赌博中的概率问题
赌博中的概率问题
(2011-06-17 12:12:33)
概率论的诞生，带着很多传奇色彩。可以说，概率论是“来路不正”的，因为概率论起源于赌博。
惠更斯在《论赌博中的计算》一书中说：“任何一个读者仔细观察就会发现，这不仅仅是一个赌博问题。”《论赌博中的计算》的出版，标志了概率论的诞生，而概率论在此后为科学技术、工农业生产所做出的贡献，充分证明了惠更斯的远见卓识。
有这样一道赌博问题，可以充分体现惠更斯的观点。
在某旅游景点，有人用20枚签设赌，其中10枚标有5分分值，10枚标有10分分值。游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖罚依据。具体奖罚金额如下：分值是50或100，奖100元；分值是55或95，奖10元；分值是60，65，85或90，不奖不罚；分值是70，75或80，罚1元。
总共11个分值，有奖有罚。其中有4个分值可以获奖，且最高奖额为100元；只有3个分值要受罚，而罚额仅为1元，很有吸引力吧？怪不得有些游客摩拳擦掌，跃跃欲试。那么，这些奖是不是这么好拿呢？让我们来进行一番计算。
以下计算过程中，C(n,k)表示n个中选k个的组合数（k≤n）。
用X表示奖罚金额，它可能取到－1、0、10、100这4个值。下面分别计算X取这4个值的概率。
从20枚签中抽取10枚的取法种数是N＝C(20,10)＝184756。
抽到70分，75分或80分，将被罚1元。抽到6个5分签，4个10分签，将得到70分；抽到5个5分签，5个10分签，将得到75分；抽到4个5分签，6个10分签，将得到80分。事件“罚1元”所包含的可能结果数K1＝C(10,6)×C(10,4)＋C(10,5)×C(10,5)＋C(10,4)×C(10,6)＝151704。
抽到60分，65分，85分或90分，不奖不罚。抽到8个5分签，2个10分签，将得到60分；抽到7个5分签，3个10分签，将得到65分；抽到3个5分签，7个10分签，将得到85分；抽到2个5分签，8个10分签，将得到90分。事件“不奖不罚”所包含的可能结果数K2＝C(10,8)×C(10,2)＋C(10,7)×C(10,3)＋C(10,3)×C(10,7)＋C(10,2)×C(10,8)＝32850。 抽到55分或95分，将得到10元奖励。抽到9个5分签，1个10分签，将得到55分；抽到1个5分签，9个10分签，将得到95分。事件“奖10元”所包含的可能结果数K3＝C(10,9)×C(10,1)＋C(10,1)×C(10,9)＝200。
抽到50分或100分，将得到100元大奖。抽到10个5分签，将得到50分；抽到10个10分签，将得到100分。事件“奖10元”所包含的可能结果数K4＝C(10,10)×C(10,0)＋C(10,0)×C(10,10)＝2。
知道了各种事件所包含的可能结果数，就能计算概率。
先来看罚钱的概率有多大？
P{X＝－1}＝K1/N＝151704/184756＝0.82110。
在11个可能出现的分值中，抽到罚1元的3个分值的概率竟高达82％以上。
再来看不奖不罚的概率有多大？
P{X＝0}＝K2/N＝32850/184756＝0.17780。
抽到不奖不罚的4个分值的概率为17.78％。抽到罚钱或不奖不罚的概率总和高达99.89％。 最后看得到奖励的概率有多大？
P{X＝10}＝K3/N＝200/184756＝1.0825×10－3。
P{X＝100}＝K4/N＝2/184756＝1.0825×10－5。
得到奖励的概率总和为0.11％，已经是小概率事件，而且其中大多数情况是得到10元奖励，
要得到100元奖励，希望就更渺茫了。
变量X的分布列如下：
P{X＝－1}＝0.82110，P{X＝0}＝0.17780，P{X＝10}＝K3/N＝200/184756＝1.0825×10－3，P{X＝100}＝1.0825×10－5。
有了X的概率分布，不同的奖罚金额及其概率是一览无余，但是仅以X的概率分布来揭露其欺骗性，似乎理由还不够充分。为此，再研究这样的问题：随机变量X的每次取值可能大可能小，在“平均”意义下，它应该取多大？
要计算平均值，就要引入“数学期望”的概念。数学期望（mathematic expectation）指把试验一直进行下去所期望能得到的理论上的平均值，记为EX。在这道赌博问题中，奖罚金额的数学期望EX＝(－1)×P{X＝－1}＋0×P{X＝0}＋10×P{X＝10}＋100×P{X＝100}＝－0.81元。 利用数学期望的概念，可以得出这样的结论：近似地说，参加者平均每次给摊主0.81元。次数越多，这种说法就越精确。