αu (x ) ±βv (x ) ,则f '(x ) =αu '(x ) ±βv '(x ) ,α, β为常数; f (x ) =u (x ) ⋅v (x ) ,则f '(x ) =u '(x ) ⋅v (x ) ±u (x ) ⋅v '(x ) ,
推广:(uvw ) ' =u ' vw +uv ' w +uvw ' ;
(3)若
f (x ) =
u (x ) u '(x ) ⋅v (x ) -u (x ) ⋅v '(x )
f '(x ) =,v (x ) ≠0,则
v (x ) [v '(x )]2
2、基本初等函数的导数
(1) (tanx )' =sec 2x ; (2) (secx )' =sec x tan x ;(3) (cotx )' =-csc x ; (4) (cscx )' =-csc x cot x .
四、课外作业:
P50第2题(1)、(2)、(3)
2
2.2 导数的运算
教学目的:掌握导数的基本公式,,会求反函数的导数。 教学重点、难点:会求反函数及复合函数的导数。 教学形式:多媒体演示、讲授法 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、引入新课
复习导数的概念,熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式
(x α)' =αx α-1 (c )' =0
11(loga x )' =; (lnx )' =;
x ln a x
(a x )' =a x ln a ; (e x )' =e x ; (sinx )' =cos x ; (cosx )' =-sin x .
经过求导法则所得到的基本初等函数的导数:
(1) (tanx )' =sec 2x ; (2) (secx )' =sec x tan x ;(3) (cotx )' =-csc x ; (4) (cscx )' =-csc x cot x .
二、讲授新课 1、反函数的导数 定理 如果函数
在对应区间
在某区间
内单调、可导且
2
,那么它的反函数
内也可的导,且有
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 证 任取
,给以增量
由的单调性可知
, 于是有,
连续,
,又知
例1 求函数
的导数。
即
解
在
在内有
内单调、可导,且,
同理可得
;
例2 求函数 解
在
的导数。
内单调、可导,
且,在
内有
特别地
2、复合函数的导数
定理 如果函数u =ϕ(x ) 在点x 处可导,函数y =f (u ) 在对应点u 处可导,则复合 函 数y =f [ϕ(x )]在点x 处可导,且
dy
=f '(u ) ϕ'(x ) ,或记为y ' x =y ' u ⋅u ' x dx
证 由在点可导,
故 则
。
推广 设 则复合函数
的导数为
,
例1 求y =(x 2+7) 11的导数。
解 函数y =(x 2+7) 11可以看作由函数y =u 11和u =x +7复合而成。 由复合函数求导法则,得
课堂练习:
求下列各函数的导数: (A , ω, ϕ, a , b , n 为常数)
(2
)y =x 2(2 (4)y =(2x -1)
(5)s =A sin(ωt +ϕ)
例2 求y =ln ln x 的导数。
2
2
x 由y =ln u , u =ln x 复合而成, 解 y =l n l n
所以 y ' =(lnu )' ⋅(u )' =
11111
⋅=⋅= 。 u x ln x x x ln x
对复合函数的复合过程熟悉后,可不必写出中间变量,直接按照复合的次序,由外到里,层层求导。
例3 求y =(1-2x ) 10 的导数。 解 y =' 10-(1x 92) -(1x 2) '
=10(1-2x ) 9(-2) =-20(1-2x )
2
9
例4 求y =lnsin x 的导数。
解: y ' =
12
⋅cos x ⋅2x 2
sin x
=2x cot x 2
三、本节小结: 1、反函数的求导法 2. 复合函数的求导法则
四、课外作业:
1(
1y =ln(x (
2y =
2.3 隐函数和参数方程所确定的函数的导数
教学目的:会求隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 教学重点、难点:求隐函数的导数 教学形式:多媒体讲授法 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、引入新课
变量y 与x 之间对应的函数关系有不同的表达方式。例如:y =sin x , y =ln x +1, 直接给出自变量x 和因变量y 的对应关系,用这种方式表达的函数称为显函数。
还有另一种表达方式,如x +y -1=0, e -xy =0,其中因变量y 不一定能用 自变量x 直接表达出来。这种函数被称为由方程F (x , y ) =0所确定的隐函数。在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数。 二、讲授新课
