高三数学对称问题
. 对称问题
一、基础知识
1、 点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y) 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 2、点关于直线的对称点
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：
⎧⎪⎪’
设点(x0,y 0) 关于直线Ax+By+c=0的对称点(x,y’)，则⎨'
⎪A x ⎪⎩y ' -y 0⎛A ⎫
-⎪=-1'
x -x 0⎝B ⎭ ' +x 0y +y 0
+B +c =022
3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：
设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x0,y 0) ，在已知曲线f(x,y)=0上，
⎧⎪⎪
满足f(x0,y 0)=0，利用方程组⎨'
x ⎪A ⎪⎩y ' -y 0⎛A ⎫
-⎪=-1x ' -x 0⎝B ⎭，解得x 0,y 0，代入f(x0,y 0)=0，' +x 0y +y 0
+B +c =022
从而得对称曲线方程。
4、常用的对称关系
点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)
关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a). 二、题型剖析 [对称问题]
例1．（1）直线2x -y +3=0关于定点M (-1, 2) 对称的直线方程是（ ）
1
A 。2x -y +1=0 B 。2x -y +5=0
C 。2x -y -1=0 C 。2x -y -5=0
解：设点(x ', y ') 关于(-1, 2) 的对称点为(x , y ) ，则x '=-2-x ，y '=4-y 。
∴ 2(-2-x ) -(4-y ) +3=0即：2x -y +5=0，故选B 。 【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。
（2）(优化设计P107例1) 若以直线 l :3x +4y -1=0为对称轴，求直线l 1:2x +y -4=0的轴对称图形l 2的方程。
解法一：（利用对称关系）设P (x , y ) 是所求对称直线l 2上一点，关于直线l 的对称点为
y +y 0⎧x +x 07x -24y +6⎧3⨯+4⨯-1=0x =⎪⎪0⎪2225，解得⎨又∵Q (x 0, y 0) Q (x 0, y 0) ⎨y -y 03-24x -7y +8
⎪⨯(-) =-1⎪y 0=⎪x -x 0425⎩⎩
在l 1上， ∴2⨯
7x -24y +6-24x -7y +8
+-4=0，即l 2的方程是2x +11y +16=0。
2525
解法二：（利用到角公式）可把l 看作l 2到l 1的角平分线。设l 2的斜率分别为k 2， 直线l 的斜率为k =-
3
， 直线l 1的斜率为k 1=-2， 4
33-k 2-2+
k -k 2k -k 得k =-2。又l 与l 的交点为E (3, -2) ，所以==1由得21
33111+kk 21+k 1k
1-k 21+⨯244
-
l 2的方程是：2x +11y +16=0
【思维点拨】由平面几何知识可知，若直线a 、b 关于直线l 对称，则应有下列几何性质：
（1）若a 与b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；若a 与l 平行，则b ∥l ，且a 、b 与l 距离相等。 （2） 点A 直线a 上，则A 点关于l 的对称B 一定在直线b 上，并且AB ⊥l , AB 的中点在l
上。
（3）设P (x , y ) 是所求直线上一点，则P 为关于l 的对称点P '的坐标适合a 的方程。 练习：变式1：直线l: ax+by+c=0关于原点对称的直线方程为ax+by-c=0
变式2、已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2: x+ny+P=0，则l 1 、l 2关于y 轴对称的充要条件是( C ) A 、
5p
= B 、p=-5 C 、m=-n且p= -5m n
D 、
11
=-且p=-5 m n
例2：(优化设计P107例2) 光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光
线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。 解： A （-3，4）关于x 轴的对称点A 1（-3，-4）在经x 轴反射的光线上；A 1（-3，-4）
