自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
1. 从地面竖直上抛一物体A ，同时在某一高度处让物体B 自由下落，若两物体在空中相遇时的速率都是v ，则( AD )
A ．物体A 的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍
B ．相遇时物体A 已上升的高度和物体B 已下落的高度相同
C ．物体A 和物体B 在空中运动时间相等
D ．物体A 和物体B 落地速度相等
解析：由对称性可知，物体A 上升最大高度和物体B 自由下落的高度相等．因此，A 、B 两物体着地速度相等．所以D 选项正确．进一步分析知相遇时刻为B 物体下落的中间时刻，由初速度为零的匀加速直线运动，在相邻的相等的时间间隔内位移之比关系，可判断到相遇时刻，B 物体下落高度和A 物体上升高度之比为1∶3，故选项B 错误．由某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，则相遇时刻的
0＋v v 速度v ＝，即v 0＝2v ，选项A 正确．由于A 物体上升的最大高度和B 物体自由下落的高度相等，22
所以A 物体在空中运动时间是B 物体在空中运动时间的2倍，选项C 错误．本题正确答案为A 、D.
2. 以v 0=20m/s的速度竖直上抛一小球A ，2s 后以同一初速度在同一位置上抛另一小球B ，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？
解法⑴ 根据速度对称性得：-［v 0-g （t+2）］=v0-gt ，
12 gt 得： h=15m. 2
11解法(2) 根据位移相同得：v 0（t+2）-g(t+2)2=v0t-gt 2, 22解得t=1s，代入h=v0t-
解得t=1s，代入位移公式得h=15m.
解法(3) 图像法 由图知t=3s时x A =xB =15m
3． A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t /2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为( 答案：D )
A ．gt 2 33 B. 2 C. 2 841D. gt 2 4
解法⑴ 解法(2) 解法(3)
1211212 由推论1:3，知Δh 为2份。 ∆h =gt A -g (t A -t B ) 2-gt B =gt 2224t t 1∆h =g (t -) =gt 2
224
1
4. 物体甲从离地面高度h 处自由下落，同时在它正下方的地面上有一物体乙以初速度v 0竖直向上抛．重力加速度为g ，不计空气阻力，两物体均看作质点．
(1)要使两物体在空中相碰，乙的初速度v 0应满足什么条件？
(2)要使乙在下落过程中与甲相碰，v 0应满足什么条件？
[解析] 解法（1） (1)设经过时间t x 甲乙在空中相碰
11甲做自由落体运动的位移h 1＝x 2 乙做竖直上抛运动的位移h 2＝v 0t x －gt x 2 22
由几何关系h ＝h 1＋h 2 解得t x ＝h v0 乙抛出后上升到最高点所用时间t ＝， v0g
从抛出到落地所用时间2t 物体乙上抛的初速度与上升的最大高度的关系是v 02＝2gh 甲乙在空中相遇应满足0 gh 2v
(2)在乙下落过程中，甲乙相遇应满足t
v02v0 即
h 1+h2 = h 又h = v0 t x 得 t x = h / v0
由图知 (1) 0
5. 在地面上以初速度2v 0 竖直上抛一物体A 后，又以初速度v 0 在相同地点竖直上抛另一物体B ，若要使两物体能在空中相碰，则AB 抛出的时间间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）
解析： 解法（1） A ： t 1 = 2v0 / g ， B ： t 2 = v 0 / g
由A 落地前必须抛出B ，知Δt
由A 要比B 先落地，知2 t1 — 2 t2
故 2v 0 / g
12gt x -2v 0t x t =v 0-gt x 解法（2） 设B 抛出后经过时间t 相遇，则： 2v 0(t +t x ) -11g (t +t x ) 2=v 0t -gt 2
22 ，解得：
由 0 2v0 / g
综合可得： 2v 0 / g
故2 t1 — 2 t2
2