正弦函数.余弦函数的图象

《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计

一、教学内容与任务分析

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（人教A 版）》第一章1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。它在学习了一些基本初等函数的图象、任意角的三角函数以及三角函数的诱导公式的基础上，对三角函数的图象进行探究，主要学习正弦曲线和余弦曲线以及它们的画法。其中用几何法作图很好地体现了数形结合的思想，而图象的平移则使变换思想得以展现。函数性质的研究常常以图像为基础，因此研究正弦函数、余弦函数的图象不仅为后面研究三角函数的性质提供了重要途径，同时还培养了学生自主探究、动手操作的能力。由此可见，本节课有着极其重要的地位。

二、学习者分析

学生之前已经建立了函数的概念，了解一些函数图象的画法，初步掌握了图象间的平移变换，并且具备了一定的数形结合思维，在本章前几课中，还学习了三角函数的概念以及相关知识，这为本节课中学习正弦函数的作图方法和余弦函数图象的获得奠定了基础。但学生的抽象思维能力较薄弱，而且初次接触三角函数的图象，因此在用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，以及通过变换正得到余弦函数图象的过程中，难免遇到困难。

三、教学重点、难点

重点：正弦函数、余弦函数的图象及其画法；

难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法，正弦函数、余弦函数图象间的关系。

四、教学目标

1．知识与技能目标：

（1）能用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；

（2）能用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；

（3）理解正弦函数和余弦函数之间的变换关系。

2．过程与方法目标：

经历用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象的过程，以及借助三角函数诱导公式将正弦函数图象变换得到余弦函数图像的过程，体会数形结合和变换的数学思想。

3．情感态度与价值观目标：

通过探究正弦函数、余弦函数图像的画法，体验成功的喜悦，树立数学学习的自信心。

五、教学过程

1．创设情境，提出问题

（1）引入正弦函数、余弦函数的定义

实数集与角的几何之间可以建立一以对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦或余弦值。这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sinx 或cosx 与之对应。由这个对应法则所确定的函数y=sinx或y=cosx叫做正弦函数或余弦函数。

（2）实物演示，引入新课

师：遇到一个新函数，一般要画出它的图像，通过观察图像获得函数的性质，今天我们就来研究正弦函数、余弦函数的图象。首先我们来看一下本章章头图表示的“简谐运动”的实验。 实物演示：

用课前准备好的实验材料进行实验“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”

问题：物理中把简写运动的图象叫做“正弦曲线”和“余弦曲线”，你有办法画出正弦、余弦函数的图象吗？

【学情预设】根据以往学习函数的经验，大部分学生首先会想到用“描点法”画函数图象。

【设计意图】首先引导学生理解通过函数图象是研究函数的重要途径。接着在数学课堂中引入类似物理的实验，用实物演示简谐运动的图像，不仅激发了学生的学习兴趣，使学生直观地观察到正弦曲线和余弦曲线，还引入了本节新知识。

2．动手操作，探究新知

问题1：能否用描点法作正弦、余弦函数的图像，这种方法作的图像是否标准？

【设计意图】提出问题，让学生思考发现，用简单的列表、描点不能做出标准的正弦函数图象，从而体现引入用单位圆作图的方法的必要性。

问题2：我们可以用单位圆中的三角函数线刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作三角函数的图象呢，比如利用正弦线作正弦函数的图象？

教师引导学生思考如何得到图像上的一个点，即对自变量x ，如何用正弦线确定它所对应的y 值，并复习正弦线的定义，学生以小组为单位动手画出正弦线，互相讨论明确正弦线可以用来表示正弦值。

教师讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法。

问题3：为什么要从单位圆与x 轴的交点A 开始，将单位圆平均分成12等份？

这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内，以便较准确地做出图象。

问题4：如何利用正弦线描出正弦函数图象上的一些点呢？

学生以小组为单位，在教师的指导下按照课本叙述的步骤，描出12个点，做出函数y=sinx，x ∈[0,2π]的图象。

【设计意图】借助几个层层递进的问题，引导学生突破本课的难点之一。首先建立单位圆中的三角函数线与三角函数的关系，并复习正弦线的定义，为用单位圆作正弦函数的图象奠定了理论基础。让学生自己动手经历作图的过程，不仅巩固了新知识，还培养了学生自主探究和动手操作的能力，充分调动学生的积极性和主动性。

3．回顾旧知，拓展新知

（1）正弦函数y=sinx，x ∈R 的图象

问题：如何做出y=sinx，x ∈R 的图象？

教师引导学生回顾三角函数的诱导公式，知道三角终边相同的角有相同的三角函数值，因此只要将y=sinx，x ∈[0,2π]的图象左、右平行移动，每次移动2π个单位长度，就能得到正弦函数y=sinx，x ∈R 的图象。

教师在课件上演示移动后的图象。

【设计意图】从上一节课的知识出发，获得完整的正弦函数的图象。

（2）余弦函数的图象

问题：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？

教师指导学生以小组为单位，讨论正弦函数与余弦函数之间的诱导公式，找到最简单的图形变换方式获得余弦函数的图象。最后各小组分享讨论结果，教师对结果进行适当补充。

【学情预设】由于刚刚学过三角函数的诱导公式，大部分学生不难发现cosx=sin(x+π/2)这一关系，再结合以前对函数图象的变换的认识，可以明确“向左平移”。

由y=cosx=sin(x+π/2)可知，把正弦图象向左平移π/2个单位即得余弦函数图象。

【设计意图】组织学生自主探究，从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过函数图象变换画余弦函数图象的方法，让学生感受图象的变化，降低作图的难度，突破了本课的又一难点。

（3）“五点法”作图

师：有时对图象的精确度不太高时，我们可以找到函数中的关键点，用光滑的曲线将它们连接起来，就能得到函数的简图。

问题：在作正弦函数的图象时，应抓住哪五个关键点？

【学情预设】在[0,2π]这一区间内，y=sinx的因变量为整数的几个点较为明显，学生根据以往的作图经验，不难发现找到这几个点可以进行简便的作图。

五点法作图：（0，1），（π/2，0），（π，-1），（3π/2，0），（2π，1）

4．巩固练习，检验成果

画出以下函数的简图

（1）y=1-sinx，x ∈[0,2π] （2）y=3cosx，x ∈[π/2, 5π/2]

【设计意图】帮助学生巩固“五点法”。

5．课堂小结，布置作业

对本节课的重点知识内容正弦函数、余弦函数的画法进行梳理总结，并布置相应的作业。

小结：

（1）代数描点法——误差大

（2）几何描点法——精确但步骤繁

（3）五点法——简图

（4）平移——余弦函数 作业：

课本P ．38 练习2