关于引力场方程的修正及宇宙和星系的演化方式

关于引力场方程的修正及宇宙和星系的演化方式

杨建亮(Email [email protected]) 通讯地址: 河南省淮阳公安局266700

摘要：本文首先指出席瓦西度规的不足之处, 进而提出对爱因斯坦引力场方程的修正，进一步完善和巩固了广义相对论基础。合理地消除了宇宙学中长期困惑的难题，比如平坦性疑难视界疑难及暗能量和宇宙常数问题。证明了星系质量是逐步变大的 . 另外不但从理论上证明了宇宙是无限而震荡的 , 解决了时间的开端和物质的起源问题，而且通过简洁系统地计算把宇宙年龄的理论值确定为135亿年左右， 与目前的观测值高度相符。最后进一步指出了宇宙不可能加速膨胀及黑洞存在的不可能性。以上的这些讨论意味着引力理论和宇宙学将进入新的健康的发展轨道。

关键词： 背景坐标 ；不变间隔 ；测地线 ；标准坐标

Abstract : In the article , the error of Einsteinian equation has been corrected .And some problems in the cosmology , for example horizon puzzle and flatness puzzle and issue of cosmological constant , have been solved reasonably , and the cosmos has been proved infinite theoretically , the radius of any star has

1been proved more than its “horizon” , and the age of cosmos is confirmed as 0.88H0 which highly

corresponds to current measurement

Key words : background coordinates; invariant interval; geodesics; standard coordinates

一、问题的提出

从广义相对论我们知道，一个粒子在静态的球对称的引力场中自由运动时，它在源外的具有物理意义的不变间隔的一般形式为

ds2[1(2GMlc2)]c2dt2[1(2GMlc2)]dl2l2(d2sin2d2) （1）

其中llr，是r的任意函数，要求当r时，lrr。而r ,,是物理坐标或称背景时空坐标，l，，为标准坐标 [1] ，其l一般地说没有直接的测量意义。如果令lrr，那么（1）就是席瓦西形式，我们平时在实践当中实际上使用的就是这一形式。利用这一形式，不难通过直接计算可知道在远离源处，当粒子沿径向运动时，它的测地方程的径向分量退化

1

d2rGM

2为下式 dt2r

3vr2

120，其中vr为粒子的径向速度。这方程预言了粒子的速度大

c

于时加速度变号，即吸引变排斥，这显然不符合实际。另外也很容易发现这一方程在描述粒子高速运动时与广义相对论的基本假设不符，即与引力质量等于惯性质量的假设不符。因为符合相对论性的引力质量等于惯性质量的动力学方程是

ddrmGM

m 2

dtdtr

d2rGM

2即 * dt2r

vr2

120 （2） c

其中m为粒子的相对论运动质量。以上的讨论说明了席瓦西形式存在有一定的不足之处。 容易看出若使沿径向运动的粒子的测地线方程在远离源处能够退化为（2）， 那么（1）中的l和r的关系应满足如下方程