2
x
1.隐函数求导法则
若F (x , y ) =0 中y 是x 的函数,从方程F (x , y ) =0出发求y ' 。 (1)将F (x , y ) 两端对x 求导。求导过程中视y 为x 的函数;
(2)求导后得到一个关于x 的方程,解此方程则得y ' 的表达式,在此表达式中允许含有y 。
例1 求由方程y =1+xe y 确定的隐函数的导数解 将y =1+xe y 两端对x 求导数:
y
y ' =(1 , +x e ) ' y ' =0+(xe y )' , y ' =e y +xe y y '
dy
。 dx
e y
故 y ' = 。
1-xe y
例2 求曲线y 3+x 3=2xy 上点(1,1)处的切线方程。 解 方程两端对x 求导数,得
3y y ' +3x =2y +2xy '
2
2
2y -3x 2
解出y ' ,得 y ' = (3y 2-2x ≠0) 2
3y -2x y ' (|1, = 1) -1
则所求切线方程为 y -1=(-1)(x -1) 即 x +y -2=0 2. 利用Mathematica 求隐函数的导数
求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成,因而,在Mathematica 中可使用D 和
Solve 语句,求由方程F (x , y ) =0所确定的隐函数的导数。
例3 求由方程x +4y =4所确定的隐函数的导数解 方程两边求导,得
2
2
dy
。 dx
从求导结果中解出隐函数的导数
或者将两个步骤合并为
注意 在的一阶导数。
例4 求方程解
中
意义是一样的,都表示函数
所确定的隐函数的导数。
即
课堂练习: P54
3.利用Mathematica 求由下列方程所确定的各隐函数y =y (x ) 的导数
(1)xy =e
x +y
dy : dx
; (2)x =y +arctan y ;
3、参数方程所确定的函数的导数 函数 与自变量 不是直接由
表示,而是通过一个变量t 来表示,即
其中t 为参数,上式称为函数的参数方程。下面求由参数方程确定的 对 的导数。
设复合函数
[
]
有连续的反函数
,又
与
存在,且,则
,则 为
利用反函数和复合函数求导法则,得
dy dy dt 1ψ'(t )
=⋅=ψ'(t ) ⋅=
dx dt dx ϕ'(t ) ϕ'(t )
求。
例1 已知圆的参数方程为
解
d y d y d x (s a i n ) t ' =/=d x d t d t (c a o s ) t ' -a c o s t
=-c o t s a s i n t
4.利用参数方程所确定的函数的导数
和
的导数,再求它们的商。
参数方程所确定的函数的求导步骤是:先求因而,利用
求参数方程所确定的函数的导数可以用
D[y , t]/ D[x , t] 例2 求参数方程
,所确定的函数的导数。
解
1 O u t [=
例3 求参数方程
导数。
9t
4
解
例4 求参数方程的导数。
解
可以用
命令绘制参数方程所确定函数的图形。
例7 不计空气的阻力。以初速度,发射角发射炮弹,其运动方程为
求
(1)炮弹在时刻的运动方向;
(2)炮弹在时刻的速度大小。
解 (1)在时刻的运动方向即轨迹在时刻的切线方向,可由切线的斜率来反映。
(2)炮弹在时刻沿x ,y 轴方向的分速度为
在时刻炮弹的速度为
课堂练习:
求由下列参数方程所确定的函数的导数
dy : dx
1⎧x =⎧x =at +b ⎪⎪⎪1+t
(1)⎨ 12 (2)⎨
t y =at ⎪y =⎪⎩2⎪1+t ⎩
三、本节小结:
隐函数求导法则:直接对方程两边求导;
参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则; 四、课外作业:
3at ⎧x =⎪⎪1+t 2
求曲线⎨上对应于的点t =2处的切线方程和法线方程。 2
⎪y =3at ⎪1+t 2⎩
2.4 高阶导数
教学目的:了解高阶导数概念,会求二阶导数及简单函数的n 阶导数。 教学重点、难点:能熟练地用D[ ]语句求各种形式的函数的导数、高阶导数; 教学形式:多媒体教室的讲授 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、引入新课
问题:变速直线运动的加速度。 设
二、讲授新课 1.定义 如果函数
的导数
在点处可导,即
,则瞬时速度为
加速度是速度对时间的变化率
存在,则称
为函数
在点处的二阶导数。
记作
或.
二阶导数的导数称为三阶导数,。
三阶导数的导数称为四阶导数, 一般的,函数
的
阶导数的导数称为函数
。
的阶导数,记作
或
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。 相应地,
称为零阶导数;
称为一阶导数。
2.高阶导数求法举例
(1)、由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 例1 求函数的 解
例2 设 解
若
为自然数,则
,
.
