二次曲线中的万能弦长公式
二次曲线中的万能弦长公式
王忠全
我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b（特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y
），B （x ，y ）
那么：x 1，x 2是方程ax +by+c=0的两个解，有
x 1+x2=-b c ，x 1x 2=， a a
|AB |=x 1-x 22+(y 1-y 2) 2
∆
|a |=x 1-x 22+(kx 1+b -kx 2-b ) 2 =(1+k 2)(x 1-x 2) 2=+k 2⋅(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=+k 2
同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= 1+1∆. 2k |a |
例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4，求直线m 的方程。
解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),
即y=kx+3k-3,代入x 2+y2+4y-21=0,得x 2+k2x 2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k2)x 2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么
+k
即236k 4-24k 3+4k 2-36k 4+24k 3+60k 2-24k +96=42|1+k |264k 2-24k +96+k
64k 2-24k +96=80+80k 2，16k 2-24k -1616=0，2k 2-3k -2=0
1k 1=-, k 2=2, 所求直线方程为x +2y +9=0, 或2x -y +3=02=4，两边平方，得
当k 不存在时, 直线m 为x=-3,代入x 2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6) |AB|=8≠45(不合题意)
综上所述: 所求直线方程为x +2y +9=0, 或2x -y +3=0.
x 2y 2
+=1所截得的弦长为2，求直线m 的变式: 已知过点M （-3，-3）的直线m 被椭圆164
方程。
评析:用公式解决弦长问题, 计算量大, 容易出错, 这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面, 这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。