解析几何运算中的"三项注意八大纪律"

・３６・

中学数学研究

２０１４年第８期

得口＋２ｂ≤（口６—３）ｃ，．．ｋ即口ａ６＋一２３ｂ≤ｃ（ａｂ＞３），所以

３石，两端平方得（１ｌｂ２—８）２（２ｂ２＋３）≥４５（１ｌｂ２—

８＞０），即（ｂ２—１）（２４２ｂ４＋２５３ｂ２—１４７）≥Ｏ（１１６２—８＞０），因１１６２—８＞０时，２４２ｂ４＋２５３ｂ２—１４７＞

ｔ≥彘｛等＋５口＋２２ｂ（口６＞３），求二兀－代双瓦雨ａ＋２ｂ

＋５ａ＋２２ｂ（ａｂ＞３）的最小值即可．下面用求多元函数（代数式）最值的通法（文［３］）解决．令以口）＝

０，所以ｂ≥１，所以ｇ（ｂ）的减区间为（Ｏ，１］，增区间为［１，＋∞），所以ｇ（口）幽＝ｇ（１）＝４８，当ｂ＝１

万ａ＋ｊ２ｂ＋５口＋２２ｂ（口＞ｉ３），则由厂（口）＝

帅＝÷（√学＋３）－４，自５口＋２２６＋ｃ＝４８

得ｃ＝６，即当ｎ＝４，ｂ＝ｌ，ｃ＝６时，ｔ。ｉ。＝４８，所以，５口＋２２ｂ＋ｃ的最／ｊ、值为４８．

一等等＋５≥。得口≥ｉ１【．√丁２１２＂酽＋３＋３），所

八÷ｃ～／至孚＋３，，：兰ｊ学＋２２６＋｛笋，又令ｇ（６）＝堕孚卫＋２２６＋萼（６＞０）’则由ｇ’（６）＝２２一（蔫ｂ

燕＋吾钏川ｍ２＿８）而≥

２￣／２６２＋

Ｄ

以以ｎ）的减区间为（了３，古（√丝≥量＋３）］，增区间为［丢（√丝≥立＋３），＋∞），所以厂（口）面。＝

Ｄ

Ｄ

’Ｖ

）

注：求函数的值域（最值）是解、证不等式的一般方法（文［４］），题目估计也是用高等的导数方法获得后，再寻求出初等方法解答的．

参考文献

［１］黄兆麟．数学问题２０８０解答，数学通报，２０１２，９．

［２］王淼生，吴卫军．详略得当，展示功力，彰显品味，中学数

学研究（江西），２０１４，３．

［３］熊福州．由２０１０年高考四川理（１２）看多元函数最值问

题的解法，中学数学研究（江西），２０１０，１０．

３＋擎）≥。，即

［４］熊福州．不妨在方程与函数的教学上多着点墨，中学数

学研究（江西），２０１４，３．

解析几何运算中的“三项注意八大纪律＂

浙江省宁波市鄞州区正始中学

在高考中，解析几何是重点考查的对象．面对

这类问题，学生往往因运算量大心生畏惧而导致半途而废．寻找合适的思路，通晓常见的注意事项，积

（３１５１３１）何卫华

所以丛二兰：—－４—ｘ：１，ＮＥ．Ｚ４茗＋），：０．到这里，还

石ｌ一石２

Ｙ

有两个问题：一个是题目求的是轨迹而不是轨迹方程，另一个是轨迹是直线吗？显然应是直线在椭圆内部的部分线段除去两端点．

评注：这里要求的是轨迹而不是轨迹方程．解题时，要审清问的是什么，才能做到有的放矢．对所求

累一定的解题技巧就显得非常重要．笔者通过日常教学将解析几何运算中常见的注意事项及相关解题

技巧总结为“三项注意八大纪律”，希望得到专家、同行的批评指正．

注意一：审清问题例１

已知椭圆Ｃ：４ｘ２＋ｙ２＝１及直线ｌ：ｙ＝戈

轨迹的范围应加以重视

注意二：题目条件１．显性条件

。２

．，２

＋ｍ，ｍ∈Ｒ．求直线ｚ被椭圆Ｃ截得的弦的中点轨

迹．

例２

解：设直线Ｚ与椭圆Ｃ的两个交点是Ｐ（石。，Ｙ，），

双曲线≥一吾＝１（０＜口＜ｂ）的半焦

Ｕ

Ｕ

Ｑ（髫：，鲍），设ＰＱ中点为Ｍ（菇，），），则ｆ４菇！＋蛭２ｔ４ｘ；＋Ｙ‘２＝１，

万方数据

１’