,求
。
二阶导数。
注意:求n 阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n 阶导数。(数学归纳法证明) 例3 设
,求
。
解
例4 设
,求
。
解
同理可得
例5 设 解
(a,b 为常数) ,求
。
( 2.)高阶导数的运算法则: 设函数和具有阶导数,则 1) 2)
3、利用Mathematica 求高阶导数 在Mathematica 中,求
阶导数的语句格式为
D [ 函数表达式,{求导变量,n} ]
例1 求函数解
解方程,得
例2 求解
Out[2]=例3 求 y =
(1+x^ 2)
的十阶导数。
。 的二阶导数。
2x
+2ArcTan[x ] 2
1+x
1
的六阶导数。 1+2x
1
x , { , 6}]
1+2x
解 I n [3]:
Out[3]=例4 求解
46080
(1+2x ) 7
的三阶导数。
O u t [43 三、本节小结:
1、 高阶导数的定义; 2、 高阶导数的运算法则 3、 n阶导数的求法; 4、利用Mathematica 求高阶导数 四、课外作业: 求下列函数的n 阶导数: (1)y =xe ; (2)y =sin 2x ; (3)f (x ) =ln (4)y =
x
2x
1
, 求f (n ) (0); 1-x
1
.
x 2-3x +2
2.5 函数的微分
教学目的:掌握微分概念,理解微分的几何意义,能熟练地用Dt[ ]语句求微分。 教学重点、难点:微分概念,能熟练地用Dt[ ]语句求微分。 教学形式:多媒体讲授法 教学时间:90分钟 教学年级:各专业一年级 教学过程 一、引入新课 问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量。 设边长由
变到
,
正方形面积
,
(1) (2)
的线性函数,且为的高阶无穷小,当
在点
的主要部分; 很小时可忽略。 处的改变量为
时,求函数的改变量
。
再例如,设函数
当
很小时,(2)是
的高阶无穷小
,
问题:这个线性函数(改变量的主要部分) 是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 二、讲授新课 1、微分的定义
定义 设函数
成立(其中A 是与
在点
无关的常数) ,则称函数
的微分,记作
在某区间内有定义,
及
在点
或
可微,并且称
,即
为函数
在这区间内,如果
相应于自变量增量。 微分
叫做函数增量的线性主部。(微分的实质)
由定义知: (1) (2) (3)当
时,是自变量的改变量
是比与
的线性函数; 高阶无穷小; 是等价无穷小;
(4) (5)当
是与
无关的常数,但与
。 和
有关;
很小时,(线性主部) 。
2、可微的条件
定理 函数 函数 例1 求函数 解
在点可微的充要条件是函数在点处可导,且或
,即
。 。
在任意点x 的微分,称为函数的微分,记作
当
,。
时的微分。
通常把自变量的增量
即函数的微分
与自变量的微分
。
称为自变量的微分,记作
之商等于该函数的导数。导数也叫“。
,即
。
3、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当
是曲线的纵坐标增量时,
就是切线纵坐标对应的增量。 当
很小时,在点M 的附近,切线段MP 可近
似代替曲线段MN 。
4、利用Mathematica 求微分
在Mathematica 中,求一元函数微分的格式为
Dt [ 函数表达式 ]
例1 求解
的微分。
[x]+Cos[x]Dt[x]
其中输出的表达式中Dt[x] 即为dx , 所以例2 求
在的微分
处的微分;在
。
处的微分。
解 In[1]:=D[x ^3, x ]dx /.x ->2.03
=] O u t [112. 3dx 6 27
x D [x ^d 3x , ]-x >/. {d -x >1, I n [2]:==] O u t [2
0. 0
得 dy |x =2. 03=12.3627dx
x =1
dy |dx =0. 0 1=
0.03
例子3
的近似值 解
三、本节小结: 1、微分的定义; 1、从几何意义上来看,
是曲线
是曲线
在点
在点
处切线的斜率,而微分
处的切线方程在点
的纵坐标增量。
2、在Mathematica 中,求一元函数微分的格式为
Dt [ 函数表达式 ]
或者
D [ 函数表达式,自变量 ]dx
四、课外作业: 1.利用微分求近似值:
(1)e 1.01; (2)cos151o ; (3
(4) lg11.
2.水管壁的正截面是一个圆环,设它的内径为R 0,壁厚为d ,利用微分计算这个圆环面积的近似值(d 相当小)
3.半径为15 cm的球,半径伸长2 mm,球的体积约增大多少?
