二阶常微分方程解
第七节 二阶常系数线性微分方程
的解法
在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。
§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法
设给定一常系数二阶线性齐次方程为
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝0 (7.1)
dx dx
其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，
d y dy
从方程的形式上来看，它的特点是2，，y 各乘
dx dx
以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，
2
d 2y dy
其2，，y 之间只相差一个常数因子，这样的函
dx dx
数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y＝e
(其中r 为待定常数) 来试解
rx
dy d 2y rx 2rx
将y ＝e ，＝re ，2＝r e 代入方程(7.1)
dx dx 2rx rx rx
得 re ＋pre ＋qe ＝0
rx
或 erx （r 2＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程
r2＋pr ＋q ＝0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。
特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。
(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时e
r １x
2
，e 是方程(7.1)的两个特解。
r2x
e r 1x
因为 r 2x ＝e (r 1-r 2) x ≠常数
e
所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为 y ＝C 1e ＋C 2e
(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即
-p
有r 1＝r 2＝，这样只能得到方程(7.1)的一个特
2
y 2r １x
解y １＝e ，因此，我们还要设法找出另一个满足≠
y 1
y 2y 2
常数，的特解y 2，故应是x 的某个函数，设＝u ，
y 1y 1
r1x
r2x
其中u ＝u(x)为待定函数，即 y2＝uy 1＝ue r １x
对y 2求一阶，二阶导数得
dy 2du r1x du r1x
＝e ＋r １ue ＝(＋r 1u)e r1x
dx dx dx
2
du d 2y 2d u r1x 2
2＝(r１u ＋2r 1＋2)e
dx dx dx
将它们代入方程(7.1)得
du d u r1x du r1x
(r1u ＋２r 1＋2)e ＋p(＋r 1u)e ＋
dx dx dx
r1x
que ＝0
2
2
或
du d 2u
［2＋(2r1＋p) ＋(r２１＋pr 1＋q)u ］e r1x
dx dx
＝0
因为e ≠0，且因r 1是特征方程的根，故有r １＋
p
pr １＋q ＝0，又因r 1＝－故有2r 1＋p ＝0，于是上式
2
成为
r1x
２
d 2u
2＝0
dx
d 2u
显然满足2＝0的函数很多，我们取其中最简单
dx
的一个 u(x)＝x
则y 2＝xe rx 是方程(7.1)的另一个特解，且y 1，y 2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是 y＝C 1e ＋C 2xe ＝(C1＋C 2x)e
(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1＝α＋i β，r 2＝α－i β 此时方程(7.1)有两个特解 y1＝e (α＋i β)x y2＝e （α－i β）x 则通解为 y＝C 1e
（α＋i β）x r1x
r1x
r1x
＋C 2e
（α－i β）x
其中C 1，C 2为任意常数，但是这种复数形式的解，
在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式
eix ＝cosx ＋isinx ，e －ix ＝cosx －isinx
1
有 (eix ＋e －ix ) ＝cosx
2
1
(eix －e －ix ) ＝sinx
2i 11αx i βx －i βx αx
(y1＋y ２) ＝e (e＋e ) ＝e cos βx
2211αx i βx
(y1－y 2) ＝e (e－e －i βx ) ＝e αx sin βx
2i 2i
11
由上节定理一知， (y1＋y 2) ， (y1－y 2) 是方程
2i 2
αx αx
(7.1)的两个特解，也即e cos βx ，e sin βx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为
