解三角形一教案
课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发, 共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程 [情境导学]
如图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．∠C
的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？能否用一个等
式把这种关系精确地表示出来？这就是本节我们要一起研究的问题．
探究点一 正弦定理的推导
思考1 在初中，我们已学过直角三角形，那么在直角三角形中，你能探究出角与边的等式 关系吗？
答 如图，在Rt △ABC 中，
设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，
sin A ，＝sin B ，
又sin C ＝1＝
＝c ， sin A sin B sin C
从而在直角三角形ABC 中，. sin A sin B sin C a c b c c c a b c a b c
思考2 在锐角三角形中，以上关系式是否仍然成立？
答
设边AB 上的高是CD ，
根据三角函数的定义，有CD ＝a sin B ＝b sin A ，
＝ sin A sin B
同理可得＝＝sin C sin B sin A sin B sin C
思考3 在钝角△ABC 中，以上关系式是否仍然成立？
a b c b a b c
答 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
CD ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A ) b
＝sin A ，sin B .
∴CD ＝b sin A ＝a sin B .
＝sin A sin B
同理，. sin B sin C
＝sin A sin B sin C
小结 从上面的研探过程，可得正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝. sin A sin B sin C
思考4 是否可以用其他方法证明正弦定理？
答 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．
→过点A 作j ⊥AC ，
→→→由向量的加法可得AB ＝AC ＋CB ，
→→→则j ·AB ＝j ·(AC ＋CB ) ，
→→→∴j ·AB ＝j ·AC ＋j ·CB ，
→→|j ||AB |cos (90°－A ) ＝0＋|j ||CB |cos (90°－C ) ，
∴c sin A ＝a sin C ，即， sin A sin C CD a a b b c a b c a b c a c
b c →同理，过点C 作j ⊥BC ，可得 sin B sin C
从而＝. sin A sin B sin C
类似可推出，当△ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．(由学生课后自己推导) 思考5 从正弦定理的表达形式上，你能说明正弦定理的基本作用吗？
答 (1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ；
(2)＝，＝. sin A sin B sin C sin A sin B sin C sin B sin A sin C
从而知正弦定理的基本作用：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a ＝a b c a b c a b c b a c b sin A
sin B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin A ＝sin B . 小结 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
例1 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm，解三角形．
解 根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B ) ＝180°－(32.0°＋81.8°) ＝66.2°.
a sin B 42.9sin 81.8°根据正弦定理，b ＝≈80.1(cm)； sin A sin 32.0°
根据正弦定理，c ＝a b a sin C 42.9sin 66.2°≈74.1(cm)． sin A sin 32.0°
反思与感悟 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．
跟踪训练1 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．
解 根据三角形内角和定理，
A ＝180°－(B ＋C ) ＝180°－(60°＋75°) ＝45°.
a sin B 18sin 60°根据正弦定理，b ＝96. sin A sin 45°
探究点二 正弦定理的几何解释
思考1 如图所示，在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直
径2R ，＝2R ，这一关系对锐角三角形也成立吗？ sin A sin B sin C
答 如图，因为△ABC 为锐角三角形，连接BO 交圆O 于D ，连接CD . a b c
因为∠A ＝∠D ，则在△BCD 中，＝2R . sin A sin D
同理，＝2R ， sin B sin C
所以＝＝2R 成立． sin A sin B sin C
思考2 如图所示，钝角三角形ABC 中，A 为钝角，圆O 是它的外接圆，
半径为R ，等式＝＝＝2R 还成立吗？ sin A sin B sin C
答 如图，当△ABC 为钝角三角形时，连接BO 交圆O 于D ，连接
CD ，
a a b c a b c a b c
∠A ＝180°－∠D ，
所以＝＝2R . sin A sin 180°－D sin D
同理，＝2R ， sin B sin C
所以＝＝2R 仍成立． sin A sin B sin C
小结 综上所述，对于任意的△ABC ＝＝2R 恒成立． sin A sin B sin C
例2 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C ) ＋b (sin C －sin A ) ＋c (sin A －sin B ) ＝0. 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入得：
左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边，
∴等式成立．
反思与感悟 正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．
跟踪训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．
解 ∵A ＋B ＋C ＝π，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，
πππ∴A ＝，B ＝，C ＝ 632
13∴sin A ＝，sin B ，sin C ＝1. 22
＝k (k >0)，则 sin A sin B sin C a a a b c a b c a b c a b c
k 3a ＝k sin A ＝b ＝k sin B ＝；c ＝k sin C ＝k ； 22
13∴a ∶b ∶c ＝∶1＝13∶2. 22
1． 在△ABC 中，一定成立的等式是
A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B
C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A
答案 C
解析 由正弦定理＝ sin A sin B
得a sin B ＝b sin A ，故选C.
2． 在△ABC 中，已知∠A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为
A ．3 B. 3 C ．2 D ．不确定
答案 A ( ) ( ) a b
a 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得＝6＝2R ，∴R ＝3. sin A sin 150°
3． 在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是
A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
答案 B
解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．
4． 在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.
答案 25
sin C 解析 由正弦定理得：AB ＝＝2BC ＝25. sin A
[呈重点、现规律]
1． ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． sin A sin B sin C
2． 正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3． 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
Ⅴ. 课后作业 第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
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教学反思
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