2.6微分中值定理与洛必达法则
教学目的:1. 理解微分中值定理及其推论的内容
2. 理解未定式的概念及洛必达法则,能熟练运用法则求函数的极限
教学重点:微分中值定理、洛必达法则及其应用 教学难点:微分中值定理、洛必达法则及其应用 课 型:讲授课 课 时:2课时 教学过程
一、导入新课
本章将介绍中值定理及导数的应用,其中中值定理在微分学中占有十分重要的地位,也称为微分中值定理,是导数应用的理论基础。
二、讲授新课
(一)柯西中值定理
定理1(柯西中值定理) 如果函数满足下列条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)上可导;
(3) F ' (x ) 在(a,b )内的每一点均不为零,那么,在(a,b )内至少存在一点ξ , 使
得
f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=.
g (b ) -g (a ) g '(ξ)
几何解释:若将x 看成是参数,则可将X=F(X),Y=f(x)看作是一条曲线的参数方程表示式,
f (b ) -f (a ) f ' (ξ)
F (b ) -F (a ) 表示连接曲线两端点A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))的弦的斜率,而F ' (ξ) 则表示该
曲线上某一点的斜率。
因此,其几何意义是:在连续且除端点外处处有不垂直于轴的切线的曲线弧上,至少存在一点C ,在该处的切线平行于两端点的连线。 (二)洛必达法则
把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“
0∞
”型或者“”型不定式(或未0∞
定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。 定理2(洛必达法则)若 (1)
x →x 0
lim f (x ) =0, lim g (x ) =0
x →x 0
;
(2) f(x)与g(x)在
x 0的某个邻域(点x 0除外)可导,且g ' (x ) ≠0;
(3)
x →x 0
lim
f ' (x )
=A g ' (x ) (A 为有限数,也可为+∞或-∞)则
x →x 0
lim
f (x ) f ' (x )
=lim =A x →x 0g ' (x ) g (x )
证: 由于要讨论的是函数在点与g(x)在
x 0的极限,x 故与函数在该点0的值无关,所以可补充f(x)
x 0的定义,且对问题讨论没有影响。令f (x 0) =g (x 0) =0,则f(x)与g(x)在点连
续,在点
x 0的附近任取一点,并应用柯西中值定理,得
f (x ) f (x ) -f (x 0) f ' (ξ)
==
g (x ) g (x ) -g (x 0) g ' (ξ) (ξ在x 与x 0之间)
由于
x →x 0时ξ→x 0,所以,对上式取极限即证。
x →x 0或x →∞时的未定型
注 上述定理对x →∞时的未定型“0”同样有用,对
∞
“∞”也有相应的法则。
x 3-3x +2lim 3
2
例1 求x →1x -x -x +1
6x 63x 3-3x +23x 2-3
lim =lim 3lim
x →1x -x 2-x +1x →13x 2-2x -1x →16x -242 解: ===1+cos x x →πtan x 例2 求
lim
解:lim
1+cos x -sin x
=lim =0
x →πx →π1tan x
cos 2x
π
例3 求lim x →+∞
-arctan x 1x
π
解:lim x →+∞
-arctan x 1x
-12
1+x =1 =lim x →+∞-1
x 2
例4 求lim
ln x
(n >0)
x →+∞x n
1
ln x 1
解: lim n =lim x =lim =0
x →+∞x x →+∞nx n -1x →+∞nx n
例5 求lim (
x →1
x 1
-) x -1ln x
解:
1
+ln x -1
x 1x ln x -(x -1) ln x lim (-) =lim =lim =lim x →1x -1x →1x →1x →1x -11ln x (x -1) ln x
ln x +1-+ln x
x x
1
1
=lim =x →1112
+x 2x
x
lim
例6 证明
x →∞
x +sin x
x 存在,但不能用法则求解。
x +sin x x
=lim (1+) =1+0=1
x →∞x →∞x sin x 解:因为所以极限为1;
lim
(x +sin x )' 1+cos x
=lim =lim (1+cos x )
x →∞x →∞x →∞x ' 1又因为不存在,所给极限不能用
lim
洛必达求出
x 2(e x -1) lim
x →0sin x (1-cos x )
例7 求
x 2(e x -1) x 2x 解:l i =l i 2=2
x →0s i n x (1-c o s x ) x →0x
x 2
小结:
1.1) 对0*∞,∞±∞型未定式,可通过取倒数、通分等恒等变形化为0/0型或∞/∞
型。
2) 对0,1,∞等幂指型未定式,可取对数化为0*∞型,然后化为0/0型或∞
/∞型。
2. 要懂得洛必达法则是求0/0型与∞/∞型未定式极限的一种比较有效的方法,但也有一定的使用范围:只有满足条件lim f ' (x ) /lim g ' (x ) (x→x0) 存在或为∞(这时我们称
x →x 0
0∞0
lim (f′(x)/g′(x)) (x→x0) 有确定意义),用洛必达法则求的极限lim (f(x)/g(x))才是正确
x →x 0
的。
3. 洛必达法则的条件是未定式存在极限的充分而非必要条件,换言之,当lim (f′(x)/g′
x →x 0
(x)) (x→x0) 不存在或也不为∞时,lim (f(x)/g(x))仍然可能是确定的。