距为ｃ，直线Ｚ过Ａ（口，Ｏ），ｎ（ｏ，ｂ）两点．已知原点到Ｚ

的距离是毕，则双曲线的离心率为

五

．

２０１４年第８期

中学数学研究

・３７・

解：一般情况下，求得ｌ：Ｘ－－－＋÷＝１，由点到直

口

Ｄ

线的距离公式可彳导口６＝争２．进一步柚：争２两

边平方得ａ２（ｃ２—８２）＝寺４，所以（ｅ２—４）（３ｅ２—４）：ｏ，所以ｅ：２或ｅ：学．可这个答案是不对的．

我们再看看ｅ２＝７Ｃ２＝￡｛ａ堡＝１＋（鱼ａ）２，所以ｅ与

口

号有关，而题目中ｏ＜口＜６，所以ｅ２＞ｌ＋１２＝２，

所以答案应该是２．

２．隐性条件例３

已知椭圆中心是坐标原点，长轴在并轴

上，离心率ｅ＝雩，且点Ｐ（ｏ，寻）到椭圆上的点的最

远距离是万，求这个椭圆方程．

解：设椭圆方程为：ｘ＋缶＝１（口＞ｂ＞ｏ），因

口

Ｄ

为鱼ａ＝严≠＝厅７＝号，所以口－２６域

椭圆上的点肘（髫，ｙ）至，１ｋｅ（ｏ，ｉ３）的距离为正则ｃｆ２＝ａ；２＋（ｙ一下３）２：一３（ｙ＋了１）２＋４６２＋３，当ｙ：

一丢时，（ｄ２）一＝４６２＋３＝７，６＝ｌ，所以，所求的

椭圆方程是等２＋广＝１．由争２＋吾＝ｌ（口＞６＞。），

得一ｂ≤Ｙ≤６，ｄ２是Ｙ的二次函数，其对称轴为Ｙ＝一虿１，没有就对称轴在区间［一６，６］内或外进行分类讨论．

令八ｙ）＝一３（ｙ＋下１）２＋４６２＋３，当一６≤一寻，即６≥告，（∥）一＝八一下１）＝４６２＋３：７，６：１，

所以，所求的椭圆方程是等＋广＝１．当一６＞一号，

即６＜告，（扩）一＝八一６）＝７，，与６＜了１矛盾．

综上所述，所求的椭圆方程是等＋ｙ２＝１．

评注：例２中其实利用等面积更简洁，由题意，

Ｉ

Ａ口ｌ＿ｃ，由＆以口＝ｒ１

６＝争・争，故口６＝

万方数据

争２．虽然都得到同样的等式，但是，利用面积公式

减少了错误发生的可能．对基础较差的同学，可能计算直线方程就出错了，还要用到点到直线距离公式，就更增加了计算失误的可能．而利用面积公式，减少了中间环节，降低失误率．忽略例３中Ｙ的范围是解题失误的陷阱之一．当我们将问题转化为函数求值域之后，一定要问问函数的三要素是什么，自然会进一步考虑定义域了．

