数值分析作业(1,2)
数值分析作业(1)
1:思考题(判断是否正确并阐述理由)
(a )一个问题的病态性如何,与求解它的算法有关系。
(b)无论问题是否病态,好的算法都会得到它好的近似解。
(c)计算中使用更高的精度,可以改善问题的病态性。
(d)用一个稳定的算法计算一个良态问题,一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。
(f)浮点数的加法满足结合律。
(g)浮点数的加法满足交换律。
(h)浮点数构成有效集合。
(i)用一个收敛的算法计算一个良态问题,一定得到它好的近似解。 √ 2: 解释下面Matlab 程序的输出结果
t=0.1;
n=1:10;
e=n/10-n*t
3:对二次代数方程的求解问题
ax 2+bx +c =0
有两种等价的一元二次方程求解公式
-b ±x =2a
2c x = 对
a=1,b=-100000000,c=1,应采用哪种算法?
4:函数sin x 的幂级数展开为: x 3x 5x 7
+-+ sin x =x -3! 5! 7!
利用该公式的Matlab 程序为
function y=powersin(x)
% powersin. Power series for sin(x)
% powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series
s=0;
t=x;
n=1;
while s+t~=s;
s=s+t;
t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t
n=n+2;
end
(a ) 解释上述程序的终止准则;
(b ) 对于x=π/2、x=11π/2、x =21π/2,计算的精度是多少?分别需
要计算多少项?
5:指数函数的幂级数展开
23x x x e =1+x +++ 2! 3!
根据该展开式,编写Matlab 程序计算指数函数的值,并分析计算结果(重点分析x
数值分析作业(2)
思考题
1:判断下面命题是否正确并阐述理由
(a ) 仅当系数矩阵是病态或奇异的时候,不选主元的Gauss 消元法才会失败。
(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的;
(c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的;
(d) 如果一个矩阵的行列式值很小,则它很接近奇异;
(e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵;
(f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵;
(g) 一个奇异矩阵不可能有LU 分解;
(h) 奇异矩阵的范数一定是零;
(i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵;
(j ) 一个非奇异的对称阵,如果不是正定的则不能有Cholesky 分解。 2: 全主元Gauss 消元法与列主元Gauss 消元法的基本区别是什么?它们各有什么优点?
3:满足下面的哪个条件,可以判定矩阵接近奇异?
(a )矩阵的行列式小; (b )矩阵的范数小;
(c )矩阵的范数大; (d )矩阵的条件数小;
(e )矩阵的条件数大; (f )矩阵的元素小;
4: 分析Jacobi 迭代法和Gauss_Seidel迭代法,回答下列问题:
(a): 它们的主要区别是什么?
(b ):哪种方法更适合于并行计算?
(c): 哪种方法更节省存储空间?
(d): Jacobi 方法是否更快?
计算题:
⎡2-100⎤⎢-12-10⎥⎥,试求A 的Cholesky 分解 1:对矩阵A =⎢⎢0-12-1⎥⎢⎥00-12⎣⎦
⎡12-2⎤⎡2-11⎤⎥, A =⎢222⎥ 1112:对矩阵A 1=⎢⎢⎥2⎢⎥⎢⎢⎣221⎥⎦⎣-1-12⎥⎦
证明:求解以A 1为系数矩阵的线性方程组,Jacobi 迭代是收敛的,而
Gauss-Seidel 方法是发散的;求解以A 2为系数矩阵的线性方程组,
Jacobi 迭代是发散的,而Gauss-Seidel 方法是收敛的。 3:对矩阵
⎡1a a ⎤⎥ a 1a ⎢⎢⎥⎢⎣a a 1⎥⎦
(a ) 参数a 取什么值,矩阵是正定的?
(b )参数a 取什么值时,求解以A 为系数矩阵的线性方程组,Jacobi 迭代是收敛的?