x x 0
4.应注意洛必达法则不是求0/0型或与∞/∞型未定式的唯一方法。计算时应该结合使用等价无穷小的替换等方法,以使计算简便、准确。
5.在每一次使用洛必达法则前,都要验证以下所求极限是否为0/0或∞/∞型未定式,否则就会出错。
三、课堂练习
P 66 思考题 习作题1、2
四、小结
理解微分中值定理及其推论的内容,理解未定式的概念及洛必达法则,能熟练运用法则求函数的极限. 特别注意使用洛必达法则的条件。
五、布置作业
2.6 拉格朗日中值定理及函数的单调性
教学目的:1. 理解拉格朗日中值定理和函数的单调性的判定法原理
2. 掌握利用导数判定函数的单调性的方法
教学重点:函数的单调性判定定理的求法及其应用 教学难点:函数的单调性判定方法及其应用 课 型:讲授课 课 时:2课时 教学过程
一、导入新课
1. 柯西中值定理和洛必达法则的内容分别是什么? 2. 洛必达法则的适用条件有哪些?
二、讲授新课
(一)拉格朗日中值定理
定理1(拉格朗日中值定理)如果函数f (x ) 满足下列条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)上至少存在一点ξ,使得 f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
事实上,令F(x)=x,则f(x),F(x)在[a,b]区间上满足柯西中值定理的条件,于是在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得
f (b ) -f (a ) f ' (x )
=
b -a 1
即 f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )
其几何意义和柯西中值定理一样,只不过曲线方程应是一元函数y=f(x).
拉格朗日中值定理是微分学的一个基本定理,它建立了函数在一个区间上的改变量和函数在这个区间内某点处的导数之间的联系,从而可以用导数去研究函数在区间上的性态。 (二)两个重要推论
推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f ' (x ) ≡0,则在(a,b)内f(x)=C (C为常数)
证 设x 1, x 2是区间(a,b)内的任意两点,且x 1
f (x 2) -f (x 1) =f ' (ξ)(x 2-x 1) (x 1
由于 f ' (x ) =0 即f (x 2) -f (x 1) =0
又由于点的任意性,所以可得在区间内的值都相等,故是常数,证毕。
推论2 如果对(a,b)内任意x ,均有f ' (x ) =g ' (x ) ,则在(a,b ) 内f(x)与g(x)之间只相差一个常数,即 f(x)=g(x)+C (C 为常数)
证 令F(x)=f(x)-g(x),则F ' (x ) ≡0,由推论1知,F(x)(a,b)在内为一常数C ,
即f(x)-g(x)=C,x ∈(a , b ) 证毕. (三)函数的单调性
单调函数在高等数学中占重要的地位,如单调函数才有反函数等,本段我们讨论函数的单调性与其导数之间的关系,从而提供一种判断单调性的方法。 定理2 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,则有
(1) 如果在(a,b)内f ' (x ) >0,则函数f(x)在[a,b]上单调递增; (2) 如果在(a,b) 内f ' (x )
例 讨论函数f (x ) =3x -x 的单调性。
解:因为f (x ) =3x -x ,所以f ' (x ) =6x -3x =3x (2-x )
2
3
2
2
3
令f (x ) =0得驻点:x 1=0, x 2=2,将定义域分为三个部分区间
/
(-∞, 0), (0, 2), (2, +∞) 时,
当x ∈(-∞, 0) 有,有f (x ) 0;当x ∈(2, +∞) 时有
/
/
f /(x )
(0,2)上单调增加
三、课堂练习 四、小结
理解拉格朗日中值定理和函数的单调性的判定法原理,掌握利用导数判定函数的单调性的方法. 并注意:
1) 函数在其整个定义域内不见得具有单调性,但在各个部分区间上却具有单调性。在单调区间的分界点处导数值为0;
2) 导数值为零的点称为驻点,其将定义域分为若干个子区间,再在每个子区间上用定理2判断其单调性。若在整个区间上只有个别点处的导数值为零,而其他点处的导数的符号不变,不影响其单调性。
五、布置作业
2.7 函数的极值与最值(一)
教学目的:1.理解极值的概念及函数极值的判定定理
2.掌握利用导数求极值的方法
教学重点:函数的极值判定定理和极值的求法及其应用 教学难点:函数的极值判定定理和极值的求法及其应用 课 型:讲授课 课 时:2课时 教学过程
一、导入新课
3
()f x =x -3x 的图象, 通过观察函数
易知点x =±1是函数单调区间的分界点,在点x =-1的左侧邻近,f (x )单调增加, 在点x =-1的右侧邻近,f (x )单调减少。
因此,存在x =-1的一个去心邻域,使得在该去心邻域内的任何
x ,均有
f (x )
即在x =-1处的函数值f (-1)与x =-1邻近的x 处的函数值f (x )相比,f (-1)是最大的。类似地,存在x =1的一个去心邻域,使得在该去心邻域内的任何x ,均有f (x )>f (1),具有这种性质的点在实际应用上有着重要意义,对于这样的点我们有如下的定义。
二、讲授新课
(一) 函数的极值 1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x 0的某个邻域内有定义,且对此邻域内任意一点x(x ≠x 0) ,均有f (x ) f (x 0) ,则称f (x 0) 是函数f (x )的一个极小值。函数f (x )的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x 0,称为极值点.