注意三：△的作用

１．检验

例４

已知双曲线石２一：｝＝１，经过点肘（１，１）

能否作一条直线Ｚ，使Ｚ与双曲线交于Ａ、Ｂ，且点Ｍ是

线段ＡＢ的中点．若存在这样的直线２，求出它的方程，若不存在，说明理由．

解：设存在被点肘平分的弦ＡＢ，且ａ（ｘ。，Ｙ。）、

．，２

Ｂ（ｘ２，儿），则茗１＋茗２＝２，Ｙｌ＋Ｙｚ＝２，菇：一芸＝１，

戈：２一下Ｙ２＝ｌ，两式相减，得（石。＋ｘ２）（菇。一茹：）一丢（），。

＋儿）（，，ｌ一托）：ｏ，所以｜ｊ｝仰：争＿二粤：２，故直线

乃ｌ一再２

ｒｙ—ｌ＝２（茗一１），

ＡＢ：Ｙ‘１观＠。１）．由ｋ车：ｌ

ｊｉ｜ｉ去扎

Ｉ茗一。＝－２

ｌ

得２茗２—４茗＋３＝０．由△＝（一４）２—４×２

Ｘ

３＝一８

＜０，这说明直线ＡＢ与双曲线不相交，故被点肘平

分的弦不存在，即不存在这样的直线Ｚ．

２．求范围例５

已知椭圆的一个顶点Ａ（Ｏ，一１），焦点在

茹轴上且右焦点到直线石一Ｙ＋２４Ｙ＝０的距离为３，若Ｙ轴上截距为ｂ的直线ｚ（斜率不为Ｏ）与该椭圆交

于不同两点Ｍ，Ⅳ．当ｌＡＭＩ＝Ｉ

ＡＮｌ时，试求ｂ的取

值范围．

解：易得椭圆方程为等＋ｙ２＝１．设肘（菇。，Ｙ。），

Ｎ（ｘ２，儿），ＭＮ的中点Ｑ（ｘｏ，Ｙｏ）．由题意，直线Ｚ斜率不存在不合题意，设直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋６（ｋ≠０），代入

等＋ｙ２＝１得（３ｋ２＋１）菇２＋６ｋｂｘ＋３ｂ２—３＝ｏ，则

”铲一篇，所‰＋儿＝矗，所以Ｑ（一羔，甄≠万）．因为Ｉ

Ａ肘Ｉ＝ＩＡⅣｌ，所以

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中学数学研究

２０１４年第８期

ＭＮ上ＡＱ，所以２ｂ＝３ｋ２＋１，得ｂ＞－１又因为△＞

０，即３｜ｊ｝２＋１一ｂ２＞０，所以２ｂ—ｂ２＞０，得０＜ｂ＜

２．综上所述÷＜ｂ＜２．

评注：例４如果忽视判别式，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点Ｍ的位置非常重．竞（１）若中点肘在圆锥曲线内，则被点Ｍ平分的弦一般存在；（２）若中点肘在圆锥曲线外，则被点肘平分的弦可能不存在．例５中利用２６