关于y 轴的对称点A 2（3，-4）在经过射入y 轴的反射的光线上，∴k A 2B =∴所求直线方程为 y -6=-2(x +2) ，即2x +y -2=0
6+4
=-2
-2-3
练习：变式3：一条光线经过P(2,3)点，射在直线l ：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1) （1） 求入射光线所在的直线方程 （2） 求这条光线从P 到Q 的长度。
解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点Q 1(x , y ) ，易证Q 1(-2, -2)
入射光线所在直线方程PQ 1:
y +2x +2
=，即5x-4y+2=0 3+22+2
（2）l 是QQ 1的垂直平分线，因而PQ 1=
41即为所求
【思维点拨】：由物理中光学知识，入射光线和反射光线关于法线对称转化为对称问题。 例3(优化设计P108例3) 已知点M （3，5），在直线：x -2y +2=0和y 轴上各找一点P
和Q ，使∆MPQ 的周长最小。
解：可求得点M 关于l 的对称点为M 1（5，1
点M 关于y 轴的对称点为M 2（-3，5），则
∆MPQ 的周长就是M 2Q +QP +PM 1，连则直线M 2M 1与y 轴及直线x -2y +2=0直线M 1M 2的方程为x +2y -7=0，直线
7
M 1M 2与y 轴的交点坐标为Q (0, ) ，由方程组
2
⎧x -2y +2=059597
P (, ) P (, ) (0, ) 即为所求。 得交点，∴点、Q ⎨
24242x +2y -7=0⎩
【评述】：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。
练习：变式4、直线2x +3y -6=0交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线y =-x 上求一点P 1，使P 在y=x上求一点P 2，使P 2A -P 2B 最大，求出两最值及P 1A +P 1B 最小，1P 2值。解：A(3,0),B(0,2),点B 关于
y =-x 的对称点B 1(-2, 0)
直线AB 1即x 轴交y =-x 于(0,0)即P 1点
P 1+P 1B =P 1A +P 1B 1=B 1A =5
又B 关于y=x的对称点B 2(2, 0)
P 2A -P 2B =P 2A -P 2B 2≤AB 2=1, 当且仅当P 2、B 2、A 共线（又在y=x上）
即P 2为直线B ’’A （即x 轴）与y=x的交点(0,0)时，P 2A -P 2B 最大为1，故P 1，P 2重合。
∴P 1P 2=0
【思维点拨】：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题。
备用题：
x 2y 2
例4．已知椭圆方程为+=1，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关
43
于直线y =4x +m 对称。
解法一：设A (x 1, y 2) 、B (x 2, y 2) 是椭圆上关于直线y =4x +m 对称的相异的两点，AB 中
⎧x 12y 12
+=1⎪
3⎪42
⎪x 2y 22
⎪4+3=1⎪
点为M (x 0, y 0) 。则有⎨x 1+x 2=2x 0
⎪y 1+y 2=2y 0⎪y -y
1⎪2⋅4=-1
⎪x 2-x 1⎪⎩y 0=4x 0+m
由点差法得y 0=3x 0，所以x 0=-m , y 0=-3m ，M 点坐标为(-m , -3m ) 。 而M 是AB 中点，∴M 点在椭圆内部。
m 29m 222∴。 +
431313
解法二：该 问题等价于存在直线y =-线段PQ 的中点落在直线
1
x +n ，使得这直线与椭圆有两个不同的交点P 、Q ，4
y =4x +m 上。
⎧x 2y 2⎪⎪4+3=122由⎨消去n 得13x -8nx +16n -48=0 ⎪y =-1x +n ⎪4⎩
∵直线与椭圆有两个不同交点。
∴∆=64n 2-4⨯13(16n 2-48) >0⇔-由韦达定理得：x 1+x 2=故PQ 中点为M (
①
22
8n 124n
，y 1+y 2=-(x 1+x 2) +2n =。 13413
4n 12n , ) 又M 在直线y =4x +m 上 1313
124n 4n =4⋅+m ，∴m =-n ② ∴131313
由①②知-
22
1313
三、小结
1. 对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。特别是关于原点对
称、坐标轴对称，直线x ±y =0对称都要熟练掌握。 2. 解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。 3. 求对称曲线的常用思想方法：代入转移法