课时1-万有引力知识点

课时1 万有引力

一、 考试范围与要求

Ⅰ. 对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用。与课程标准中的“了解”和“认识”相当。

II ．对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用。与课程标准中的“理解”和“应用”相当。

二、 重要知识点

1. 开普勒行星运动规律

a 行星轨道视为圆处理 则 2=K （K 只与中心天体质量M 有关） T

理解：

（1）K 是与太阳质量有关，与行星无关的常量。由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似的计算中，可以认为行星都是以太阳为圆心做匀速圆周运动，在这种情况下，a 可代表轨道半径。

(2)开普勒第三定律不仅适用于行星，也适用于卫星，此时 a 3 /T2 ＝k ′，比值k ′是由行星的质量所决定的常量，与卫星无关。

K 与k ′都只与中心天体有关。 3

2. 万有引力定律

内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

公式：F ＝G m 1m 2

r 2, 其中G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2，叫做引力常量。引力恒量G

的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力。

适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

说明:

(1)对万有引力定律公式中各量的意义一定要准确理解，尤其是距离r 的取值，一定要搞清它是两质点之间的距离。质量分布均匀的球体间的相互作用力，用万有引力公式计算，式中的r 是两个球体球心间的距离。

(2)不能将公式中r 作纯数学处理而违背物理事实，如认为r →0时，引力F →∞，这是错误的，因为当物体间的距离r →0时，物体不可以视为质点，所以

Gm 1m 2公式 F ＝r 就不能直接应用计算。

(3)物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反的，遵循牛顿第三定律，因此谈不上质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力，更谈不上相互作用的一对物体间的引力是一对平衡力。

（4）经典力学的局限性:牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题，不适用于高速运动问题，不适用于微观世界。

3. 万有引力定律的应用

（天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R , 轨道半径r ，距离地面的高度h ，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度a n ，卫星运行周期T ）

解决天体(卫星) 运动问题的两种基本思路:

一是把天体(或人造卫星) 的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供, 即

Mm v 24π2r 2G 2=m a 向=m =m ωr =m 2r r T

二是地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力, 即 Mm G 2=mg ，从而得出GM =gR 2 (黄金代换，不考虑地球自转) R

3.1

)

人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h）

GM ，r 越大，v 越小； r

GM ，r 越大，ω越小； ω=3r v =

4π2r 3

，r 越大，T 越大； T =GM GM a n =2r ，r 越大，a n 越小。

3.2 用万有引力定律求中心星球的质量和密度

求质量

M m gR 2①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：mg = G2→M = R G ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公转周期为T ，两星球相距r ，

GMm mv 2⎛2π⎫由万有引力定律有：2==mr ⎪， r r ⎝T ⎭2

v 2r 4π2r 3

=可得出中心天体的质量：M = G GT 2

求中心天体的质量的基本思路：

(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ; 就可以求出中心天体的质量M 。

(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的表面重力加速度g 和半径R 就可以求出中心天体的质量M 。 求密度

M M ρ

==V 4πR 3/3

在天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力（重力是万有引力的一个分力）

地面物体的重力加速度：mg = GM m 2R Mm 高空物体的重力加速度：mg = G(R +h ) 2

3.3 万有引力和重力的关系

一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。星球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力。

讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况：物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg =G

的增大而减小。

3.4 双星

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星。

Mm M ，所以重力加速度，可见，g 随h g =G 22(R +h ) (R +h )

（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得r ∝1，得r 1=m m 2m 1L , r 2=L ，即固定点离质m 1+m 2m 1+m 2

量大的星较近。

注意：万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r 1、r 2，千万不可混淆。

求解双星问题的基本技巧和方法:

抓住双星的角速度(周期) 相等，绕行的向心力大小相等，以及双星间的距离和轨道半径的几何关系是解决此类问题的关键，概括为“四个相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力定律和牛顿第二定律求解。

4. 三种宇宙速度

1）三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为运行速度。

2）第一宇宙速度（环绕速度）既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度, v 1=7.9km/s。

3）第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小

发射速度。

4）第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小

发射速度。

说明:

1）第一宇宙速度是卫星在星球（地球）表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，是所有围绕星球（地球）做圆周运动的卫星所具有的最大的线速度。理解第一宇宙速度，要抓住两个要点：

一是“在星球表面附近”，卫星的轨道半径r 与星球的半径R 相等；

Mm v 2

1 二是“匀速圆周运动”，卫星所受的向心力由万有引力提供，即G 2m ，R r

GM Mm G 2mg ，故v 1＝gR 。 R R

地球的第一宇宙速度约为v 1＝7.9 km/s，月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s。 故v 12）第二宇宙速度是指在星球（地球）表面附近发射飞行器，使其克服该星球（地球）的引力永远离开该星球所需的最小速度，也是能绕该星球做椭圆运动的卫星在近地点的最大速度。地球的第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s。

3）第三宇宙速度是指在星球（地球）表面附近发射飞行器，能够使其挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度．地球的第三宇宙速度v 3＝16.7 km/s。

