八年级轴对称专题课讲义

轴对称

【知识梳理】

一、轴对称与轴对称图形的区别与联系：

二、轴对称的性质：

1. 关于某条直线对称的两个图形是_________。（全等图形一定轴对称吗？） 2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。 3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。

【典型题型】

轴对称、中心对称题型的识别：

例1、（2010•兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有（ ）个．

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数： （1）直线 _______ （2）线段 _______ （3）角 _______ （4）圆 _______

（5）等腰三角形 _______ （6）等边三角形 _______

作已知图形的轴对称图形

例2、（2009 四川眉山，19）在3 3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。

练习2、画出以下图形的轴对称图形:

轴对称的概念和性质应用

例3、下列命题中, 说法正确的是( )

A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形

B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形 C 关于某直线对称的两个三角形全等

D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等

练习3、1、下列说法中, 正确的有（ ） （1）. 两个关于某直线对称的图形是全等形;

（2）两个图形关于某直线对称, 对称点一定在直线两旁;

（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴; （4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

图形的“折叠”问题

例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．

E E D A D A D A

C C B C B F 'F

图③ 图④ 图⑤

练习4、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图) ，则着色部分的面积为（ B

(A) 8 (B)

11

2

(C) 4 (D)

5 2

A

E

（第11题）

利用对称轴解决几何最值问题

例5、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km和2 km， AB= a km（a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km ）（其中BP ⊥ l于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB（km ）（其中点与点A 关于l 对称，B 与l 交于点P ）．

观察计算

（1）在方案一中，d1= ___________km（用含a 的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km（用含a 的式子表示）．

练习5、如图, 正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN的最小值为__________________。

全等三角形解题能力提升

1. 全等三角形的性质

（1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。

2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。 （3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2. 全等三角形的五种判定公理：

（1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS ）；

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角边”（SAS ）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA ）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS ）； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL ） 一、挖掘“隐含条件”判全等

【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件 1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC ≌△DCB 吗? 说说理由

二、添条件判全等 【提示】：添加条件的题目. 首先要找到已具备的条件, 这些条件有些是题目已知条件 , 有些是图中隐含条件. 如图，已知AD 平分∠BAC ，

要使△ABD ≌△ACD ，需要哪些条件？

三、熟练转化“间接条件”判全等

如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB ，DF=BE，△AFD 与△ CEB 全等吗？为什么？

四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线

如图3，AB=AC，∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC

A

1O

2

B C

图3

构造全等三角形的主要方法

常见的构造三角形全等的方法有以下三种：

①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；

②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形； ③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形； （1）利用中点（中线）构造全等

若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例1：如图，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。

（2）利用角平分线构造全等

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例2：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB，AB>AD。 求证：∠B+∠ADC=180°。

（3）用“截长补短”法构造全等

证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例3：如图甲，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB 。 求证：CD=AD+BC。