y＝C 1e cos βx ＋C 2e sin βx 或 y＝e αx (C1cos βx ＋C 2sin βx)
其中C 1，C 2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下
αx
αx
例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解
dy d 2y
(1) 2＋3－１０y ＝0
dx dx
dy d 2y
(2) 2－4＋4y ＝0
dx dx
dy d 2y
(3) 2＋4＋7y ＝0
dx dx
解 (1)特征方程r 2＋3r －10＝0有两个不相等的实根
r1＝－5，r 2＝2
所求方程的通解 y＝C 1e －5r ＋C 2e 2x (2)特征方程r －4r ＋4＝0，有两重根 r1＝r 2＝2
所求方程的通解y ＝(C1＋C 2x)e 2x (3)特征方程r 2＋4r ＋7＝0有一对共轭复根 r1＝－2＋i r2＝－2－i
2
所求方程的通解 y＝e
－2x
(C1cos 3x ＋C 2sin 3x)
§7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法
由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝f(x) (7.3)
dx dx
的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。 方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。 一、f(x)＝p n (x)eαx ，其中p n (x)是n 次多项式，我们先讨论当α＝0时，即当 f(x)＝p n （x ）时方程
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝p n (x) (7.4)
dx dx
的一个特解。 (1)如果q ≠0，我们总可以求得一n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解 y ＝Q n (x)＝a 0x ＋a 1x
~
n
n －1
＋…＋a n ，其中a 0，a 1，…a n 是待定常数，将y 及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n 次多项式，比较两边x 的同次幂系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。
~
d 2y dy
例1. 求2＋＋2y ＝x 2－3的一个特解。
dx dx
解 自由项f(x)＝x 2－3是一个二次多项式，又q ＝2≠0，则可设方程的特解为 y ＝a 0x ＋a 1x ＋a 2 求导数 y ' ＝2a 0x ＋a 1 y " ＝2a 0
代入方程有2a 0x 2＋(2a0＋2a 1)x ＋（2a 0＋a 1＋2a ２）＝x －3比较同次幂系数
⎧2a 0=1
1⎪
⎨2a 0+2a 1=0 解得 a 1=-
2⎪2a +a +2a =-3
⎩012
7a 2=-
4
~
1217
所以特解y ＝x －x －
224
(2)如果q ＝0，而p ≠0，由于多项式求导一次，其
2
~
2
~
~
1a 0=
2
次数要降低一次，此时y ＝Q n (x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1) 次多项式所满足，此时我们可设 y ＝xQ n (x)＝a 0x n ＋1＋a 1x n ＋…＋a n x
代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a 0，a 1，…a n 。
~
~
dy d 2y 2
例2. 求方程2＋4＝3x ＋2的一个特解。
dx dx
2
解 自由项 f(x)＝3x ＋2是一个二次多项式，又q ＝0，p ＝４≠0，故设特解 y ＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x 求导数 y ' ＝3a 0x ＋2a 1x ＋a 2 y " ＝6a 0x ＋2a 1 代入方程得
12a 0x 2＋（8a 1＋6a 0）x ＋（２a 1＋4a 2）＝3x 2＋2，比较两边同次幂的系数
⎧12a 0=3
3⎪
⎨8a 1+6a 0=0 解得 a 1=-
16⎪2a +4a =2
⎩12
19a 2=
32
~
~
~
2
1a 0=
4
133219
所求方程的特解 y ＝x －x ＋x
41632
d 2y
(3)如果p ＝0，q ＝0，则方程变为2＝p n (x)，此
dx
时特解是一个(n＋2) 次多项式，可设
~
y ＝x Q n (x)，代入方程求得，也可直接通过两次积
~
2
分求得。
下面讨论当α≠0时，即当f(x)＝p n (x)e时方程
αx