4）三种宇宙速度的对比

以地球为例，三种宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示。（注：三种宇宙速度是指卫星发射的速度，而不是在轨道上的运行速度）

当卫星在地面附近做圆周运动时，其运行速度即为第一宇宙速度7.9 km/s； 当卫星在地面附近的速度（发射时）介于7.9～11.2 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道绕地球运动；

当卫星在地面附近的速度（发射时）介于11.2～16.7 km/s之间，则卫星沿椭圆轨道飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；

当卫星在地面附近的速度（发射时）超过16.7 km/s，则卫星能飞出太阳系成为太阳系外的卫星。

5. 绕地球转的几种卫星

高考中就会涉及两种卫星：近地卫星和同步卫星

1）近地卫星

近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，

3其线速度大小为v 1 = 7.9×10m/s； R

其周期为

×103s = 84min。 它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s，周期约90min 。

2）同步卫星

“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），五个一定： 1轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面（即卫星在赤道正上方） ○。 2周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h 。 ○

3角速度一定：与地球自转的角速度相同，方向一致即由西向东。

○

4高度一定： ○

由 同步卫星离地面的高度

≈3.6×107 m.

≈3.1×103 m/s. h ＝5速率一定：v

＝ ○

3）同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别

（1）同步卫星

“同步”的含义是它绕地心匀速圆周运动的角速度跟地球自转的角速度相同，且圆轨道平面跟赤道平面重合，即静止在赤道正上方。

万有引力为它提供向心力，其向心加速度等于轨道处的重力加速度，比地面处的重力加速度小的多，运行周期T ＝24小时。

（2）近地卫星

近地卫星由于离开了地球，它只受到一个万有引力的作用，万有引力全部充当向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a ＝g 。

近地卫星的线速度为第一宇宙速度7.9 km/s，远大于地面赤道上物体的速度．其运行周期T ＝84 min，远小于地球同步卫星的周期，运行速度远远快于同步卫星和地球自转。

（3）赤道上的物体

物体在赤道上随地球自转时受到两个力的作用，一个是万有引力，另一个是地面对物体的支持力，其合力提供了物体做圆周运动的向心力，即

Mm G 2 - FN ＝ man = mω2R(FN ＝mg) ． R 由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度，因此在近似计算中常忽略地球自转影响，而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等。但在研究它随地球的自转而做匀速圆周运动时，应另当别论，此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周期24小时及地球半径。

通过以上讨论可以看出，放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别。 首先两者的受力不同：赤道上的物体受到的万有引力只有一小部分充当向心力，绝大多数作为重力使得物体紧压地面；近地卫星受到的万有引力全部充当向心力。

它们的运动周期和速度也不同，并且有很大的差异。赤道上的物体相对地球保持静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态。

6. 人造天体的运动相关基础知识

1）卫星的绕行角速度、周期与高度的关系

（1）由G mM v 2=m ，得

v =h ↑，v ↓ r +h GM (r +h )mM 2（2）由G r +h mM 2=m ω2（r+h），得ω=(r +h )3，∴当h ↑，ω↓ 4π24π2(r +h )3=m 2(r +h )，得T=（3）由G ∴当h ↑，T ↑ 2GM T (r +h )

2）卫星的超重和失重

（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重。

（2）卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重。

3）处理人造天体问题的基本思路:

由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心。解关于人造卫星问题的基本思路：

① 视为匀速圆周运动处理；

② 万有引力充当向心力；

③ 根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；

④ 利用代换式gR 2=GM推导化简运算过程。

注意： ①人造卫星的轨道半径与它的高度不同。

②离地面不同高度，重力加速度不同。

7. 相关材料

1）人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论

当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v （此即为发射速度），卫星距离地心为r, 并设此时速度与万有引力垂直，则F G 万Mm ，若卫星以v 绕地球做圆周r 2

v 运动，则所需要的向心力为：F 向＝m r 2

①当F 万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求

出此时的发射速度v ＝7.9 km/s。

②当F 万＜F 向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，

卫星动能转化为引力势能（神州五号即属于此种情况）。

③当F 万＞F 向时，卫星在引力作用下，向着地心做椭圆运动，若此时发生在最

近轨道，则v ＜7.9 km/s，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件。

2）人造卫星如何变轨

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。

以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：在轨道远点，万有引力F A ＞v v m ，要使卫星改做圆周运动，必须满足F A ＝m 和F A ⊥v ，在远点已满足了F A r r 22

v ⊥v 的条件，所以只需增大速度，让速度增大到m ＝F A ，这个任务由卫星自带r 2

的推进器完成。

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道。“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。

3）人造天体在运动过程中的能量关系

当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。反之，如果

人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，

在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为E K =G M m ，由于重力加速度2r g 随高度增大而减小，所以重力势能不能再用E k =mgh GMm （以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m r

GMm 。同样质量的卫星，轨2r 计算，而要用到公式E P =-为卫星质量，r 为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为E =-

道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。