应用导数求函数区间最值

２００８年第６期

…＋口，（ｐ—Ｂ）＋ａｒ＋１（Ｂ一卢）＋…＋ａ。（Ｂ一卢）＝（口ｌ＋ａ２＋…＋ａ，＿ａｒ＋１一…一口。）（卢一

中学数学研究

…＋口，一ａ，＋ｌ一・一口。≥０，又ｐ—Ｂ＞０，所以

ｆ（ｆ１）一厂（Ｂ）≥Ｏ，即，（口）≥厂（佛），当ｚ兰Ｂ时，ｆ（ｘ）取得最小值，证毕．

佛），因为口１＋口２＋…＋口，≥专，所以口１＋口２＋

业＿｝＿ｔ坐坐坐＿｝ｏ坐坐坐坐虫坐誊Ｉ－业士坐坐－坐坐坐坐＿｝坐・士－坐．她坐坐坐鼍矗业－．－－

应用导数求函数区间。最值

广州市花都区一中

（５１０８８６）

唐舜生

函数的区间最值是指函数在某个特定的区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，解答时常用到分类讨论与数形结合的思想．导数的引入拓展了高考数学命题的范围，摆脱了对二次函数的依赖，借助导数求高次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的区间最值，已成为近几年高考的热点和难点．函数的区间最值问题可分为以下四类，下面举例说明各种类型题的解法．

一、定函数在定区间上的最值

函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定函数在定区间上的最值”．这类题不含参数，不需要对参数的变化范围进行分类讨论，因此比较简单，只要求出极值与区间端点的函数值，进行比较即得函数的最大（小）值．

例１

ｔ＝ＣＯＳＺ，则ｔ∈［一１，１］，ｆ（ｘ）＝ｇ（ｔ）＝ｔ３一ｔ２

一ｔ＋１，令９７（ｔ）＝３ｔ２—２ｔ一１＝０得ｔ１＝

一了１，￡２＝１，’．‘ｇ（１）＝０，ｇ（一１）＝ｏ，ｇ（一了１）

＝鹣，．‘．函数ｆ（ｘ）的最小值是ｏ．

点评：本题以三角函数知识为载体，先通过换元，将三角函数问题转化为三次函数在区间

［一１，１］上的最小值问题．

二、动函数在定区间上的最值

函数随参数ａ的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动函数在定区间上的最值”．根据函数极值点与区间的位置关系，需要分三种情形讨论：①函数的极值点在这个区间的左边；②函数的极值点在这个区间的右边；③函数的极值点在这个区间内．然后判断函数在这个区间上的单调性，得到函数的最大（小）值．

