初中平方根知识讲解
平方根(基础)
【学习目标】
1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根. 【要点梳理】
知识点一、平方根和算术平方根的概念 1. 算术平方根的定义
如果一个正数x 的平方等于a ,即x =a , 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a
a 的算术平方根”,a 叫做被开方数.
要点诠释:
a
0,a ≥0. 2. 平方根的定义
如果x =a ,那么x 叫做a 的平方根. 求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)
的平方根的符号表达为a ≥
0) a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2
)结果不同:
2.联系:(1)平方根包含算术平方根;
(2)被开方数都是非负数;
(3)0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没
有平方根.
(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方
根. 因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质
2
2
⎧a
⎪
=|a |=⎨0
⎪-a ⎩
a >0
a =0 a
2
=a
(a ≥0)
知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
250=
25=
2.5=0.25. 【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是( )
A.5是25的算术平方根 B.l是l 的一个平方根
C. (-4)的平方根是-4 D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C ;
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.
A.
=5,所以本说法正确;
B.
1,所以l 是l 的一个平方根说法正确; C.
2
4,所以本说法错误;
D. 因为
00,所以本说法正确;
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定义解决问题. 举一反三:
【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:
(1)-9没有平方根.( )
(2=±4.( ) (3)(-
121
) 的平方根是±.( ) 101042是的算术平方根.( ) 255
2
4
是的算术平方根. 525
(4)--
【答案】√ ;×; √; ×, 提示:
(2=4;(4)
2、 填空:
(1)-4是 的负平方根. (
2
= .
(
3 .
(4=3,则x =
=3,则x = . 【思路点拨】(
3111的算术平方根=,此题求的是的算术平方根.
8199【答案与解析】(1)16;(2)
111
; (3) (4) 9;±3
3164
【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑. 注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的有( ):
①3是9的平方根. ② 9的平方根是3.
③4是8的正的平方根.④ -8是64的负的平方根.
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B ;
提示:①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值:
(1)
(2
(3
(4
【答案】(1)15;(2)15;(3)-0.3;(4)
6 55
3
x 的取值范围是______________. 【答案】x ≥-1;
【解析】x +1≥0,解得x ≥-1.
【总结升华】
a
0,a ≥0. 举一反三:
【变式】代数式y =x -3有意义,则x 的取值范围是 . 【答案】x ≥3.
类型二、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
2
(1)x -361=0; (2)(x +1)=289; (3)9(3x +2)-64=0
2
2
【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程,但是本题可以通过开平方的方法(2)小题将(x +1)看作一个整体,(3)小题将(3x +2)看作一个整体,求出它们的解后,再求x . 【答案与解析】
解:(1)∵x -361=0 ∴x =361
∴x ==±19
(2)∵(x +1)=289
∴x +1=∴x +1=±17 x =16或x =-18. (3)∵9(3x +2
2
22
)
2
-64=0
∴(3x +2)=
2
648214
∴3x +2=± ∴x =或x =- 9399
【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法. (2)(3)小题中
运用了整体思想分散了难度. 类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?
【答案与解析】
解:设宽为x ,长为3x , 由题意得,x ·3x =1323
3x =1323
x =±21
x =-21(舍去) 答:长为63米,宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.
2
(提高)【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m -4与3m -1是同一个正数的两个平方根,求m 的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m -4=-(3m -1),解方程即可求解. 【答案与解析】
解:依题意得 2m -4=-(3m -1),
解得m =1; ∴m 的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 举一反三:
【变式】已知2a -1与-a +2是m 的平方根,求m 的值.
2
【答案】2a -1与-a +2是m 的平方根,所以2a -1与-a +2相等或互为相反数. 解:①当2a -1=-a +2时,a =1,所以m =(2a -1)=(2⨯1-1)=1
2
②当2a -1+(-a +2)=0时,a =-1,所以(2a -1)=[2⨯(-1) -1]=(-3)=
9
2
2
2
2、x 为何值时,下列各式有意义?
;
【答案与解析】
解:(1)因为x ≥0,所以当x
2
. (2)由题意可知:x -4≥0,所以x ≥
4
(3)由题意可知:⎨
⎧x +1≥0
解得:-1≤x ≤1.所以-1≤x ≤
1有意义.
1-x ≥0⎩
⎧x -1≥0
,解得x ≥1且x ≠3.
⎩x -3≠0
有意义. x -3
(4)由题意可知:⎨
所以当x ≥1且x ≠
3时,
【总结升华】(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义.(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义.
举一反三:
【变式】已知b =2,求【答案】
11
+的算术平方根. a b
⎧3a -2≥0, 21131
解:根据题意,得⎨则a =,所以b =2, ∴+=+=2,
3a b 22⎩2-3a ≥0.
∴
11+
= a b 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值.
【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义. (2)注意运算顺序.
【答案与解析】
解:
==7⨯5=35;
911
=⨯0.6-⨯30=-0.2-6=-1.7.
235
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行.(2)
=a (a >0) 来解. 类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
2
(1)x -361=0; (2)(x +1)=289; (3)9(3x +2)-64=0
2
2
【答案与解析】
解:(1)∵x -361=0 ∴x =361
∴x ==±19
(2)∵(x +1)=289
∴x +1=∴x +1=±17 x =16或x =-18. (3)∵9(3x +2)-64=0 ∴(3x +2)=
22
22
2
648214
∴3x +2=± ∴x =或x =- 9399
【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法. (2)(3)小题中
运用了整体思想分散了难度. 举一反三:
【变式】求下列等式中的x :
(1)若x =1.21,则x =______; (2)x =169,则x =______; (3)若x =
2
22
92
, 则x =______; (4)若x 2=(-2),则x =______. 4
【答案】(1)±1.1;(2)±13;(3)±类型四、平方根的综合应用
3
;(4)±2. 2
5、已知a 、b
|b =0,解关于x 的方程(a +2) x +b 2=a -1. 【答案与解析】
解:∵a 、b
|b =
0≥
0,|b ≥0,
∴2a +6=
0,b =0. ∴a =-3
,b =把a =-3
,b =
(a +2) x +b 2=a -1,得-x +2=-4,∴x =6.
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出a 、b 的值,再解方程.此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可. 举一反三:
=0,求x 2011+y 2012的值.
【答案】
=0,得x 2-1=0,y +1=0,即x =±1,y =-1.
①当x =1,y =-1时,x 2011+y 2012=12011+(-1) 2012=2. ②当x =-1,y =-1时,x
2011
+y 2012=(-1) 2011+(-1) 2012=0.
2
6、小丽想用一块面积为400cm 的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长方形纸片,使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解:设长方形纸片的长为3x (x >0) cm ,则宽为2x cm ,依题意得 3x ⋅2x =300. 6x =300. x =50.
∵ x >0,
∴ x =
∴ 长方形纸片的长为cm . ∵ 50>49,
>7.
∴ >21, 即长方形纸片的长大于20cm .
22
2
由正方形纸片的面积为400 cm , 可知其边长为20cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.
2