＝３ｋ２＋１得到ｂ＞ｉ１，容易忽视联立方程消元之后

一元二次方程中△的作用是检验和求范围，应给予

重视

纪律一：回到定义例６

已知Ｆ，、Ｆ２是椭圆与＋告＝ｌ的左右焦

点，点Ｐ是椭圆上（不含左、右顶点）任意一点，从Ｅ

于Ｍ，则点Ｍ的轨迹方程是——．

引／＿Ｆ。ＰＦ２的外角平分线的垂线，交疋Ｐ的延长线

解：由题意可知ｌ胛ｌ兰Ｉ

ＰＦｌ

Ｉ，所以Ｉ

ＰＦｌＩ

＋Ｉ

Ｐ疋Ｉ＝Ｉ肘疋Ｉ＝２ａ，所以点Ｍ到点疋的距离为

定值２ａ．则点肘的轨迹是以疋为圆心，以２口为半径

的圆，轨迹方程为（茗一石２一ｂ２）２＋ｙ２＝４ａ２．（除

去（Ｃ一２ａ，０）和（ａ＋ｃ，０）点）

评注：遇到不会解的题时，先想想定义．当点在曲线上，要么利用几何定义，要么点的坐标满足方程利用定义解题往往可以简化运算，收到意想不到

的效果．

纪律二：设而不求例７

已知双曲线Ｃｌ：菇２一｝＝１．

（１）求与双曲线Ｃ。有相同的焦点，且过点Ｐ（４，

犯）的双曲线ｃ２的标准方程；

（２）直线ｌ：ｙ＝菇＋ｍ分别交双曲线ｃ２的两条渐近线于Ａ，Ｂ两点．当ＯＡ・ＯＢ＝３时，求实数ｍ．

解：易知Ｃ：：７戈－一ｙ２＝１．对于第（２）题中直线Ｚ与Ｃ，的两条渐近线有两交点，一般我们可以分别联

立Ｚ方程和两渐近线方程，具体解出Ａ和Ｂ的坐标，

进而求解ｍ．其实，我们如果设Ａ（菇，，Ｙ，），８（ｘ：，儿），

联立ｆ等一广＝ｏ，消ｙ得３茗：一２眦－－ｉｎ，２：０．可知

【＿ｙ：茁＋ｍ，

万方数据

茗１．菇：＝一下ｍＬ，－６１．一ＯＢ＝石。・茗：＋（一２ｘ。）（２石２）＝一

３ｘｌ・戈２＝ｍ２＝３，ｍ＝±扛

评注：本题可以分别联立两方程，将Ａ，Ｂ坐标具体解出．但将两直线用曲线方程整体表示给人耳目一新的感觉．

纪律三：消元适当

例８

已知抛物线ｙ２＝一４ｘ与动直线Ｙ＝ｋ（ｘ

＋２）交于Ａ，曰两点，问：在菇轴上是否存在与ｋ无关的定点肘，使得ＬＡＭＢ被ｚ轴平分？若存在，求出点膨的坐标；若不存在，说明理由．

解：设ａ（ｘｌ，Ｙ１），ａ（ｘ２Ｙ２），Ｍ（ｎ，０）．

联立

｛歹！意２），消菇得妒＋４ｙ－８ｋ－ｏ，所龇＋

Ｙ２＝一÷，Ｙ。Ｙ２＝一８．假设存在这ｆｔ－的点Ｍ，则可知

后删＝一后删，进一步有后删＋后删＝ｏ，即ｉ鬯ｉ＋

惫＝ｏ’龇＝‰２如＝等２化简得（，，，＋

儿）（一鼍丝一口）＝ｏ，故口＝２．故存在这样的定点

Ｍ（２，Ｏ）．

评注：本题若消Ｙ得ｋ２ｘ２＋（４七２＋４）ｘ＋４ｋ２＝ｏ，利用Ｙｔ＝ｋ（ｘ－＋２），扎２

ｋ（ｘ：＋２）消去Ｚ芝ｉ＋

兰＝０中的Ｙｌ，Ｙ２，化简得

些堕掣号粤皇；止盟：０，解得口：（戈ｌ一口）（戈２一ｏ）

’一’。。ｕ

２．比较两次消元的结果我们发现本题消・Ｙ较消菇运

算来得简单．４＇１用茗＝乞代换戈・，Ｘ２也是常见的坐标

代换方法．除此之外，还可利用直线方程Ｙ＝ｋｘ＋ｂ进行坐标代换．

纪律四：整体消元例９

设双曲线Ｃ。的方程为与一告＝１（口＞

０，ｂ＞０），Ａ，曰为其左右两个顶点，Ｐ是双曲线Ｃ１上不与Ａ、Ｂ重合的任一点，引ＱＢ上ＰＢ，Ｑａ上ＰＡ，ＡＱ