注:1)极值在一个区间上可能不唯一,极大值也有可能小于极小值
2)极值的概念是局部性的,它与最值不同
3)可导函数在极值处的切线是水平的,即极值点处导数为0,所以f ' (x ) =0
定理1(极值的必要条件) 设函数在点处具有导数,且在点处取得极值,则f ' (x ) =0
注:1)极值点必为驻点,反之不真。
2)极值点可能是导数不存在的点,称之为尖点。 2. 函数极值的判别法
定理2(第一充分条件) 设函数f(x)在点x 0处连续,在点的某一个空心邻域内可导,当x 由小到大经过点x 0时,如果
1)f ' (x ) 由正变负,那么x 0是函数f(x)极大值点; 2)f ' (x ) 由负变正,那么x 0是函数f(x)极小值点; 3)f ' (x ) 不变号,那么x 0不是极值点。
证 1)由假设知,f(x)在x 0的左侧邻近单调递增,在x 0的右侧单调递减,即当x
f (x ) x 0时,f (x ) >f (x 0), 因此是f(x)的极大值点,f (x 0) 是f(x)的极
大值。
类似可证2)。
3)由于不变号,所以f(x)是单调的,因此不是极值点。
定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且f ' (x ) =0, f ' ' (x ) ≠0 1)如果f ' ' (x ) 0,则f (x ) 在点x 0处取得极小值。 例1 求函数f(x)=x -6x +9x 的极值。 解
法
1
3
2
:
因为
f(x)=
x 3-6x 2+9x
的定义域为
(-∞, +∞), f ' (x ) =3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)
令f ' (x ) =0,得驻点为x 1=1, x 2=3.
在(-∞, 1) 内,f ' (x ) >0在(1,3)内,f ' (x )
解法2:因为f(x)的定义域为(-∞, +∞) ,且f ' (x ) =3x -12x +9, f ' ' (x ) =6x -12,
2
令f ' (x ) =0,得驻点为x 1=1, x 2=3
又因为f ' ' (1) =-6
f ' ' (3) =6>0所以,f(3)=0为极小值。
例2 求函数f (x ) =2-(x -1) 的极值。
解:因为 f(x)的定义域为(-∞, +∞) ,且在(-∞, +∞) 上连续,且
-2
f ' (x ) =-(x -1) 3=
3
1
23
-23(x -1)
13
(x ≠1)
x=1时,f ' (x ) 不存在,所以x=1为f(x)的可能极值点。在(-∞, 1) 内,f ' (x ) >0在
(1, +∞) 内,f ' (x )
三、课堂练习 四、小结新课
理解极值的概念及函数极值的判定定理,掌握利用导数求极值的方法. 不要将极值点与驻点混为一谈,要清楚驻点是对可导函数而言的,而极值点对不可导函数、甚至对不连续函数也是有意义的,只有可导函数的极值点才是驻点;而可导函数的驻点仅是可疑极值点。要学会用极值判定条件来求函数的极值,但又要知道极值的判定条件是充分而不必要的。
五、布置作业
2.8 函数的极值与最值(二)
教学目的:1. 能够区别极值与最值的概念
2. 掌握求函数的最大值和最小值的方法,会求实际问题中的最值
教学重点:函数最值的求法及其应用 教学难点:函数最值的求法及其应用 课 型:讲授课 课 时:2课时 教学过程
一、导入新课
在工农业生产、工程技术及科学实验中经常会遇到这样一些实际问题:在一定条件下,怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等问题,这类问题常常可归结为求某函数的最大值或最小值问题。
我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,这在理论上肯定了最值的存在性,但是怎么求出函数的最值呢?首先假设函数的最大(小)值在开区间(a , b )内取得,那么最大(小)值也一定是函数的极大(小)值,由上节的分析知道,使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出,并加以比较,便可求得函数的最值。 思考:函数的极值是它的最值吗?