例３

ｉ：ｊ＿号恭２０得ｚ

朽

３‘

解：函数的定义域为［０，２］，令Ｙ’＝

求函数ｙ＝婿的最大值．

已知函数．厂（ｚ）＝２ａｘ一专，ｚ∈（０，

２丢，。・。厂（。）＝。，

１］，求，（ｚ）在区间（０，１］上的最大值．

厂（２）：ｏ，，（吾）＝譬，．．．函数Ｙ的最大值是

点评：求函数最值时，注意先求函数的定义域．

例２的最小值．

解：由厂（ｚ）＝ＣＯａＸ＋１一ｏＤＳ２ｚ—ｃｏｓｚ，令

求函数厂（ｚ）＝ＣＯＳ３工＋ｓｉｎ２ｘ—ＣＯａｘ

解：（１）当口＝０时，厂（ｚ）＝一去，

．’．厂（ｚ）一＝一ｌ；

（２）当口≠０时，令厂（ｚ）＝２ａ＋气＝

弩掣－ｏ，得ｚ＝再．

３厂—Ｔ

（ｉ）当√一言＜０，即ｎ＞ｏ时，由ｚ∈（ｏ，

１］，得厂（ｚ）＞０．．’．函数厂（ｚ）在（０，１］上单调

万方数据　

・４４・

中学数学研究

递增，厂（ｚ）一＝ｆ（１）＝２ａ一１；

（ｉｉ）当３．／一土＞ｏ，即一１＜口＜０时，由ｚＹ

ａ

∈（０，１］，得厂（ｚ）＞０，．‘．函数ｆ（ｘ）在（０，１］上

单调递增，厂（ｚ）～＝厂（１）＝２ａ—ｌ；

＜ｚ钙时洲渺峭泻ａ＜刚，

（ｉｉｉ）当ｏ＜４一土≤１，即口≤一１时，当０

厂（ｚ）＜ｏ，・’・当ｚ２√一吉时，厂（ｚ）取极大值，

也是最大值厂Ｖ一昙）＝一３少孑．

例４

…洲九＝｛劣掣Ｉ

已知函数，（ｚ）＝ｌｎ（ｘ＋ａ）一Ｘ（ａ

＞０），求ｆ（ｘ）在［０，２］上的最小值．

解：令厂（ｚ）＝而１—１＝一掣＝

０，得ｚ＝ｌ一口，’．‘０≤ｚ≤２，又口＞０，则ｚ＋ａ

＞０恒成立．

（ｉ）当１一ａ９２时，得口≤一１，与题设口＞

０矛盾；

（ｉｉ）当１一口≤ｏ，即口≥ｌ时，／（ｚ）≤ｏ在［０，２］恒成立＇．．。ｆ（ｚ）在［０，２］上单调递减，

ｆ（ｘ）商。＝ｆ（２）＝ｌｎ（ａ＋２）一２．

（ｉｉｉ）当０＜１一ａ＜２时，即一１＜ａ＜１．‘．’ｚ

∈［０，１一ａ）时，厂（ｚ）＞０；ｚ∈（１一ａ，２］时，厂（ｚ）＜０．．‘．当ｚ＝１一ａ时，ｆ（ｘ）取极大值，

最小值只能产生于ｆ（Ｏ）或，（２），而ｆ（Ｏ）一ｆ（２）＝ｌｎｅ２ａ—Ｉｎ（２＋口）．

当古＜口＜１时，ｆ（０）＞厂（２），ｆ（ｘ）曲ｅ‘——１

２／（２）；当０＜口≤寿时，厂（ｏ）≤，（２），

厂（ｚ）山＝ｆ（Ｏ）＝ｌｎａ．

综上知：当口＞≯三时，厂（ｚ）ｎｌｉｎ＝Ｉｎ（２＋

口）一２；当ｏ＜口≤高时，／（ｚ）ｒ１１ｉｎ＝ｌｎａ．

点评：例４中若注意到口≥一１，ｚ∈（０，１］

时，厂（ｚ）≥０，ｆ（ｘ）单调递增，则解法更简便．

三、定函数在动区间Ｅ．的最值

万　

方数据２００８年第６期

函数是确定的，但它的定义域区间是随参

数ｔ而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”．根据区间与函数极值点的位置关系，需要分三种情形讨论：①这个区间在极值点的左边；②这个区间包含极值点；③这个区间，在极值点的右边．然后判断函数ｆ（ｘ）在这个区间上的单调性，得到函数的最大（小）值．

侈９

５

已知函数ｆ（ｘ）＝ｚ３—３２２＋２，求

，（ｚ）在区间［０，ｔ］（０＜ｔ＜３）上的最大值和最

小值．

．

解：令ｆ（ｘ）＝３ｘ２—６ｘ＝０，得ｚ＝０或ｚ

＝２．

（１）当０＜￡≤２时，在区间（０，ｔ）上，厂（ｚ）

＜０，ｆ（ｚ）在［０，ｔ］上是减函数，．‘．ｆ（ｚ）一＝

ｆ（Ｏ）＝２，ｆ（ｘ）。ｄ。＝厂（ｔ）＝￡３—３ｔ２＋２；

（２）当２＜ｔ＜３时，厂（ｚ）在（０，２）上递减，在（２，ｔ）上递增，．‘．ｆ（ｚ）ｎｌｉ。＝ｆ（２）三一２，厂（ｚ）。。为ｆ（０）与ｆ（ｔ）中较大的一个，而厂（ｔ）

一ｆ（Ｏ）＝ｔ３—３ｔ２＝ｔ２（ｔ一３）＜０，．‘．／（ｚ）～＝

ｆ（Ｏ）＝２．

点评：本题是由区间的运动变化，引起此区间上对应的曲线段的变化，从而使问题在不同情况下有不同的解．

四、动函数在动区间上的最值

函数是含参数的函数，而定义城区间也是变化的，我们称这种情况是“动函数在动区间上的最值”．同样要根据区间与函数极值点的相对

位置关系，分三种情况讨论求解．

例６从边长为２口的正方形铁片的四个角各截去一个边长为ｚ的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数ｔ（ｔ＞０），试问当ｚ取何值时，容量、厂有最大值．

