正切函数的图像与性质

正切函数的图象和性质

（一） 教材分析：

本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。

(二）教学目标：

1、知识和技能目标：

（1）理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”；

（2）准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用。

2、过程与方法目标：

（1）通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；

（2）培养学生类比、归纳的数学思想；

（3）培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。

（三）教学三点解析：

1、教学重点：正切函数的图象和性质；

2、教学难点：体验正切函数基本性质的应用；

3、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数。

（四）教学策略

在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如：1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精妙. 。

（五）学情分析

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障。

（六）教学过程设计

1、设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。

2、复习旧知

提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？

提问2：角α是任意的吗 ? 引出正切函数的定义域

提问3：正切函数的定义域是什么？

3、探索研究

提问4：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？

回顾正弦曲线的作法，下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制y =tan x 图象。

（1）用正切线作正切函数图象

提问5：分析一下正切函数y =tan x 是否为周期函数？

s i x n +(π-) x s i n f (x +π) =t x a +n π(===x =f t x a n () c o x s +(π-) x c o s

∴y =tan x 是周期函数，π是它的一个周期。

我们还可以证明，π是它的最小正周期。类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数y =tan x ，

⎛ππ⎫x ∈ -, ⎪的图象。 ⎝22⎭

作法如下：

①等分：把单位圆右半圆分成8等分；

②作正切线

③平移；

④连线。

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

πy =tan x ，(x ∈R , x ≠k π+, k ∈Z ) 的图象，并把它叫做正切曲线 2

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。

π⎧⎫ 1定义域：⎨x |x ≠k π+, k ∈Z ⎬ 2⎩⎭

2值域： R

3周期性：周期是π

4奇偶性：正切函数是奇函数

5单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(-

都是增函数

⎛k π⎫ 6对称性：对称中心 , 0⎪，无对称轴 2⎝⎭

提问6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？

强调：a. 不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b. 正切函数在每个单调区间内都是增函数

c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三

4、例题分析

π⎫⎛π 【例1】求函数y =tan x +⎪ 的定义域、周期和单调区间。 3⎭⎝2π2+k π, π2+k π), k ∈Z 内

π⎫⎛π 分析：我们已经知道了y =tan z 的定义域和单调区间。那么y =tan x +⎪3⎭⎝2

π⎫π⎫⎛π⎛π与y =tan z 有什么关系呢？令z = x +⎪，我们把y =tan x +⎪说成由3⎭3⎭⎝2⎝2

π⎫π⎫⎛π⎛πy =tan z 和z = x +⎪复合而成。此时我们称y =tan x +⎪为复合函数，而3⎭3⎭⎝2⎝2

π⎫⎛π把y =tan z 和z = x +⎪称为简单函数。 3⎭⎝2

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

π 练习1：求函数y =tan(2x -) 的定义域、周期和单调区间（学生板演。） 4

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

与 ；

11π13π) 与tan(-) ． （2）tan(-45

分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

（1）

解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到y =tan x 的同一单调区间内，利用y =tan x 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

（＜） (1) tan 138︒_____tan 143︒ （学生口答）

1317(2) tan(-π) _____tan(-π) （学生板演）（＞） 45

5、总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

6、布置作业：

作业：课本习题A 组6、7题和B 组2题。