高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义
平面向量公式
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a 、b 是互为相反的向量, 那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点, 指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a 的乘积是一个向量, 记作λa, 且∣λa ∣=∣λ∣•∣a ∣. 当λ>0时, λa 与a 同方向;
当λ<0时, λa 与a 反方向;
当λ=0时, λa=0,方向任意.
当a=0时, 对于任意实数λ, 都有λa=0.
注:按定义知, 如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a 的系数, 乘数向量λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣>1时, 表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时, 表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa) •b=λ(a•b)=(a•λb).
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb, 那么a=b.② 如果a ≠0且λa=μa, 那么λ=μ.
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b. 作OA=a,OB=b,则角AOB 称作向量a 和向量b 的夹角, 记作〈a,b 〉并规定0≤〈a,b 〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量, 记作a •b. 若a 、b 不共线, 则a •b=|a|•|b|•cos 〈a,b 〉;若a 、b 共线, 则a •b=+-∣a ∣∣b ∣.
向量的数量积的坐标表示:a •b=x•x'+y•y'.
向量的数量积的运算律
a •b=b•a (交换律);
(λa) •b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律) ;
(a+b)•c=a•c+b•c (分配律);
向量的数量积的性质
a •a=|a|的平方.
a ⊥b 〈=〉a •b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律, 即:(a•b) •c ≠a •(b•c) ;例如:(a•b)^2≠a^2•b^2.
2、向量的数量积不满足消去律, 即:由 a•b=a•c (a≠0), 推不出 b=c.
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量积
定义:两个向量a 和b 的向量积(外积、叉积)是一个向量, 记作a ×b. 若a 、b 不共线, 则a ×b 的模是:∣a ×b ∣=|a|•|b|•sin 〈a,b 〉;a ×b 的方向是:垂直于a 和b, 且a 、b 和a ×b 按这个次序构成右手系. 若a 、b 共线, 则a ×b=0. 向量的向量积性质:
∣a ×b ∣是以a 和b 为边的平行四边形面积.
a ×a=0.
a ‖b 〈=〉a ×b=0.
向量的向量积运算律
a ×b=-b×a ;
(λa )×b=λ(a ×b )=a×(λb );
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法, “向量AB/向量CD ”是没有意义的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b∣≤∣a ∣+∣b ∣;
① 当且仅当a 、b 反向时, 左边取等号;
② 当且仅当a 、b 同向时, 右边取等号.
2、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣.
① 当且仅当a 、b 同向时, 左边取等号;
② 当且仅当a 、b 反向时, 右边取等号.
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P 是l 上不同于P1、P2的任意一点. 则存在一个实数 λ, 使 向量P1P=λ•向量PP2, λ叫做点P 分有向线段P1P2所成的比. 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ) ;(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ). (定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A 、B 、C 三点共线
三角形重心判断式
在△ABC 中, 若GA +GB +GC=O,则G 为△ABC 的重心
向量共线的重要条件
若b ≠0, 则a//b的重要条件是存在唯一实数λ, 使a=λb.
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.
零向量0平行于任何向量.
向量垂直的充要条件
a ⊥b 的充要条件是 a•b=0.
a ⊥b 的充要条件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直于任何向量.
1、线性运算
①a+b=b+a ②(a+b)+c=a+(b+c) ③λ(μa)=(λμ)a. ④(λ+μ)a=λa+μa. ⑤λ(a±b)=λa ±λb ⑥a,b 共线→b=λa
2、坐标运算, 其中a (x1,y1), b(x2,y2)
①a+b=( x1+x2,y1+y2) ②a-b=( x1-x2,y1-y2) ③λa=(λx1, λy1) ④点A(a,b),点B(c,d),则向量AB=(c-a,b-d ) ⑤点A(a,b),点B(c,d),则向量BA=(a-c,b-d )
3、数量积运算
①a*b=∣a ∣*∣b ∣*cosθ ②a*b=b*a (交换律) ③(λ*a)*b=λ*(a*b) =a* (λ*b)(结合律,注意向量间无结合律) ④(a±b)*c=a*c±b*c(分配律) ⑤若a*(b-c)=0,则b=c或a 垂直于(b-c )
⑥(a±b)2=a2±2a*b+b2 ⑦(a+b)*(a-b)=a2-b2 ⑧a (x1,y1), b(x2,y2),则a*b=x1x2+y1y2,∣a ∣2 =x2+y2,∣a ∣=√x2+y2 a 垂直于b →x1x2+y1y2=0;一般地,a 与b 夹角θ满足如下条件: cos θ=a*b/∣a ∣*∣b ∣=(x1x2+y1y2)/(√
x12+y12)*(√x22+y22)