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝p n (x)eαx (7.5)
dx dx
的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子e αx ，如果能通过变量代换将因子e αx 去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y ＝ue αx ，其中u ＝u(x)是待定函数，对y ＝ue ，求导得
dy αx du αx
＝e ＋αue dx dx
2
d 2y d u αx αx du 2αx
求二阶导数 2＝e ＋2αe ＋αue 2
dx dx dx
代入方程(7.5)得
αx
du du d 2u 2αx
e［2＋2α＋αu ］＋pe ［＋αu ］＋
dx dx dx
αx αx
que ＝p n (x)e
αx
消去e 得
αx
du d 2u
2＋(2α＋p) ＋(α2＋p α＋q)u ＝p n （x ）
dx dx
(7.6)
由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：
(1)如果α2＋p α＋q ≠0，即α不是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的根，则可设(7.6)的特解u ＝Ｑn (x)，从而可设(7.5)的特解为 y ＝Q n (x)eαx
(2)如果α＋p α＋q ＝0，而２α＋p ≠0，即α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的单根，则可设(7.6)的特解u ＝xQ n (x)，从而可设(7.5)的特解为 y ＝xQ n (x)e αx
(3)如果r 2＋p α＋q ＝0，且２α＋p ＝0，此时α是特征方程r 2＋pr ＋q ＝0的重根，则可设(7.6)的特解u ＝x Q n (x)，从而可设(7.5)的特解为 y ＝x Q n (x)eαx
例3. 求下列方程具有什么样形式的特解
~
2
2
2
~
~
dy d 2y
(1)2＋5＋6y ＝e 3x
dx dx
dy d 2y
(2) 2＋5＋6y ＝3xe －2x
dx dx
dy d 2y
(3) 2＋α＋y ＝－(3x2＋1)e －x
dx dx
解 (1)因α＝3不是特征方程r 2＋5r ＋6＝0的根，故方程具有形如
y ＝a 0e 3x 的特解。
~
(2)因α＝－2是特征方程r ＋5r ＋6＝0的单根，故方程具有形如
y ＝x(a0x ＋a 1)e －2x 的特解。
(3)因α＝－1是特征方程r ＋2r ＋1＝0的二重根，所以方程具有形如
y ＝x 2(a0x 2＋a 1x ＋a ２)e －x 的特解。
~
2
2
~
d 2y
例4. 求方程2＋y ＝(x－2)e 3x 的通解。
dx
解 特征方程 r２＋1＝0
d 2y
特征根 r＝±i 得，对应的齐次方程2＋y ＝0
dx
的通解为
Y＝C 1 cos x ＋C ２ sin x
由于α＝3不是特征方程的根，又p n (x)＝x －2为一次多项式，令原方程的特解为
y ＝(a0x ＋a 1)e 3x
此时u ＝a 0x ＋a 1，α＝3，p ＝0，q ＝1，求u 关于x
~
du d 2u
的导数＝a 0，2＝0，代入
dx dx
du d 2u 2
＋(２α＋p) ＋(α＋αp ＋q)u ＝(x－2) 2
dx dx
得：
10a0x ＋10a 1＋6a 0＝x －2 比较两边x 的同次幂的系数有
⎧10a 0=1113 ⎨ 解得 a0＝，a 1＝－
1050⎩10a 1+6a 0=-2于是，得到原方程的一个特解为
~
1133x
y ＝(x －)e
1050
所以原方程的通解是
~
113
y＝Y ＋y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋（x －）e 3x
1050
dy d 2y ２－x
例5. 求方程2－2－3y ＝(x＋1)e 的通
dx dx
解。
解 特征方程 r2－2r －3＝0 特征根 r1＝－1，r 2＝3
dy d 2y
所以原方程对应的齐次方程2－2－3y ＝0的
dx dx
通解Y ＝C 1e －x ＋C 2e 3x , 由于α＝－1是特征方程的单根，又p n (x)＝x 2＋1为二次多项式，令原方程的特解 y ＝x(a0x 2＋a 1x ＋a 2)e －x
此时 u＝a 0x 3＋a 1x 2＋a 2x ，α＝－1，p ＝－2，q ＝－3
对u 关于x 求导 du 2
＝3a 0x ＋2a 1x ＋a 2
dx
2d u
2＝6a 0x ＋2a 1
dx
du d 2u
代入2＋(2α＋p) ＋(α2＋pr ＋q)u ＝x 2＋1，
dx dx
得
－12a 0x ＋(6a0－8a)x ＋2a 1－4a ２＝x ＋1比较x 的同次幂的系数有
2
2
~
⎧-12a 0=1⎪1⎪
⎨a 0=-
12⎪
⎪⎩6a 0-8a 1=0
1
a 1=-
16
解得 2a 1-4a 0=0
9a 2=-
32
故所求的非齐次方程的一个特解为
x x 2x 9－x
