求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法
山西阳城一中 茹阳龙
在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式
x2y2
例1 若椭圆2+2=1(a b 0)上存在一点P，使∠0PA=90︒，其中0为ab
原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设P(x0,y0)为椭圆上一点，则
x0y0+=1. ① a2b222
因为∠0PA=90︒，所以以OA为直径的圆经过点P，所以
x0-ax0+y0=0. ② 22
联立①、②消去y0并整理得
x02b222-(x0-a)+2(a-x0)=0 a
当x0=a时，P与A重合，不合题意，舍去。 ab2
所以x0=2 a-b2
ab2
a， 又0 x0 a，所以0 22a-b
即 a2 2b=2(a2-c2)
c212得2 ，即3 e 22a
⎡2⎫,1⎪又0 e 1，故e的取值范围是⎢⎪ 2⎣⎭
二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式
x2y2
例2 已知双曲线2-2=1(a 0,b 0)左、右焦点分别为F1、F2，左准线ab
为ι,p是双曲线左支上一点，并且PF1=dPF2，由双曲线第二定义得2
PF1=ed， 所以PF2=ePF1. ①
由又曲线第一定义得
PF2-PF1=2a ②
由①-②得
2a2eaPF1=,PF2=. e-1e-1
在∆F1PF2中，
PF1+PF21≥F1F2=2c,
所以
即2a2ea+≥2c ， e-1e-1e+1≥e. e-1
又e 1，从而解得e的取值范围是1,1+2。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式
x2y2
例3 设椭圆2+2=1(a b 0)的两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么ab(]
范围内取值时，椭圆上存在点P，使∆F1PF2=120°.
解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知
PF1+PF2=2a.
在∆F1PF2中，由余弦定理得
F1F22=PF1+PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2 222=PF1+PF2+PF1PF2
=（PF1+PF2)2-PF1PF2 2
⎛PF+PF2⎫⎪=a2 所以4a2-4c2=PF1PF2≤ 1 ⎪2⎝⎭
所以3a2≤4c2,得c≥. a22
⎡3⎫,1⎪又0 e 1，故e的取值范围是⎢⎪ 2⎣⎭
四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式
例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2=x-1上，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设椭圆的中心为01A，并延长交y轴于N，则
01A=a=2,NA=x0.
因为y20=x0-1≥0，所以x0≥1。 所以e=a222。 ==≤201Nx0+23a
c
⎝3⎥⎦2⎤所以椭圆离心率e的取值范围为⎛ 0,。
五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c的不等式
x2y2
例5 如图2，已知椭圆2+2=1(a b 0)的两焦点为F1、F2，斜率为Kab
的直线ι过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2的中点，若k≤
求椭圆离心率e的取值范围。
2，5
y
cck解：设F2 (C,0),直线ι:y=k(x-c),则c(0,-ck),B(,-)，代入椭圆方程得22
c2c2k2
+=1. 4a24b2
c2c2k2
=1， 又b=a-c,所以2+4a4(a2-c2)222
12e2k2
=1， 所以e+244(1-e)
e4-5e2+4解得 k= 2e2
因为k≤254，所以k2≤ 55
e4-5e2+4442≤,解得≤e 1， 255e
所以25≤e 1 5
六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于a,b,c的不等式
x2y例6 若椭圆2+2=1(a b 0)上存在一点P，使∠0PA=90︒，其中Oab2
为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设P（acosθ,bsinθ），由∠0PA=90︒，
得bsinθbsinθ⋅=-1， acosθacosθ-a
即（a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0 ①
b2
解得cosθ=1或cosθ=2 a-b2
当cosθ=1时，P与A重合，不合题意，舍去 。
b2
因此要使①有解，需-1 2 1， a-b2
a2-c2c2 1,解得 即. 2a2c
⎡2⎫,1⎪又0 e 1，故e的取值范围是⎢ ⎪⎣2⎭
总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三角形的三边大小 关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。