dldr 令k

(3) 2GM

, 为了保证l是r的连续函数（0r），当rk时, 必须有lk。因此 c2

这一方程的解可写作下边两式：在rk的区域，其解的形式为

在rk的区域 ，其解形式为



；



， 跟据此解的特征可看出当r时, lrr。 这时等式（1）可进一步被具体化为

ds2[1(2GMlc2)]c2dt2[1(2GMrc2]dr2l2(d2sin2d2) （4）

我们知道，测地线方程的一般形式为

v

d2xudx10dxvdxdxuudx ...0 dt2vdtdtcvdtdtdt

其中重复指标代表求和。由此可知，沿径向运动的粒子的测地线方程的径向分量为

kvr2kvr2d2rc2kdldl

0 2222dt2l1krdr2r1krl1kldr

显然在远离源处它退化为（2）, 因为此时有

lr , dldr1 。

我们应当注意席瓦西形式和（4）只是径向标准不同，因此所描述的轨道进动角是同样的（见

彭桓武书，理论物理基础p583 ）。其实我们也不难通过直接的计算来验证用（4）描述的其它情况也完全符合目前的任何观测。例如跟据(4)可得出光线在太阳表面的偏角为

原来计算的为4MGR1.75 ， 实测的平均值为1.89'' 。4MGl1.79'' ，

其中的l6.9610km82km为在太阳表面的值，可由（3）的解算出。在地球的表面，同样算出l

5

learthRearth0.00019km6371km0.00019km ，因此地表的重力加速度

GM6.675.9771013

g29.822m/s ，与实验完全相符。 由此可见（4）不但包括

l(63710000.19)2

了席瓦西形式的全部成功的结论，而且避开了它的所有缺点。因此（4）更正确。

二 . 引力场方程的修正

等式(4) 的存在暗示引力场方程右边的系数需要变更。我们现在就来重新确定爱因斯坦方程中的系数, 设Ruv

12

(pc)UuUvpguv 。 guvRTuv ，其中 Tuv2

我们知道在直角坐标系里，在弱场的情况下，即guvhuvuv ，h001的情况下，当忽略去o(h)后，爱因斯坦张量 Ruv

2

1uv

Rg 的协变散度为零转化为普通散度为零 [2] ，因此2

uvv

物质的能动张量也必须相应地满足 0T

uv



Tuv,v

当忽略o(h)后,

2

11

Ruv,uv,huv,,(h,u,vhu,,vhv,,u)

22



h,u,vhu,,vhv,,u0 (5)

所以不妨设

2

2huv1c2pp

因此 huv222(TuvTuv)2[()UuUvuv]

cct22

(c23p)(c2p)dx'dy'dz'

所以有 h00 dxdydz , hjj44rr'

其积分号内的各项取时刻t't

rr'

的值 , 逗号表示普通导数。应注意上面的推迟

解是引力源在一般运动情况下的解。因此为了使静态的球对称的引力源外的度规在弱场情况下满足 g111

4

2GM2GM

，， g10022

rcrc

需要4Gc, 同时在rr0(源半径)的区域，存在0(即 注意到p ,

2pcdxdydz

rrdxdydz

rr ，

rr （6）

M另外从。

p

)dxdydzc2

z, 及guv仅是半径 r的函数，所以pc2dxdyd

0TuvvTuv,vo(h2) ，可得出

dpp

0 ，或 0 。对于静态的度规场，h0j0, 这jdrx

是时间反演对称性的要求, 也是和 (2) 一致的。所以从（5）可解得

1xjxi222ij

hji[(i2)(hh)]dxdx1100j2k24(x)(x)(x)

ij,ik,jk , i,j1,2,3 。由于

2

p

0 , 容易验证 jx

hij 满足

1xjxi2222ij

hji[()(hh)]dxdx0 . 1100i2j2k24(x)(x)(x)

对于非静态情况，一般地说h0j0，其hji可作相似的求解，这里不一一而论。特别地，

如果是均匀的 ，我们有

pc2, 请注意, 这结果对于宇宙学的研究是非常重要的 .

以上的讨论过程虽是在直角坐标系内进行的, 但按照广义协变原理的要求, 在任意坐标系内引力场方程均可改写为

Ruv



1

Rguv2

4Tuv

c

(7)

显然地（1）或（4）同样满足（7）。以往在源内是弱场情况下把压强p当成零是一种错觉。而且在物质密度均匀时，压强pc。这说明连续分布的物质 , 不可能没有作用。当然在源外p仍然为零, 否则（1）和（4）都不会存在。下面转到自然单位制，设c=1

2

三 、修改后的场方程在宇宙学中的应用

2

22222r2sin2d2]，代入（7）可得 设R-W 度规形式为 dsdtR(t)[2rd

1kr



dR(t)

2

k

4G

R2(t) （8） 3

由于总是正的，所以k一定是负的，这就轻而易举地证明了宇宙是无限的。另外由于

vu0(nU)v0 , ， ， ()0TUUux

所以有 pd()d

（9） ) 0

其中n是粒子(星系)数密度。值得注意的是，(9) 是与坐标无关的标量方程。另外我们又知道

当今的宇宙很平坦, 这相当于宇宙空间存在弱的度规场，对于大尺度的宇宙，p和都应是均匀的，因此须用弱场条件p。对于膨胀着的宇宙，d()总是大于零，所以 d(



)必大`

于零，即单粒子质量不断增加。这暗示宇宙在膨胀过程中物质不断产生，星系大小及其结构是按照质量增加的方式逐步演化而成的。把弱场条件p代入（9）可得const，由此可知宇宙只所以长期平坦原因正是如此，它在膨胀的过程中密度不变，此结论完全符合观测。以往在方程d(R)3PR(t)dR中令p等于零 [3] ，得出R(t)const，这不可避免地导致很快趋于零与事实不附，同时在计算宇宙年龄时又须承认R(0)0，必然导致(0)，从而p又不能为零，因此理论前后矛盾 。 另外从const

