两角和与差的正弦.余弦和正切公式
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正
切公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β) = (2)cos(α±β) =; (3)tan(α±β) =
tan α±tan β
1∓tan αtan β
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2=2 2tan α
(3)tan 2α=.
1-tan α3.有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β) 的变形:
①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β) ; ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β) . (2)公式C 2α的变形: 1
①sin 2α=2-cos 2α) ; 1
②cos 2α=2(1+cos 2α) . (3)公式的逆用:
①1±sin 2α=(sin α±cos α) 2; ⎛π⎫
⎪. ②sin α±cos α=2sin α⎝4⎭4.辅助角公式
b ⎫⎛
a sin α+b cos α=a +b sin(α+φ) 其中tan φ=a ⎪.
⎝⎭
1.(思考辨析) 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数α,β,使等式sin(α+β) =sin α+sin β成立.( ) (2)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( ) (3)公式tan(α+β) =
tan α+tan β
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan
1-tan αtan β
αtan β) ,且对任意角α,β都成立.( )
(4)公式a sin x +b cos x =a +b sin(x +φ) 中φ的取值与a ,b 的值无关.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) 3
A .-2 1
C .-2
3
B. 2 1D. 2
D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=1sin(20°+10°) =sin 30°=2,故选D.]
1
3.若tan θ=-3cos 2θ=( ) 4A .-51C. 51B .-54D. 5
cos 2θ-sin 2θ1-tan 2θ
D [∵cos 2θ==.
cos θ+sin θ1+tan θ11-9
14
又∵tan θ=-3,∴cos 2θ=151+9
4.(2017·云南二次统一检测) 函数 f (x ) =3sin x +cos x 的最小值为________.
⎛π-2 [函数f (x ) =2sin x +6的最小值是-2.]
⎝⎭
5.若锐角α,β满足(1+3tan α)(1+3tan β) =4,则α+β=________.
π
3 [由(13tan α)(1+3tan β) =4, tan α+tan β
=3,即tan(α+β) =3.
1-tan αtan β
π
又α+β∈(0,π),∴α+β=3
sin 2α-2cos 2α
(1)化简:
π=________. 【导学号:51062114】 ⎛
sin α-4⎝⎭
1
2cos 4x -2cos 2x +2
(2)化简:
⎛π⎫2⎛π⎫2tan 4-x ⎪sin 4+x ⎪
⎝⎭⎝⎭
2sin αcos α-2cos 2α
(1)22cos α [原式==22cos α.]
2
2sin α-cos α)
1
-2sin 2x cos 2x +2
(2)原式=
π⎫2⎛π⎫2sin 4-x ⎪cos 4-x ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛π⎫cos 4x ⎪⎝⎭
1122
1-sin 2x )22cos 2x 1=x .
⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫22sin 4-x ⎪cos 4-x ⎪sin 22x ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
[规律方法] 1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,最常见的是“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.
2.三角函数式化简的方法
弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
π⎫1π⎛
[变式训练1] (2017·浙江镇海中学测试卷一) 已知tan α+4⎪=2,且-2
⎝⎭2sin 2α+sin 2α
则
π=( ) ⎛
cos α-4⎝⎭
25
A .-5 10C .-10
35B .-1055
2sin 2α+sin 2α2sin α(sin α+cos α)π⎫1⎛
α+4⎪=,A [22sin α,由tan 得tan
π⎫⎝⎭2⎛2
cos α-4⎪⎝⎭2sin α+cos α)ππ⎛
tan α+4-tan 4
ππ⎝⎭1⎡⎛α+ ⎢-α=tan ⎝=-3,即3sin α=-cos α, 4⎭4⎦=π⎫⎣π⎛
1+tan α+4⎪tan 4
⎝⎭
10
又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=10 π10而-2
故π5.] ⎛
cos α-4⎝⎭
☞角度1 给角求值
(1)
1
A. 2 C. 3
2cos 10°-sin 20°
=( )
sin 70°
3B. 2 2
(2)sin 50°(1+3tan 10°) =________. (1) C
(2) 1
[(1)
原
式
=
2cos (30°-20°)-sin 20°
=
sin 70°
2(cos 30°·cos 20°+sin 30°·sin 20°)-sin 20°
sin 70°
3cos 20°
=cos 20°3. (2)sin 50°(1+3tan 10°) sin 10°⎛⎫
1+⎪ =sin 50°cos 10°⎝⎭=sin 50°×
cos 10°+3sin 10°
cos 10°
⎛1⎫3
⎪2 +sin 10°
2⎝2⎭
=sin 50°×
cos 10°=
2sin 50°·cos 50°sin 100°cos 10°
1.]
