有关导数在函数中的应用的几点看法
关于导数研究函数工具作用的几点看法
江苏省上冈高级中学 虞安群
【摘 要】《2010年江苏省高考说明》对导数及其应用这块内容分为五小块,
分别是:导数的感念(A );导数的几何意义(B );导数的运算(B );
利用导数研究函数的单调性与极值(B );导数在实际问题中的应用(B )。 针对以上要求本人对导数在函数中的应用总结为以下几种类型:判断函数的单调性,求函数的极值,利用函数的单调性证明不等式,求参数的范围,以及前面几种类型的综合或与解析几何等综合题. 这些类型成为近几年最闪亮的热点, 是高中数学学习的重点之一, 也是“新课标”下高考的重点.
【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值 参数的范围
导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体,函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近几年好多省的高考题中都出现以函数为载体,通过研究其图像性质,来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践,就导数在函数中的应用作个初步探究。总结为一下几点,仅供参考:
一、用导数求函数的切线问题:
[例1].已知曲线y =x 3-3x 2-1,过点(1, -3)作其切线,求切线方程。 分析:根据导数的几何意义求解。
解: y = 3x-6x , 当x=1时y′= - 3,即所求切线的斜率为-3.
故所求切线的方程为y+3 = -3(x-1),即为:y = -3x.
1、方法提升:函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点
P (x 0,y=f(x 0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点P (x 0, y=f(x 0) )处的切线的斜率是f′(x 0) ,相应的切线方程为y- y0 = f'(x0 )(x-x0 )。
二、用导数判断函数的单调性问题:
[例2].求函数y =2x -ln x 的单调区间。
分析:求出导数y ˊ, 令y ˊ>0或y ˊ
14x 2-1(2x -1)(2x +1)= 解:y ˊ=4x -=,由定义域知x>0, x x x
y ˊ>0⇔{x >0
(2x -1)(2x +1) >01⇔x >2,
y ˊ0
(2x -1)(2x +1)
⎛
⎝1⎫2⎭, 故所求单调增区间为 ,+∞⎪,单调减区间为 0⎪。
【反思】 利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用,它充分体现了数形结合的基本思想. 因此必须重视对数学思想、方法进行归纳提炼,提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度,达到优化解题思维、简化解题过程的目的. 我们在做题过程中需要弄清以下几点:
(1) 正确理解利用导数符号判断函数的单调性的原理,掌握利用导数符号判断函数单调性的方法.
(2) 在利用导数符号讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域. 解决问题的过程只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.
(3) 注意在某一区间内f ′(x )>0或(f ′(x )<0)是函数f (x )在该区间上为增(减)函数的充分条件.
2、方法提升:利用导数判断函数的单调性的步骤是:
(1)确定f(x)的定义域;(非常的重要)★
(2)求导数f′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)
(4)确定f(x)的单调区间. (若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论。)
三、用导数求函数的极值问题:
[例3].求函数y =⎛1⎝2⎫⎭2x -2的极值 2x +1
解:f (x )的定义域为R. f ˊ(x)=2(x 2+1)-2x ⋅2x
(x 2+1)2=2(1-x 2)(x 2+1)2.
令y ˊ=0,解得x=1或x=-1. 当x 变化时,y ˊ、y 的变化情况如下:
当x=-1时,y 有极小值-3,当x=1时,y 有极大值-1.
3、方法提升:求可导函数极值的步骤是:
(1)确定函数定义域,求导数f′(x);
(2)求f′(x)= 0的所有实数根;
(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根(如x 0)的左右侧,导函数f′(x)的符号如何变化,如果f′(x)的符号由正变负,则f(x 0) 是极大值;如果f′(x)的符号由负变正,则f(x 0) 是极小值. 。
(注意:如果f′(x)= 0的根x =x 0的左右侧符号不变,则f(x 0) 不是极值。)★
(思考):导数为0的点一定是函数的极值点吗?
导数为0的点不一定是函数的极值点,例如:f (x ) =x 3,f '(x ) =3x 2虽然
f '(0)=0,但由于无论x >0,还是x 0,即函数是单调递增的。所以x =0不是函数f (x ) =x 3的极值点,也就是说函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在这点处取极值的必要条件,而非充分条件。
函数y =f (x ) 在x 0点取极值的充分条件是:
①函数y =f (x ) 在点x 0处的导数值f '(x 0) =0
②在点x 0附近的左侧f '(x ) >(0)
四、利用导数证明不等式问题:
[例4].已知x ∈R ,e x ≥x+1.
分析:应首先构造函数,对函数进行求导,并判断函数的单调性.
证明:令f(x)= ex -x -1,∴f ˊ(x) =ex -1. ∵x ∈[-∞,0), ∴e x -1≥0恒成立,
即f ˊ(x)≥0. ∴f(x)为增函数. 当x ∈(-∞,0) 时,f ˊ(x) =ex -1
4、方法提升:利用导数证明不等式是近几年高考中出现的一种热点题型。
其方法可以归纳为“构造函数,利用导数研究函数最值”。
五、导数在实际问题中的应用问题:
[例5].在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B 处,乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站C ,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元,问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省?
[命题意图]:学习的目的,就是要会实际应用,本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以及能力.
[知识依托]:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
[错解分析]:本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.
[技巧与方法]:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系.