3

2

3

Nm(t)

, N是一比例系数, ，可得星系质量的演化方式

4R3(t)

m(t1)m(t2)

3 (10) 3

R(t1)R(t2)

现在我们来计算宇宙的年龄。跟据（8）可得 

3

[(kR2)H2(t)] 4G

2

其中H 是哈萡常数。把它用于今天，不妨设k1，那`么R0H00H0 ，其中



2



2

2

08GH0 ，又因是常数，如取今天的观测结果01，再令R(0)0，不难从（8）

得到

dt ， (11)

两边积分可得宇宙年龄

t0



H00

21

(R2H0/2)]2dR0.88H0

1

在1996年，有一组人利用星系的红移-距离关系定出[3]H0643kmsMpc ，把它代入上式可得到宇宙年龄t0(1.350.1)10年，即135亿年左右，此结果与目前的观测结果高度相符。 最近跟据超新星及其它宇宙婴儿期照片等观测事实，可以比较可靠地定出宇宙的年龄为

137亿年，误差不超1/100。以往计算的宇宙年龄理论值存在偏低或偏高现象， 也有些理论值虽与观测相符，但免不了东拼西凑地牵强附会。而宇宙并非无限膨胀下去，从（8）得

10

d2R4GR



dt23

因密度为常数，所以易解得R(t)Asin2(A是一正常数)，所以宇宙是无限而振

181010a，约一千八百亿年，现在已过了不到

十分之一。目前宇宙正在作减速膨胀，易求出其减速因子q02

有人认为目前宇宙正在作加速膨胀，这观点与宇宙年龄的计算是矛盾的，可作如下说明：从

R-W度规可知星系径向固有距离为

dpR(t)

因此它的固有加速度为



er

ed2RrdH(H2)dp

ap20

dtdte是星系的不变的径向坐标值。另一方面，目前宇宙的年龄一般计算作t其中r



H

的形式（

是一个对t依赖很不明显的正数），显然当大于1时，固有加速度大于零，当小于1时，固

有加速度小于零。跟据目前的理论和观测结果，是一个小于1的正数，因此固有加速度必小

d2R

于零，即宇宙目前正在作减速膨胀，相应地2小于零。至于早期宇宙中的元素形成和背景辐

dt

射形成问题很可能象大爆炸描述的那样，只须承认早期宇宙以高能粒子形式存在，密度未必是无穷大。而所谓的平坦性疑难和视界疑难在本文的理论框架里已不复存在。在此我们不过多评

述早期的宇宙情况。另外顺便指出关于黑洞是否存在的问题已是一目了然的了，由于席瓦西形式不适合描述高速实物粒子，它必须让位于（4）的形式，而（4）描述的情况在r2MGc以内, 作自由运动的粒子的测地线方程表现为斥力，因此任何天体的半径r02GMc，从而黑洞不可能存在。另一方面，从凯林方程可知，当球对称度规场与时间无关时，存在等式

2

2

(1

2GMdt

，把它与（4）结合可得 )E（E是任意常数）

lc2d

2GM22GM222GM (c2c2E2)(12)dt(2d) r

Ellcrcdr

由于lk时，rk，从而可以是任意的，这就进一步说明黑洞是不可能存在的。

dt

最后谈一下暗物质问题。目前的各种天文观测分明地显示出今天的宇宙学密度01或极接

近于1 。由于这一数值与我们能够看到的物质的密度差距很大，于是人们就设想宇宙间存在着神秘的暗物质，笔者认为这种看法目前还是不必要的。例如，在我们面前存在着的大量空气分子，我们也从没有看见过它们，但我们总不能因此说它们是暗物质。事时上，我们在地球上看到的仅是一些能发光的或较大的能反光的天体，对于大量的发光的或不发光的小天体我们是看不到的，这是完全可以理解的，我们没有足够的理由把这些目前还没有看见的物质想象成暗物质。一个显著的值得庆幸的例子就是人们在看到海王星之前没有把它当作暗物质。至于暗能量不过是压强的形式而已。