cos 10°cos 10°=cos 10°
☞角度2 给值求值
⎛π⎫3
(1)若cos 4-α⎪=5sin 2α=( )
⎝⎭
7
A. 25 1C .-5
1B. 5 7D .-25π⎫⎛α+ (2)(2017·浙江金华十校联考) 已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin 3⎪⎝⎭=( )
A. 1+35
8
B. 1+38
1-35C. 8⎛π⎫3-α ⎪=, (1) D (2) A [(1)∵cos 4⎝⎭5
1-3
8
97⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫
∴sin 2α=cos 2-2α⎪=cos 2 4α⎪=2cos 2 4-α⎪-1=2×251=-25⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)由7sin α=2cos 2α得7sin α=2(1-2sin 2α) ,即4sin 2α+7sin α-2=0,∴π⎫1111515⎛
α+sin α=-2(舍去) 或sin α=4∵α为锐角,∴cos α=4∴sin =×+43⎪⎝⎭4231+35
×28A.] ☞角度3 给值求角
510
已知sin α=5sin(α-β) =-10,α,β均为锐角,则角β等于
( )
5πA. 12 πC. 4πB. 3 π6
ππ
C [∵α,β均为锐角,∴-2<α-β<210310
又sin(α-β) =-10,∴cos(α-β) =10. 525
又sin α=5,∴cos α=5, ∴sin β=sin [α-(α-β)]
=sin αcos(α-β) -cos αsin(α-β) 531025⎛210⎫
==5105 -
⎝10⎭2π∴β=4.]
[规律方法] 1. “给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角,应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.
2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,最后确定角.
2
2x - ⎪,x ∈R . 已知函数f (x ) =sin x -sin
⎝6⎭(1)求f (x ) 的最小正周期;
⎡ππ(2)求f (x ) 在区间⎢-3,4上的最大值和最小值.
⎣⎦[解] (1)由已知,有
π⎛2x -
31-cos 2x 1-cos ⎝⎭
f (x ) =221⎛1⎫13
=2 cos 2x +sin 2x ⎪-2x
2⎝2⎭π⎫311⎛
=4x -4cos 2x =2sin 2x -6⎪.
⎝⎭2π
所以f (x ) 的最小正周期T 2=π.6分 π⎡π
-,-⎢(2)因为f (x ) 在区间3上是减函数, 6⎣⎦⎡ππ⎤
在区间⎢-6,4⎥上是增函数,
⎣⎦
1⎛π1⎛π⎫3⎛π-- ⎪且f 3=-4,f 6=-2,f 4=4, ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
31⎡ππ所以f (x ) 在区间⎢-34上的最大值为42分
⎣⎦
[规律方法] 1. 进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如y =a sin x +b cos x 化为y =a +b sin(x +φ) ,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
[变式训练2] (1)(2016·山东高考) 函数f (x ) =(3sin x +cos x 3cos x -sin x ) 的最小正周期是( )
π
A. 2 3πC. 2B .π D .2π
(2)(2014·全国卷Ⅱ) 函数f (x ) =sin(x +φ) -2sin φcos x 的最大值为________.
【导学号:51062115】
(1) B (2) 1 [(1)法一:∵f (x ) =(3sin x +cos x )(3cos x -sin x ) ⎛3⎫⎛3⎫11
=4 sin x +x ⎪ x -sin x ⎪
22⎝2⎭⎝2⎭π⎛π⎫⎛π⎛
=4sin x +6⎪cos x +6=2sin 2x +3,
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2π∴T =2=π.
法二:∵f (x ) =(3sin x +cos x )(3cos x -sin x ) =3sin x cos x +3cos 2x 3sin 2x -sin x cos x =sin 2x +3cos 2x π⎫⎛
=2sin 2x +3⎪,
⎝⎭2π
∴T =2=π. 故选B.
(2)f (x ) =sin(x +φ) -2sin φcos x =sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x =sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x -φ) . ∴f (x ) max =
1.]