解法一:根据题意知,只有点C 在线段AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设C 点距D 点x km,则
∵BD =40,AC =50-x ,
∴BC =BD 2+CD 2=x 2+402
又设总的水管费用为y 元,依题意有:
y =30(5a -x )+5a x 2+402 (0<x <50)
y ′=-3a +5ax
x +4022, 令y ′=0,解得x =30
在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义,
函数在x =30(km)处取得最小值,此时AC =50-x =20(km)
∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
解法二:设∠BCD =Q , 则BC =404040π, CD =,(0<θ<), ∴AC =50- sin θ2tan θtan θ
设总的水管费用为f (θ), 依题意,有
4040)+5a · sin θtan θ
5-3cos θ=150a +40a · sin θ
(5-3cos θ) '⋅sin θ-(5-3cos θ) ⋅(sinθ) '3-5cos θ=40a ⋅∴f ′(θ)=40a · sin 2θsin 2θf (θ)=3a (50-
令f ′(θ)=0,得cos θ=3 5
343时,函数取得最小值,此时sin θ=, ∴tan θ=, 554根据问题的实际意义,当cos θ=
∴AC =50-40=20(km), tan θ
即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
5、方法提升:
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义. ⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值比较.
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
六.求参数的值或范围问题:
[例6].(2005年. 湖北)已知向量a =(x , x +1), b =(1-x , t ), 若函数f (x ) =a ⋅b 在区
间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.
解法1:依定义f (x ) =x (1-x ) +t (x +1) =-x +x +tx +t , 2322
, 则在(-1, 1) 上可设f '(x ) ≥0. 则f '(x ) =-3x 2+2x +t . 若f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数
∴f '(x ) ≥0⇔t ≥3x 2-2x , 在区间(-1,1) 上恒成立, 考虑函数g (x ) =3x 2-2x ,
1由于g (x ) 的图象是对称轴为x =, 开口向上的抛物线,故要使t ≥3x 2-2x 在区间3
(-1,1)上恒成立⇔t ≥g (-1), 即t ≥5.
而当t ≥5时, f '(x ) 在(-1, 1) 上满足f '(x ) >0, 即f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数.
故t 的取值范围是t ≥5.
解法2:依定义f (x ) =x 2(1-x ) +t (x +1) =-x 3+x 2+tx +t ,
f '(x ) =-3x 2+2x +t .
若f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数, 则在(-1, 1) 上可设f '(x ) ≥0.
f '(x ) 的图象是开口向下的抛物线,
∴当且仅当f '(1) =t -1≥0, 且f '(-1) =t -5≥0时
f '(x ) 在(-1, 1) 上满足f '(x ) >0, 即f (x ) 在(-1, 1) 上是增函数.
故t 的取值范围是t ≥5.
6、方法提升:这种类型往往是已知函数的单调性,通过逆向思维,判断导函 数的符号,再求参数的值或范围.
七. 综合型问题:
32[例7].(2005年. 湖南. 文) 设t ≠0,点P (t ,0)是函数f (x ) =x +ax 与g (x ) =bx +c
的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线.
(Ⅰ)用t 表示a ,b ,c ;
(Ⅱ)若函数y =f (x ) -g (x ) 在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围.
解:(I )因为函数f (x ) ,g (x ) 的图象都过点(t ,0),所以f (t ) =0,
322 即t +at =0. 因为t ≠0, 所以a =-t . g (t ) =0, 即bt +c =0, 所以c =ab .
又因为f (x ) ,g (x ) 在点(t ,0)处有相同的切线,所以f '(t ) =g '(t ). 22而f '(x ) =3x +a , g '(x ) =2bx , 所以3t +a =2bt . 2323将a =-t 代入上式得b =t . 因此c =ab =-t . 故a =-t ,b =t ,c =-t . (II )解法一:
y =f (x ) -g (x ) =x 3-t 2x -tx 2+t 3, y '=3x 2-2tx -t 2=(3x +t )(x -t ) .
当y '=(3x +t )(x -t )
由y '0, 则-t t
由题意,函数y =f (x ) -g (x ) 在(-1,3)上单调递减,则
t t t (-1, 3) ⊂(-, t ) 或(-1, 3) ⊂(t , -). 所以t ≥3或-≥3. 即t ≤-9或t ≥3. 333
又当-9
所以t 的取值范围为(-∞, -9]⋃[3, +∞).
解法二:y =f (x ) -g (x ) =x 3-t 2x -tx 2+t 3, y '=3x 2-2tx -t 2=(3x +t )(x -t ) 因为函数y =f (x ) -g (x ) 在(-1,3)上单调递减,
且y '=(3x +t )(x -t ) 是(-1,3)
⎧y '|x =-1≤0, ⎧(-3+t )(-1-t ) ≤0. 上的抛物线,所以⎨ 即⎨解得t ≤-9或t ≥3. 'y |≤0. ⎩x =3⎩(9+t )(3-t ) ≤0.
所以t 的取值范围为(-∞, -9]⋃[3, +∞).
7、方法提升:这种类型往往要求学生熟悉导数的各个知识点,以及各个注意点,对题
目进行整体分析。
总之,导数作为一种工具,在解决数学问题时使用非常方便,尤其是可以利用导数来解决函数的单调性,极值以及切线问题。在导数的应用过程中,要加强对基础知识的理解,重视数学思想方法的应用,达到优化解题思维,简化解题过程的目的,更在于使学生掌握一种科学的语言和工具,进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。希望以上内容能帮助2010届高三毕业生对导数有所认识。