二、讲授新课
(二) 最大值与最小值
(1) 某些优先问题可归结为求函数f(x)在区间I 上的最大值与最小值,求连续函数f(x)在闭区间[a, b]上最大(小)值的一般步骤是:
1)求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x 1, x2, 。。。x n,; 2)计算出函数值f(x1), f(x2),„ f(xn ); 以及f(a)与f(b); 3)比较上述值的大小.
(2) 有关最大(小)值的应用问题,其关键是建立目标函数。该函数的实际意义下的定义域称为约束集或可行域。
f(x)在约束I 内的驻点唯一,又根据问题的实际意义知f(x)的最大(小)值存在,则
该驻点即为最大(小)值点,不必另行判定。
例3 求函数f (x ) =2x 3+3x 2-12x 在[-3,4]上的最值。
解:因为f(x)在 [-3,4] 上连续,所以在该区间上存在最大和最小值。
又因为f ' (x ) =6x 2+6x -12=6(x +2)(x -1) ,令f ' (x ) =0,得驻点
x 1=-2, x 2=1,由于f (-2) =20, f (1(=-7, f (-3) =9, f (4) =128
比较各值,可得f(x)最大值为128,最小值为-7
例4 有一块宽为2a 的长方形铁皮,将宽的两个边缘向上折起,做成一个开口水槽,其横截面为矩形,高为x ,问高x 取何值时水槽的流量最大。 解:设两边各折起,则横截面积为S(x)=2x(a-x)(0由于s ' (x ) =2a -4x ,所以,令s ' (x ) =0,得驻点为x =
由实际意义,其最大值在x =
a 2
a a
时取得,所以当x =时,流量最大。 22
三、课堂练习 四、小结
掌握求函数的最大值和最小值的方法,会求实际问题中的最值,不要将极大(极小)值与最大(最小)值混为一谈,要懂得它们的区别和联系。
五、布置作业
2.9 函数图形的描绘(一)
教学目的: 1.理解曲线的凹凸性与拐点的定义及曲线的水平、垂直渐近线的概念
2.会利用二阶导数判定曲线的凹凸性与拐点
教学重点:曲线的凹凸性与拐点的判定
教学难点:曲线的凹凸性与拐点的判定
课 型:讲授课
课 时:2课时
教学过程
一、导入新课
在研究函数曲线的变化时,了解函数的单调性和极值是很重要的,但这并不能完全反映其变化规律。如函数y =x 和y =2x 在 [0, 1]上的曲线,都是单调增加的,但它们图形的差别是明显的。下面我们利用导数研究曲线的凹凸性及判别法。
二、讲授新课
(一)曲线的凹凸性及判别法
定义1 若在某区间(a,b )内曲线段总位于其上任意一点的切线的上方,则称曲线段在(a,b )内是凹的;若曲线段总位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线段在(a,b )内是凸的
下面我们不加证明地给出曲线凹凸向的判别法
定理1 设函数y =f (x ) 在开区间(a,b )内具有二阶导数,
(1)若在(a,b)内,f ' ' (x ) >0则曲线y=f(x)在(a,b)内是上凹的;
(2)若在(a,b)内,f ' ' (x )
注:可从一阶导数的单调性加以考察。
例1 判定曲线y=ln x 的凹凸性。
解:函数的定义域为(0, +∞) ,
y ' =11, y ' ' =-2 x x
当x>0时y ' '
(二)拐点及其求法
定义2 若连续函数f(x)的点P 是曲线上凹和下凸的分界点,则称点P 是曲线的拐点。
由于拐点是曲线凹向的分界点,则在拐点两侧近旁必f ' ' (x ) 异号。故拐点x 0横坐标只能是使f ' ' (x ) =0的点或是f ' ' (x ) 不存在的点。所以可得其求法
设函数y=f(x)在(a,b)连续:
1) 先求出f ' ' (x ) ,找出在(a,b)内使f ' ' (x ) =0的点和f ' ' (x ) 不存在的点;
2) 用上述点将(a,b)分成若干小区间,再在每个小区间上考察f ' ' (x ) 的符号;
3) 若在某点x i 两侧近旁异号,则该点是拐点,否则不是。
例2 求曲线y =x 3的凹向及拐点,并画草图。
解;因为y =x 3定义域为(-∞, +∞) ,且y ' =3x 2, y ' ' =6x
令y ' ' =0得 x=0
用x=0将(-∞, +∞) 分成两小区间(-∞, 0), (0, +∞)
当x ∈(-∞, 0) 时,曲线y =x 3下凹
当x ∈(0, +∞) 时,曲线y =x 3上凹
所以,点x=0为y =x 拐点。
(三)渐近线
定义3 若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时,点P 与某一固定直线L 的距离趋近于零,则称L 为曲线C 的渐近线
并不是任何曲线都有渐近线,下面分三种情况进行讨论:
(1)斜渐近线
定理2 若满足: 3
(1)lim x →∞f (x ) =k ; x
x →∞ (2)lim [f (x ) -kx ]=b
则曲线y=f(x)有斜渐近线为y=kx+b.