[思想与方法]
三角恒等变换的三种变换角度
(1)变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系.常用的拆角、拼角方法是:
α+βα-βα-β⎛β⎛α⎫
2α=(α+β) +(α-β) ,α=(α+β) -β,β=222= α+2- 2β⎪.
⎝⎭⎝⎭
(2)变名:尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”,“升幂与降幂”“1”的代换等.
(3)变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等. [易错与防范]
1.三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施.求角的某一三角函数值时,应选择在该范围内是单调函数,若已知正切函数值,则选正切函数;否则,若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角⎛ππ⎫
的范围为 -2,2⎪,选正弦较好.
⎝⎭
2.计算形如y =sin(ωx+φ) ,x ∈[a ,b ]形式的函数最值时,不要将ωx+φ的范围和x 的范围混淆.
课时分层训练(十九)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)
一、选择题
π2⎛
1.已知sin 2α=3,则cos 2 α+4等于( )
⎝⎭1
A. 6 1
C. 2
1
B. 3 2D. 3
π⎫⎛
α+4⎪1+cos 2π⎫⎝⎭2⎛A [因为cos α+4⎪=2⎝⎭
π2⎛
1+cos 2α+21-sin 2α1-3
⎝⎭1
====
2226,故选A.] 2.
cos 85°+sin 25°cos 30°
( )
cos 25°
3
A .-21C. 23
sin 5°+2sin 25°
C [原式=cos 25°
2B. 2 D .1
31
sin (30°-25°)+2sin 25°2cos 25°
1
=cos 25°cos 25°2x x x
3.(2017·杭州二次质检) 函数f (x ) =3sin 2cos 2+4cos 2(x ∈R ) 的最大值等于
( )
A .5 5C. 29B. 2D .2
9
4+4+2=
1+cos x 33
B [由题意知f (x ) =2x +4×2x +2cos x +2≤
29
,故选B.] 2
37⎡ππ4.(2017·浙江模拟训练卷(三)) 若θ∈⎢42,sin 2θ=8sin θ=
⎣⎦
( ) 【导学号:51062116】
3
A. 5 7C. 44B. 5 3D. 4
⎡ππD [由θ∈⎢42,得sin θ≥cos θ>0,则sin θ+cos θ=1+sin 2θ=
⎣⎦9+67+73+7
=4sin θ-cos θ=1-sin 2θ=163
式相加得sin θ=4⎪a
5.定义运算⎪
⎪c
b ⎪1⎪sin α sin β⎪33⎪=ad -bc . 若cos α=,⎪⎪
7⎪cos α cos β⎪=14,0<β<αd ⎪
9-67+737
4,两16
π
<2,则β等于( )
πA. 12 πC. 4πB. 6 π3
33π
D [依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β) =140<β<α<20π
<α-β<2,
13
故cos(α-β) =1-sin (α-β)=14 143
而cos α=7sin α=7, 于是sin β=sin [α-(α-β)] =sin αcos(α-β) -cos αsin(α-β) 313133π=7147142故β=3二、填空题
sin 250°6. ________. 1+sin 10°
1-cos 100°1sin 250°
21+sin 10°2(1+sin 10°)=
1-cos (90°+10°)1+sin 10°1
==.]
2(1+sin 10°)2(1+sin 10°)2
7.(2017·浙江模拟训练卷(四)) 已知函数f (x ) =4cos 2x +(sin x +3cos x ) 2,则π⎡
函数f (x ) 的最小正周期为________,当x ∈⎢0,4时,函数f (x ) 的值域为________.
⎣⎦
【导学号:51062117】
π [43,4+23] [f (x ) =7cos 2x +sin 2x +23sin x cos x =1+3(1+cos 2x ) π⎛
3sin 2x =4+23sin 2x +3,故函数f (x ) 的最小正周期为π.
⎝⎭
ππ⎡π5π⎡
∵x ∈⎢0,4,∴2x +3⎢36,
⎣⎦⎣⎦π⎫1⎛
2x + ∴2≤sin ≤1, 3⎪⎝⎭
∴43≤f (x ) ≤4+23,故函数f (x ) 的值域为[4+3,4+23].] 82+2cos 8+21-sin 8=________. -2sin 4 [2+2cos 8+21-sin 8 2(1+cos 8)+21-2sin 4cos 4 2×2cos 4+2(sin 4-cos 4) =-2cos 4+2(cos 4-sin 4)=-2sin 4.] 三、解答题
αα6⎛π⎫
9.已知α∈ 2,π⎪,且sin cos =.