与８Ｑ相交于点Ｑ，求点Ｑ的轨迹方程．

解：设点Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ），Ｑ（ｘ，），），由题意

ｆ卷寺。。１’……乘得南２．Ｊ‰一口

石一口

…－－。’赤一，

把上述两式相乘得矗．‰～

２０１４年第８期中学数学研究

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．了乞：ｌ，又因为萼２一鲁：ｌ，可得Ｔ壹１：１ｂ２，

茗

一ａａＤ

髫ｎ—ａ

口

所以箬．手≮：ｌ，即ａ２ｘ２一ｂ２ｙ２：ａ４又戈≠

±ａ，所以所求轨迹方程是ａ２ｘ２一ｂ２严＝ａ４（菇≠

±口、．

评注：若通过方程组具体求出‰，Ｙｏ代入Ｃｌ运

算量太大，求轨迹消去参变点往往采用整体代换简

化运算．

纪律五：几何关系１．三角形边长关系例１０

已知抛物线Ｙ＝茗２，动弦Ａ曰的长为２，

求ＡＢ中点纵坐标的最小值．

解：设Ａ（ｘｌ，Ｙ１），８（ｘ２，Ｙ２），ＡＢ中点Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ），

抛物线焦点为Ｆ，准线ｌ：ｙ＝一÷，Ａ、Ｂ、肘在ｚ上的投

影点分别为Ｄ、Ｃ、Ｎ，则２

ＩＭＮＩ＝ＩＡＤＩ＋Ｉ

ＢＣＩ，

Ｉ删Ｉ＝号＋％＝了Ｉ＋Ｙｏ，Ｉ

ＡＤＩ＋ＩＢｃ

Ｉ．２（÷

＋％），ｌ

ＡＤＩ＝ＩＡＦＩ，ｌＢＣＩ＝ＩＢＦＩ，Ｉ

ＡＦｌ＋

ＢＦｌ＝２（—｝＋Ｙｏ），Ａ，４ＢＦ中，Ｉ

Ａ，ｌ＋Ｉ

ＢＦＩ≥

ＡＢｌ＝２，所以（Ｉ

ＡＦｌ＋Ｉ曰Ｆ

Ｉ）ｍｉ。＝２，（Ｙｏ）ｍｉ。＝

３

＿．

２．点在曲线内

例１ｌ

已知抛物线Ｙ＝菇２上存在两个不同的

点Ｍ，Ⅳ关于直线Ｙ：一ｋｘ＋ｉ９对称，求ｋ的范围．

解：设Ｍ（ｘ。，Ｙ１），Ｎ（ｘ２，儿），ＭＮ的中点Ｑ（ｘ。，

％），由肘，Ⅳ在抛物线ｙ：石：上，所以ｆｙｌ２茗！’相减

ｔｙ２

２并；，

得鬟％％，所以｝＝２Ｘｏ，又％一ｋｘ。＋

．｝，所以％：４．而点Ｑ在抛物线内部，所以《＜％，

得一２＜石ｏ＜２．所以一４＜÷＜４，即ｋ∈（一∞，

一下１）ｕ（÷，＋∞）．

评注：解析几何去掉解析就是几何，本质还是几何问题．利用平面几何相关性质也可优化运算，或获得解题的思路．例５也是一个例子．

纪律六：巧设直线例１２

圆Ｃ与Ｙ轴相切于点Ｔ（０，２），与髫轴正

万方数据

半轴相交于两点肘，Ⅳ（点Ｍ在点Ⅳ的左侧）且

Ｉ肘ⅣＩ＝３．

（１）求圆Ｃ的方程；

（２）过点肘任作一条直线与圆Ｄ：矿＋ｙ２＝４相

交于Ａ，Ｂ，连接ＡＮ，ＢＮ．求证：／ＡＮＭ＝￡ＢＮＭ．

解：易得圆Ｃ的方程：（茹一÷）２＋（Ｙ一２）２＝竿，肘（１，ｏ），Ｎ（４，ｏ）．当过点Ｍ直线斜率为０时，显

然有／＿ＡＮＭ＝／＿ＢＮＭ．当该直线斜率不为０时，设其方程为石＝ｍｙ＋１，ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ５）．联立