x 3
例3 求曲线y =2的斜渐近线 x +2x -3
x 3
解:令f (x ) =2, 因为 x +2x -3
f (x ) x 2x 3
k =lim =lim 2=1, b =lim [f (x ) -kx ]=lim (2-x ) =-2 x →∞x →∞x →∞x →∞x x +2x -3x +2x -3
所以斜渐近线为y =x -2
(2)铅直渐进线
+-定义4 若x →C 时(有时仅当x →C 或x →C ),有f (x ) →∞,则称直线x =C 为曲线y =f (x )
的铅直渐近线。(其中C 为常数)
(3)水平渐进线
定义5 若当x →∞时,f (x ) →C (C 为常数)则称曲线y=f(x)有水平渐近线y =C 注:这是斜渐近线为零的特殊情况。
三、课堂练习
四、小结
理解曲线的凹凸性与拐点的定义及曲线的水平、垂直渐近线的概念,会利用二阶导数判定曲线的凹凸性与拐点.
五、布置作业
2.9 函数图形的描绘(二)
教学目的:熟练掌握函数图形描绘的主要步骤和方法
教学重点:函数图形描绘的主要步骤和方法
教学难点:函数图形描绘的主要步骤和方法
课 型:讲授课
课 时:2课时
教学过程
一、导入新课
在前面几节中,我们利用导数研究了函数的单调性、凹凸性、极值、拐点,综合这些内容,我们可以知道函数在定义区间内的变化特征,从而对函数的曲线在某一区间的变化轮廓有了较为全面的了解,这样就可以比较准确地描绘函数的图形。
二、讲授新课
4.函数的图形的描绘
函数的图形为我们提供了函数的直观的几何形象,这对于研究函数很有帮助,以前作函数图形的基本方法是描点法,这种方法的最大缺陷在于选点的盲目性,不能把握整个图形的特点和趋势。前面,我们应用导数给出了一套研究函数性态的方法,将其应用于函数作图上,就可以得到一种远比描点法更有效的作图方法——微分作图法。应用微分作图法去作函数图形,是前几节所讲知识的综合性应用,
函数作图的步骤如下:
(1)确定函数的定义域,判断函数是否有奇偶性,周期性;
(2)求出y /,并求出使f /(x ) =0;f /(x ) =0在定义域内的所有点x 及f /(x ) =0,不存在点;
(3)这些点将定义域分成若干小区间,在各小区间内确定y /的符号,由此确定每个区间
上函数图像的单调性,凹凸性,极值点和拐点。
(4)确定函数的渐进线;
(5)求出极值点,拐点对应的纵坐标,必要时可再补充一些特殊点;
(6)描点并根据上述结果绘出函数的图形。
e x
例4 描绘函数y =的图象 1+x
解;函数的定义域为x ≠1的全体实数,且当x -1时,有f (x ) >0,图象在x 轴的上方.
由于lim f (x ) =∞,所以,x =-1时为曲线y =f (x ) 的铅直渐进线 x →-1
e x
=0,所以,y =0为水平渐进线; 又因为lim x →-∞1+x
xe x e x (x 2+1) //因为y =,y = 23(1+x ) (1+x ) /
/令y =0,得x =0,又x =-1时,y //不存在
用x =0,x =-1将定义域分开,并做如下讨论
x (-∞, 1) (-1, 0) 0 (0, +∞)
y '
y ' ' - -
单调减少
e 0
=1 极小值f (0) =1+0
故可画出图象(略)。 - + 单调减少 极小值 + + 单调增加 y
三、课堂练习
P 79 思考题 2 习作题 4
四、小结
掌握函数图形描绘的主要步骤和方法
五、布置作业