222⎝⎭(1)求cos α的值;
3⎛π⎫
(2)若sin(α-β) =-β∈ 2π⎪,求cos β的值.
5⎝⎭
αα61π
[解] (1)因为sin 2cos 2=2,两边同时平方,得sin α=2又2<α<π,所3
以cos α=-2.6分
ππ
(2)因为2<α<π,2β<π,
πππ
所以-π<-β2,故-2<α-β<2.10分 34
又sin(α-β) =-5,得cos(α-β) =5cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β) +sin αsin(α-β) 43+3341⎛3=-252 -5=-10分
⎝⎭π⎛
1-2sin 2x -4⎝⎭
10.已知函数f (x ) =cos x (1)求函数f (x ) 的定义域;
4
(2)设α是第四象限的角,且tan α=-3f (α) 的值. 【导学号:51062118】 [解] (1)要使f (x ) 有意义,则需cos x ≠0,
⎧⎪⎪π
∴f (x ) 的定义域是⎨x ⎪x ≠k π+2k ∈Z
⎪⎩⎪
⎫⎪
⎬.6⎪⎭
分
⎛2⎫2
1-2 x -cos 2x ⎪
2⎝2⎭
(2)f (x ) =cos x 1+cos 2x -sin 2x 2cos 2x -2sin x cos x =
cos x cos x =2(cos x -sin x ).10分
44
由tan α=-3sin α=-3α. 又sin 2α+cos 2α=1,且α是第四象限角, ∴cos 2α=
934,则cos α=sin α=-2555
⎛3414
故f (α) =2(cos α-sin α) =2 5+5=5分
⎝⎭
B 组 能力提升 (建议用时:15分钟)
cos 2α2
1.若
π⎫=-2,则cos α+sin α的值为( ) ⎛
sin α-4⎪⎝⎭7
A .-21C. 2cos 2α-sin 2αcos 2α
C [∵π2⎛
sin α-4⎝⎭2sin α-cos α)
21
2(sin α+cos α) =-2sin α+cos α=2π⎫1⎛⎛π⎫
2.(2017·浙江名校(柯桥中学) 交流卷三) 若cos α-3⎪=3,则sin 6α⎪的值
⎝⎭⎝⎭π⎛
2α+是________;cos 的值是________. 3⎝⎭
17⎡π⎛π⎫⎤⎛π⎫
α⎪⎥ [sin 6+α⎪=cos ⎢2 ⎝6⎭⎦39⎝⎭⎣π1⎛π⎫⎛
=cos 3α⎪=cos α-3=3
⎝⎭⎝⎭
1
B .-2 72
π2π⎛⎛
cos 2α+3=-cos 2α-3=1-2· ⎝⎭⎝⎭π7⎛
cos 2 α-3=9.]
⎝⎭
⎛π3.已知函数f (x ) =2sin x sin x +6.
⎝⎭
(1)求函数f (x ) 的最小正周期和单调递增区间;
π⎡
0,(2)当x ∈⎢时,求函数f (x ) 的值域. 【导学号:51062119】 2⎣⎦
1-cos 2x 1π⎫⎛3⎫1⎛
[解] (1)f (x ) =2sin x sin x +x ⎪=3×x =sin 2x -3⎪
22⎝⎭2⎝2⎭3
+2所以函数f (x ) 的最小正周期为T =π.3分 πππ
由-2+2k π≤2x -32+2k π,k ∈Z , π5π
解得-12+k π≤x ≤12+k π,k ∈Z ,
5π⎡π⎤
所以函数f (x ) 的单调递增区间是⎢-12k π,12k π⎥,k ∈Z .8分
⎣⎦ππ⎡π2π⎡
(2)当x ∈⎢0,2时,2x -3∈⎢-3,3,
⎣⎦⎣⎦π⎫⎡⎤3⎛
sin 2x -3⎪∈⎢,1⎥,12分 ⎝⎭⎣2⎦⎡3⎤f (x ) ∈⎢0,1+.
2⎦⎣
⎡3⎤
故f (x ) 的值域为⎢0,1+.15分
2⎦⎣