y ＝－ (＋＋)e
4483
~
二、f(x)＝p n (x)ecos βx 或p n （x ）e sin βx ，即求形如
αx αx
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝p n (x)eαx cos βx
dx dx
(7.7)
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝p n (x)eαx sin βx
dx dx
(7.8)
这两种方程的特解。
由欧拉公式知道，p n （x ）e αx cos βx ，p n (x)eαx sin x 分别是函数p n (x)e（α＋i β）x 的实部和虚部。 我们先考虑方程
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝p n （x ）e （α＋i β）x
dx dx
(7.9)
方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。
由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的一个特解。
注意到方程(7.9)的指数函数e
（α＋i β）x
中的α＋i β
(β≠0) 是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以α＋i β最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为Q n (x)e（α＋i β）x 或 x Ｑn (x)e（α＋i β）x 。
d y x
例6. 求方程2－y ＝e cos2x 的通解。
dx
解 特征方程 r2－1＝0 特征根 r1＝1，r 2＝－1
于是原方程对应的齐次方程的通解为 Y＝C 1e ＋C 2e
为求原方程的一个特解y 。
~
x
－x
2
d 2y
先求方程2－y ＝e （１＋2i ）x 的一个特解，由于1
dx
＋2i 不是特征方程的根，且p n (x)为零次多项式，故可设u ＝a 0，此时α＝(1＋2i) ，p ＝0，q ＝－1代入方程
du d 2u 2
＋(2α＋p) ＋(α＋αp ＋q)u ＝1 2
dx dx
得［（１＋2i ）2－1］a 0＝1 ，即(4i－4)a 0＝1，得
11 a0＝＝－ (i＋1)
4(i 1) 8
d 2y （１＋2i ）x
这样得到2－y ＝e 的一个特解
dx
1
y＝－ (i＋1)e （１＋2i ）x
8
由欧拉公式
1
y ＝－ (i＋1)e （１＋2i ）x
81
＝－ (i＋1)e x (cos２x ＋isin2x)
81x
＝－e ［（cos2x －sin2x ）＋i(cos2x＋sin2x) ］
8
取其实部得原方程的一个特解
~
1x
y ＝－e (cos２x －sin2x)
8
故原方程的通解为
~
1x x －x
y＝Y ＋y ＝C 1e ＋C 2e －e (cos2x－sin2x)
8
2d y 3x
例7. 求方程2＋y ＝(x－2)e ＋xsinx 的通
dx
解。
解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别
d 2y
求2＋y ＝0的特解Y ， dx
~
d 2y 3x
2＋y ＝(x－2)e 的一个特解 y 1，
dx 2~d y
2＋y ＝x sin x 的一个特解 y 2
dx
然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有
1133x
Y＝C 1cosx ＋C 2sinx ， y 1＝(x －)e
1050
~
下面求 y 2，为求 y 2先求方程
~~
d y ix
2＋y ＝xe
dx
由于i 是特征方程的单根，且p n （x) ＝x 为一次式，故可设u ＝x(a0x ＋a 1) ＝a 0x 2＋a 1x ，此时 α＝i ，p ＝0，q ＝1，对u 求导
2
du d 2u
＝2a 0x ＋a 1，2＝2a 0
dx dx 代入方程
du d 2u
2＋(2α＋p) ＋(α2＋p α＋q)u ＝x
dx dx
得 2a０＋2i(2a0x ＋a 1) ＋0＝x 即 4ia0x ＋2ia 1＋2a 0＝x 比较x 的同次幂的系数有：
11a 0==-
4ia =1⎧04i 4
⎨ 得
1⎩2ia 1+2a 0=0a 1=4
d 2y
即方程2＋y ＝xe ix 的一个特解
dx ~
i 21ix
y ＝(－x ＋x)e
44i 21
＝(－x ＋)(cosx＋isinx)
44
121121
＝(x sinx ＋xcosx) ＋i(－x cosx ＋xsinx)
4444
~
121
取其虚部，得y 2＝－x cos x ＋x sin
44
x
所以，所求方程的通解y ＝Y ＋y 1＋y 2
~
~
113３x 1２
＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋(－)e －x cosx ＋
41051
xsinx 4