以上讨论，错误难免，敬请读者批评指正。

*

vr22ddrmGM

当粒子沿径向运动时, d0,d0, 由 m2 , mm0(12) ,

dtrcdt

2

d(1vr2c2)ddr

mm[v可引出 0r

dtdtdt

(1vr221

dv2r

]dt

2

vr2dvrdtc2222dvr222vrdvr222dvr[(1vc)(1vc)]m(1vc)m0 rr0r2222

(1vrc)dtcdtdt

d2rGMvr2(1vr2c2)2GM m0 . 这正是 22120

dtrcr2

参考资料

[1] 彭桓武，徐锡申．理论物理基础[M]．北京：北京大学出版社，1998：581-582． [2] 吴时敏．广义相对论教程[M]．.北京：北京师范大学出版社，1998：69-70． [3] 俞允强．热大爆炸宇宙学[M]．北京：北京大学出版社，2000 ：29 ,44．

附，文中部分公式推导

一 。关于文中（1）式的推导： 从广义相对论我们知道，在球坐标系中，球对称的度规场中的不

变间隔形式一般地可写作下式 dsg00r,tcdtg11r,tdrl

2

2

2

2

2

r,td2sin2d22g01(r,t)cdrdt

（关于这一形式的来历读者可进一步参考俞允强著>第二版p74-79）。这是一个以r,,，为球坐标的线元形式，这里的r指的是背景坐标系的失径大小, 即无限远处静止观察者测量的从坐标原点到场点的距离 。 对于静态，其时度规应与时间无关，且具有时间反演对称性, 所以应该取g010 。因此不变间隔形式可进一步简化为

ds2g00rc2dt2g11rdr2l2rd2sin2d2

另外如把rl(l)带入上式可得

1

ds2Blc2dt2Aldl2l2d2sin2d2

这是一个形式上以l,,为球坐标的线元形式，但l不具有直接的测量意义，在彭桓武等书上称l为标准坐标（见参考书[1]第14章） 。用此形式的度规代入广义协变的真空爱氏方程Ruv0，可得下边三个方程

B''B'A'B'B' ()0

2A4AABAl

B''B'A'B'A'

()0 2B4BABAllA'B'1

()10 2AABA

其中撇号表示对标准坐标l的导数。把第一式除B第二式除A然后相加得

AB'BA'0ABconst

因为在远处时空度规须还原为平直度规，所以必有limB(l)1,limA(l)1，因此A(l)

l

l

1

，B(l)

代入上边的第三个方程得B(l)1

2GM1

, ，这里ll(r)仍然是r的任意函A(l)2

2GMcl12cl

数，仅要求liml(r)r。

r

关于以上求解的更详细推导过程可参考[1]p581-582 , [2]p73-75,

d2rGM

二．关于席瓦西形式在远离源处的测地线方程退化为22

dtr

3vr2

120的推导。

c

在静态的球对称情况下，我们平时所用的席瓦西形式就是使lrr的形式，即把l当作真实半径看待。在处理某些情况时r和l可以不必区分，但在处理另一些情况时必须区分。比如在讨论粒子

的加速度问题时就要考虑r和l的区分，否则加速度的意义就不明确。在讨论比较强的度规场时也应区分它们的不同。黑洞就是因为没有认真地区别r和l之后才出现的奇异的东西



d2xuudxdx我们知道测地线方程的一般形式为0，其中重复指标代表求和。但在天体d2dd

力学中，求解加速度时我们常常用它的等效形式

v

d2xudx10dxvdxdxuudx

v.v..0 2

dtdtdtcdtdtdt

席瓦西形式的度规在远离源处成为 g001

2GM2GM222

,g1,gr,grsin 11223322

crcr

其它guv为零。.当粒子沿径向运动时有

11gugvguv1g11g11guv

g(v)() ，

2xxux2xvxur

1

uv0uv

g0010gugvguv1g

g(vu)(00) vu2xxx2xx

注意求和原则，可得

d2rGM3GMvr2121220

00c11vr2vr0122

dt2rrc2

2GMd2rGMGMvr2121220

顺便指出若有g1112,则有200c11vr2vr01222

crdtrrc

它正是代表相对论性的引力质量等于惯性质量的动力学方程。

以上这些推导可看[2]p132-141