题意得：ｚ＞ｏ；２口一２ｘ＞ｏ；赢≤￡，・‘・ｏ＜

解：。．‘ｙ＝ｚ（２ａ一２ｘ）２＝４（口一ｚ）２ｚ．依

ｚ≤悬，．・．函数Ｖ的定义域为（ｏ，惫］．

Ｖ７＝４（３５＂一口）（３ｘ—ａ），令Ｖ７＝０，得ｚ＝

等，ｚ＝口（舍）．

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２００８年第６期

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巧用ｌｎ（１＋ｚ）＜．７７证明不等式

黑龙江省大庆实验中学（１６３３１６）卢伟峰

在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式：当ｚ＞一１且ｚ４：０时，有Ｉｎ（１＋ｚ）＜ｚ．

证：构造函数ｆ（ｚ）＝Ｉｎ（１＋ｘ）一ｚ，求导

１

ｌｎ百ａｌ＋ｌｎ万ａ２＋…＋１ｎ署≤署＋百ａ２＋…＋署一九－－－－ｒｔ－－ｎ＝ｏ，即Ｉｎ百ａｌ＋１ｎ百ａ２＋…＋ｌｎ署≤ｏ，

得厂（ｚ）＝‘＝｛１—１．当ｚ＞ｏ时，则厂（．２７）＜

０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｚ）一ｚ在（０，＋ｏｏ）上是单调递减函数，则有ｆ（ｘ）＜ｆ（Ｏ），又ｆ（Ｏ）＝０，所以ｆ（ｘ）＜０，即ｉｎ（１＋ｚ）＜ｚ成立；当

１

即璺上≯≤１，贝ｏ

例２

Ａ”≥口ｌ口２口３…口。，即

堕生生｝二垫≥兀—Ｉａ２石３瓦得证．———————ｉ———一声、／口口…口ｎ１哥址・

评注：均值不等式的证明方法非常多，此法

—１＜ｚ＜ｏ时，厂（ｚ）＝—三一１＞ｏ，所以函数

厂（ｚ）＝Ｉｎ（１＋．２７）一ｚ在（～１，０）上是单调递增函数，则有ｆ（ｚ）＜ｆ（Ｏ）又ｆ（Ｏ）＝０，所以有厂（．／７）＜０，即ｌｎ（１＋ｘ）＜工成立．

变式

当．／７＞０且ｚ≠１时，ｌｎｘ＜．／７—１和

．２７＞０时。１＋ｚ＜矿也成立．

这个不等式及变式的应用非常广泛，下面结合几个实例来加以说明．

采用构造重要不等式１ｎ五ａｉ＼＜．－Ａａｉ一１（ｉ＝１，２，

…）来证明，更显得格外的简洁明快．

（２００４全国，理２２题改编）已知

ｇ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，当ｂ＞口＞Ｏ时，求证：０＜ｇ（ａ）

＋ｇ（６）一２９（Ｔａ＋ｂ）＜（６一口）ｌｎ２．

垡鱼之｝二垫≥湎ｌａ赢２————≯—一多、／凸口一’

例１

已知ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…），证明：

３．ａｎ．

证：令Ａ＝尘二旦型焉訾，因为万ａｉ

＞Ｏ，则有Ｉｎ万ａｉ≮－万ａｉ一１（ｉ＝１，２，…）成立，所以

证：由ｇ（口）＋ｇ（６）一２９（半）＝口１ｎ口＋ｂｌｒａ，一（川）ｌｎ警＝口１ｎ毫＋ｂｌｎ而２ｂ，结合害＞ｏ，水旨＜ｏ，有ｌｎ而２ａ－ｌｎ（１＋百ｂ－ａ）＞一害和ｌｎ笼＝叱（１＋霄）＞一百ａ－ｂ，所洲ｎ而２ａ＋６ｌｎ簏

２

●＿业盥坐Ｉ尘坐ｔ坐妇矗坐坐妊业●螺峰啦坐坐业坐坐簟－－●妇－坐－－－－●－★－－－

（１）当号≤悬，即￡≥｛时，‘．’ｏ＜ｚ＜＜ｆ警矢时，Ｖ７＞ｏ恒成立，。．。ｖ（ｘ）为增函数，号时，Ｖ７＞ｏ；号＜ｚ≤恶，Ｖ７＜ｏ，・・・ｙ（ｚ）．・．当ｚ＝笼时，Ｖ有最大值者备．在（ｏ，悬］上有极大值Ｖ（号），也是最大值

１６

３

应用导数求函数的区间最大值，具有普适

性．一般步骤是：求函数极值点——讨论极值点与区间的位置关系——判断函数在区间上的单调性——联想函数在区间上的大致图像——直

观得出结论．按此程序解决函数区间最值问题，思路清晰，能够“以不变应万变．”

芴矿。

（２）当号＞悬，即ｏ＜￡＜百１时，‘．‘ｏ＜ｚ

万方数据　

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应用导数求函数区间最值

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

唐舜生

广州市花都区一中,510886

中学数学研究

STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2008(6)

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