5-6 开环对数频率特性和时域指标
5-6 开环对数频率特性和时域指标
根据系统开环对数频率特性对系统性能的不同影响，将系统开环对数频率特性分为三个频段。即低频段、中频段和高频段。
一、 低频段
低频段通常是指开环对数幅频特性的渐近曲线在第一个交接频率以前的频段，这一频段完全由开环传递函数中的积分环节和放大环节所决定。低频段的对数幅频为
20lg G (j ω) H (j ω) =20lg K
ωv =20lg K -v ⨯20lg ω (5-32)
式中v 为开环传递函数中的积分环节数。根据式(5-32)及积分环节数，就可作出开环对数幅频特性曲线的低频段，如图5-39所示。
若已知低频段的开环对数幅频特性曲线，则很容易得到K 值和积分环节数v ，故低频段的频率特性决定了系统的稳态性能。
二、中频段
中频段是指开环对数幅频特性曲线截止频率ωc 附近的频段。 这决定系统的稳定程度，即决定系统的动态性能。
设有二个系统，均为最小相位系统，它们的开环对数幅频特性曲线除中频段的斜率不同(即一个为-20dB/dec,另一个为-40dB/dec) 之外， 其余低频、 高频段均相同。并且中频段相当长，如图5-40 所示。
显然，系统(a)有将近90°的相裕量，而系统(b)则相裕量很小。
假定另有二个系统， 均为最小相位系统， 开环对数幅频特性曲线除中频段 (斜率为 -20 dB/dec ) 线段的长度不同外， 其余部分完全相同， 如图 5-41 所示。 显然， 中频段线段较长的系统 (a) 的相裕量将大于中频段线短的系统(b)。
可见，开环对数幅频特性中频段斜率最好为-20dB/dec，而且希望其长度尽可能长些，以确保系统有足够的相角裕量。如果中频段的斜率为-40dB/dec时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相裕量会很小；若中频段斜率更小(如-60dB/dec)，系统就难以稳定。另外，截止频率ωc 越高，系统复现信号能力越强，系统快速性也就越好。
三、 高频段
高频段是指开环对数幅频特性曲线在中频段以后的频段(一般ω>10ωc 的频段) 。这部分特性是由系统中时间常数很小的部件所决定。由于它远离截止频率ωc ，一般幅值分贝数较低，故对系统动态性能(相裕量) 影响不大。另外，由于高频段的开环幅值较小，故对单位反馈系统有
(j ω) =
G (j ω) +G (j ω) ≈G (j ω)
该式表明，闭环幅值近似等于开环幅
值。因此，系统开环对数幅频特性在高频段
的幅值，直接反映了系统对输入端高频干扰
的抑制能力。所以，高频段的分贝数值愈低，系统的抗干扰能力愈强。
图5-42为典型的一型高阶系统开环对数幅频特性曲线的三个频段的划分。
应当指出，三个频段的划分并没有严格的确定准则，
但是三个频段的概念为直接运用开
环频率特性来判别、估算系统性能指出了方向。
四、 从相裕量γ估算时域指标
相裕量γ是在频域内描述系统稳定程度的指标，而系统的稳定程度直接影响时域指标σ%和t s ，因此，γ必定与σ%和t s 存在内在联系。
1、 二阶系统的时域指标 二阶系统的相裕量与时域指标间有确定的关系。分析图5-43所示二阶系统，其开环传递函数
2ωn G (s ) =s (s +2ξωn )
=
s (ωn 2ξ1
2ξωn s +1)
其开环对数幅频特性曲线如图5-44所示。
二阶系统的结构参量ξ、ωn ，在时域分析中已建立了与时域指标间的关系式，即 σ%=e -ξπ/t s =3. 5-ξ2⨯100%
ξωn
t p =π
ωn -ξ2
式中自然频率ωn 可从渐近对数幅频曲线上确定。
在图5-44中，斜率为-40dB/dec的线段(或其延
长线) 与零分贝的交点即为ωn 。因为该点频率恰好
是2ξ
ωn 和ωn /2ξ频率的几何平均值。 下面求解γ与ξ的关系式：
根据相裕量的定义
式，即
γ=180︒+∠G (j ωc ) =90︒-ωc 2ξωc (5-33)
当开环幅频等于1。即G (j ωc ) =1，得
ωc =ωn
将上式代入(5-33)式，得 +4ξ4-2ξ2
γ=2ξ
+4ξ-2ξ42 (5-34)
根据式(5-34)绘制γ-ξ曲线，如图5-45所示。由图可见，γ越大，ξ也越大；γ越小，ξ就越小。要想得到满意的动态过程，一般γ取值范围在30︒~70︒之间。
由开环对数幅频特性求时域指标的方法：首先从开环对数幅频特性曲线上求得ωn 和γ值，然后根据γ值查图5-45获得ξ值，最后由ξ值查图3-14便可得到σ%；将ωn 、ξ值代入式(3-16)和(3-18)分别求得t p 和t s 。
2
对于高阶系统，γ毕竟只是比较简单的一项指标，它不能
完全概括千变万化的频率特性形状。γ相同的系统，频率特性
未必完全相同，因此时域指标也不会一样。所以在高阶系统中，
γ与时域指标之间没有确定的函数关系。但是，通过对大量系
统的研究。可归纳出下面两个近似的计算公式 σp =0. 16+0. 4
⎛1⎫-1⎪⎪, sin γ⎝⎭ (5-35) 35︒≤γ≤90︒
πt s =ωc 2⎡⎛1⎫⎛1⎫⎤⎢2+1. 5 sin γ-1⎪⎪+2. 5 sin γ-1⎪⎪⎥ ⎢⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦ (5-36) 根据以上公式绘制成曲线如图5-46所示。 应当指出，根据计算公式或查图5-46所得结果，当γ较小时，比较接近实际系统，即准确度就高；而当γ较大时，近似程度较差，准确度就低。