防≯≥孙２“）ｙ２圯ｍｙ一吣－＋扎

２一而，ｙ，儿２一丽

２ｍ

３

要证／＿ＡＮＭ＝／＿ＢＮＭ，即证．｜｝＾Ⅳ＋后丑Ⅳ＝０．而．

‰‰＝南＋南＝警蓦等等

＝０．综上所述，／ＡＮＭ＝／＿ＢＮＭ．

评注：若设过点Ｍ的直线为Ｙ＝ｋ（ｘ一１）代入

菇２＋ｙ２＝４得（１＋ｋ２）菇２—２ｋ２ｘ＋ｋ２—４＝Ｏ，贝４菇ｌ

＋髫：：７％，茗，茗：：筝帚这里，我们看到无论是＋髫２

２丽，茗ｌ茗２２

ｒ■－．这里，裁们有到无论是

消元之后的方程还是韦达定理以及接下来的运算都较前者复杂，且还要对斜率存在与不存在进行讨论．

合理假设直线方程，尽可能减少运算步骤，简化运算数据，才能大大提高解题的正确率．

纪律七：坐标计算１．巧用相同结构例１３

过抛物线ｙ２

ｊ

２ｘ的顶点０作互相垂直

的二弦ＯＡ，ＯＢ，求ＡＢ中点的轨迹方程．

解：由题意可知直线ＯＡ，ＯＢ的斜率都存在，设

直线ＯＡ：，，＝ｋ，直线’ＯＢ：，，＝一Ｐ１，设Ａ（茗－，ｙ。），

盹，儿），ＡＢ中点肘（茹，），）・联立【ｙ，＝：ｋ２ｘ石，。，，ｔ＝ｉ２，

髫ｌ＝鲁所以Ｙ２＝一２ｋ，石２＝２ｋ２．所以

佑

ｆ一半“＋古邓一如２．所以所【ｙ＝半＝七一÷，

求轨迹方程是ｙ２＝并一２．

２．巧用韦达定理例１４

设抛物线Ｃ：ｙ＝Ｘ２。Ｆ为焦点．Ｚ为准线．

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中学数学研究

２０１４年第８期

准线Ｚ与Ｙ轴的交点为腻设肘是抛物线Ｃ上一点，已经知道方程中的一解，可以用两根和或积把另一根表示出来，优化运算．

纪律八：极端位置

例１５

过抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点作两条相互

Ｅ（Ｏ，４），延长ＭＥ，ＭＦ分别交Ｃ于Ａ，Ｂ．若Ａ，Ｂ，Ｈ三

点共线，求点Ｍ坐标．

解：设Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ），Ａ（ｘｌ，Ｙ１），８（ｘ２，Ｙ２）．显然‰

≠０，且直线ＭＡ，ＭＢ的斜率都存在．设直线ＭＡ：），＝

ｋｌｘ＋４，代入Ｃ的方程得戈２一蠡１菇一４＝０，所以ＸＯＸｌ

垂直的弦ＡＢ，ｃＤ，则ｒ南Ｔ＋厂高丌２——・

解：这是一个填空题，所以其值应是定值，所以我们采用极端情形解题．我们取弦ＡＢ垂直菇轴，另

＝一４，即戈ｉ＝詈，故，，・＝虿１６同理，石：＝碌－１所以

＾０

＾０

１—０

直线船的斜率‰＝糕＝鬟确％

＝一瓦１７，故直线ＡＢ的方程为，，一虿１６＝一互１髫７。（茹＋

一弦ｃＤ可当作长度为无穷大的弦，．故ｒ西丌２

０・

所以击＋击＝石１＋０＝零１

评注：解答选择或填空题可以使用极端位置，特殊化来求解，简化运算，大大提高解题效率．

解析几何问题涉及一个思想：坐标化的思想；两

砉）．令上式中戈＝ｏ，ｙ＝一了１，整理得石。＝±２，所以

掰（±２，４）．．

评注：例１３

ｅｅ并，ｌ用Ｙ＝ｋｘ和Ｙ＝一｝具有相

个方法：几何法和代数法．在目前的教学中，我们强调通性通法解题．但面对灵活多变的解析几何问题，一味蛮算，势必无功而返．如果我们平时加强积累，

适时总结，那么当面对新问题时，利用化归思想，转

同的结构，当求出Ａ（ｘ。，Ｙ。），只需用一亡代入Ａ（菇・，

Ｙ。）中的后中去，即可得到Ｂ（ｘ２，Ｙ２）的坐标．例１４中

变思路，势必能找到解决的方法．上述总结可能还不

很完善，权当抛砖引玉．

的菇，＝兰是利用韦达定理求解的，也就是说，如果

＾ｎ

石日团品酮团团团田团圊品品品团品日日即团团品品品口品品团即日酣品品品品品丘日团口团团即日品圊田品丘日

例析运用定积分证明有关正整数的不等式

江西省鹰潭市第一中学

在高中数学教学中，介绍了一些求特殊数列前ｎ项和的方法，但当遇到一些非特殊数列的前ｎ项和

（３３５０００）

黄鹤飞

格凸函数，且火石）＞ｏ，则主丛堡Ｌ鼍掣＞

ｌ八戈）也．

的时候，就往往不能用这些特殊的求和方法．而当某些数列的前凡项和不易求出时，可考虑用定积分的性质，通过其上下界来解决不等关系．

１．性质性质１

格凹函数，且八菇）＞ｏ，则主题盟＿±掣＜

性质４

．Ｂ＋Ｉ

若连续函数以戈）在［０，＋∞）上是严

若连续函数八髫）在［０，＋∞）上是增

【以石）出．

２．例析例Ｉ

函数，且八石）＞ｏ，则上八石）ｄｘ＜荟八后）＜

ｒａ＋ｌ

【以戈）如．

性质２

求证：∑佰＜÷［（ｎ＋１）石五＿『一１］．

若连续函数八戈）在［０，＋∞）上是减

２Ｊｘ

证明：设函数八戈）＝扛（并＞０），则ｆ（ｘ）＝ｊ二＞０（ｘ＞０），函数火菇）＝缸（石＞０）为增函数，

函数，且以茗）＞０，则（八茗）如＜∑八＿ｊ｝）＜Ｊ）以互）出・

性质３

由性质ｌ可知，荟石＜Ｊ：取２了２［（乃＋１）・

若连续函数尺茗）在［０，＋∞）上是严

石忑Ｔ—Ｉ］．

万方数据