综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程
dy d 2y
2＋p ＋qy ＝f(x)
dx dx
当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解
y 可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：
~
以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。
例8. 求y ＋3y ″＋3y ′＋y ＝e 的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为
r3＋3r 2＋3r ＋1＝0 r1＝r 2＝r 3＝－1 所求齐次方程的通解Y ＝(C1＋C 2x ＋C 3x 2)e －x 由于α＝1不是特征方程的根
x
1因此方程的特解y ＝a 0e 代入方程可解得a 0＝
8
~
x
故所求方程的通解为y ＝Y ＋y ＝(C1＋C 2x ＋C 3x )e
~
2－x
1x
＋e 。 8
§7.3 欧拉方程
下述n 阶线性微分方程
n n -1d y d y n n －1n －1dy a0x n ＋a 1x ＋…＋a x ＋a n y ＝f(x)n -1
dx ax dx
称为欧拉方程，其中a 0，a 1，…a n 都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。 对于二阶欧拉方程
a2
d 2
y dy 0x dx
2＋a 1x dx ＋a 2y ＝f(x) (7.10)
作变量替换令x ＝e t ，即t ＝ ln x 引入新变量t ，于是有 dy dy dt dx ＝dt dx ＝
dy 11dy
dt x ＝x dt
d 2y
d 1dy 1d dy dy d dx
2＝dx (x dt ) ＝x dx (dt ) ＋dt dx ＝1d 2y dt 1x dt 2
dx －dy x 2dt 1d 2 ＝y 1dy x 2dt 2－x 2dt
代入方程(7.10)得
2
ad y dy dy t
0(dt
2－dt ) ＋a 2dt ＋a 1y ＝f(e)
1x )
(
1d 2y a 2 a 0dy a 1t
即 2＋＋y ＝f(e)
a 0dt a 0a 0dt
它是y 关于t 的常系数线性微分方程。
1dy d y
例9. 求x 2＋x ＝6lnx －的通解。
x dx dx
解 所求方程是二阶欧拉方程
2
2
作变换替换，令x ＝e t ，则 dy 1dy ＝
dx x dx
1d 2y 1dy d 2y
2＝22－2
x dt x dt dx
代入原方程，可得
d 2y
2＝6t －e －t
dt
两次积分，可求得其通解为 y＝C 1＋C 2t ＋t 3－e －t
代回原来变量，得原方程的通解
1
y＝C 1＋C 2lnx ＋(lnx)3－
x
第八节 常系数线性方程组
前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多个未知函数的常微分方程组。本节只讨论常系数线性方程组，并且用代数的方法将其化为常
系数线性方程的求解问题。下面以例说明。 例1. 求方程组
⎧dx t
-x -2y =e ⎪dt
⎨
dy
⎪-4x -3y =0⎩dt
(1)
的通解。
(2)
解 与解二元线性代数方程组中的消元法相类似，我们设法消去一个未知函数，由(1)得
1dx
y＝ (－x －e t ) (3)
2dt
将其代入(2)得
1d 2x dx 3dx t t
(2－－e ) －4x － (－x －e ) ＝0
2dt 2dt dt 化简得
dx d 2x
2－4－5x ＝－2e t
dt dt
它是一个二阶常系数非齐次方程 1t
它的通解为 x＝C 1e ＋C 2e ＋e
41t 5t －t
代入(3)得 y＝2C 1e －C 2e －e
2
即所求方程组的通解为
1t ⎧5t -t
x =C 1e +C 2e +e ⎪⎪4 ⎨
⎪y =2C 1e 5t -C 2e -t -1e t ⎪⎩2
5t
－t
例2. 求解方程组
⎧dx dy
⎪2dt +dt =t -y ⎨
dx dy ⎪+=x +y +2t ⎩dt dt
(1)
的通解
(2)
dy
解 为消去y ，先消去，为此将(1)－(2)得
dt
dx
＋x ＋2y ＋t ＝0
dt
1dx
即有 y＝－ (＋x ＋t) (3)
2dt
代入(2)得
1dx dx 1d dx
－ (＋x ＋t) －x ＋ (＋x ＋t) －
2dt dt 2dt dt
2t ＝0
dx d x
即 2－2＋x ＝3t －1
dt dt
这是一个二阶常系数线性非齐次方程，解得 x＝C １e t ＋C 2te t －3t －7
1t
代入(3)得 y＝－C 1e －C ２(＋t)e t ＋t ＋５
2
所以原方程组的通解为
⎧x =C 1e t +C 2te t -3t -7⎪ ⎨ 1t t
y =-C 1e -C 2(+t ) e +t +5⎪⎩2
2