空间几何体,三视图,面积体积计算

第一讲 空间几何体

一、知识梳理

1、多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 2、旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 3、（1）棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（2）相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

⎧斜棱柱⎪底面是正多形

①棱柱⎨棱垂直于底面⎧→正棱柱 ⎪−−−−−

−−−−−→直棱柱⎨⎪

⎪⎩其他棱柱 ⎩

底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形

底面为正方形 （3）棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多

边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面

是矩形。

（4）长方体的性质：

①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】

AC 12=AB 2+AD 2+AA 12

4、（1）圆柱—以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的

母线几何体叫圆柱.

（2）圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 5、（1）棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这

些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底

面是正多边形，并且顶点在底面的射

侧面

影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 （2）棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： SOB , SOH , SBH , OBH 为直角三角形）。 6、（1）圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 （2）圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

②轴截面是等腰三角形；如右图： SAB ③如右图：l 2=h 2+r 2.

7、（1）棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.

（2）正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；

B ③ 如右图：四边形O `MNO , O `B `BO 都是直角梯形 ④棱台经常补成棱锥研究. 如右图：

SO `M 与 SO N , S`O `B `与 SO B 相似，注意考虑

相似比. 8、（1）圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. （2）圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；

②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：

SO `A 与 SOB 相似，注意相似比的应用.

9、（1）球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （2）球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

②r =球心到截面的距离

为d 、球的半径为R 、截面的半径为r ） 练习

1．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的；②棱柱的所有的棱长都

相等；

③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；

⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．正确的有__________.

2． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

考向一 空间几何体的结构特征

图（2） 3►(2012·天津质检) 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，

图（1）

四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( ) ．

A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 4以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( ) ． A ．0 B．1 C．2 D．3

5．给出下列四个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是

( ) ． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误，故选A. 答案 A

6．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

A B C D

第二讲 空间几何体的三视图与直观图

一、知识梳理

1、投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2、三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；

注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图

的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.

（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3、（1）直观图：——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 （2）斜二测法：

step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取∠xoy =90︒ ）；

step2：画直观图时，把它画成对应的轴o ' x ', o ' y ' ，取∠x ' o ' y ' =45︒(or 135︒) ，它们确定的平面表示水平平面；

step3：在坐标系x ' o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

二、同步练习 （一）、选择题 1、在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、CC ′的中点，P 是棱A ′B ′上不同于A ′、B ′的任一点．则截面PEF 在面ADD ′A ′上的投影是( )

A ．矩形 B ．梯形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形

2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )

A ．三棱柱 B ．三棱锥 C ．四棱柱 D ．四棱锥

6．三视图如图所示的几何体是( )

A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．四棱台 D ．三棱台

7．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

A ．①② B．①③ C ．①④ D．②④

8．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(

)

A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B ．正方形的直观图为平行四边形

C ．梯形的直观图不是梯形 D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形

11．如图，直观图表示的平面图形是(

)

A ．任意三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形

D ．钝角三角形

17．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．

18．如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．

第三讲 空间几何体的表面积与体积

一、知识梳理

1、棱柱面积、体积公式：

S 直棱柱侧=c ⋅h

S 直棱柱全=c ⋅h +2S 底，V 棱柱=S 底⋅h

（其中c 为底面

周长，h 为棱柱的高）。 2、圆柱面积、体积公式：

S 圆柱侧=2πrh ；S 圆柱全=2πrh +2πr 2，V 圆柱=S底h=πr 2h （其中r 为底面半径，h 为圆柱高）

111

3、棱锥面积、体积公式：S 正棱锥侧=ch '，S 正棱锥全=ch '+S 底，V 棱锥=S 底⋅h .

232

（其中c 为底面周长，h '侧面斜高，h 棱锥的高）。

1

4、面积、体积公式：S 圆锥侧=πrl ，S 圆锥全=πr (r +l ) ，V 圆锥=πr 2h （其中

3

r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长）。

5、棱台的表面积、体积公式：S 全＝S上底＋S 下底＋

S 侧，V 棱台S S `)h ，（其中S , S `是上，下底面面积，h 为棱台的高）。

6、圆台的表面积、体积公式：S 全＝πr 2+πR 2+π(R +r ) l ，

V

圆台S S `)h πr 2+πrR +πR 2) h ，（其中r ，R 为上下底面半径，h 为高）。

4

7、球面积、体积公式：S 球=4πR 2, V 球=πR 3（其中R 为球的半径）。

3

二、同步练习

3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形， 则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）

2745A. B. C. D.

3656

1

3

13

13

4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则

V 1:V 2=（ ）

A . 1:3 B . 1:1 C . 2:1 D. 3:1

5．如果两个球的体积之比为8:27, 那么两个球的表面积之比为( ) A . 8:27 B . 2:3 C . 4:9 D . 2:9 6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体

积为：

A . 24πcm 2，12πcm 2 B . 15πcm 2，12πcm 2

C . 24πcm 2，36πcm 2 D . 以上都不正确 7．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为( )

1

A ．1 B. 2 11C. 3 D. 6

8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何积(

)

体的体

1

A. 3 C ．1

2 B. 3D ．2

11．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )

A. 6π cm3

8

B ．6 cm3 C. π cm3

3

4

D. π cm3 3

16．球的半径扩大为原来的2倍, 它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 19．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．

22．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为______

一个顶点上

三视图与空间几何体作业

2．如图7－1－10所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象是(

)

图7－1－11

．

5．(2012·珠海质检) 如图7－1－13①所示，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图7－1－13②③所示，则其侧视图的面积为________．

图7－1－13

6．(2011·深圳质检) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2

8某几何体的三视图如图7－2－10所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( ) 图7－2－10

3

A. 2π B ．π＋3 35

C. 2＋3 D. 2π3

9(2011·广东高考) 如图7－2－11，某几何体的正视图(主视图) ，侧视图(左视图) 和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为(

)

A ．3 B ．4 C ．23 D ．2

10高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是______．