题目双曲线
知识点归纳 1双曲线定义：
①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹
（PF 1-PF 2=2a
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1) 时，这个动点的轨迹是双曲线l 叫做双曲线的准线 2： ⑴实轴长A 1A 2=2a ，虚轴长2b, 焦距F 1F 2=2⑵顶点到焦点的距离：
A 1F 1=A 2F 2=c -a ，A 1F 2=A 2F 1=a +c
⑶顶点到准线的距离：
A 1K 1=A 2K 2= a -
a a
；A 1K 2=A 2K 1= a + c c
22
⑷焦点到准线的距离：
a 2a 22a 2
F 1K 1=F 2K 2= c -
或
F 1K 2=F 2K 1=c +
c c c
⑹∆PF 1F 2中结合定义PF 1-PF 2=2a 与余弦定理cos ∠F 1PF 2，将有关线段PF 1、
PF 2、F 1F 2和角结合起来，S ∆MF 1F 2=
b 2tan
2
(其中∠F 1MF 2=θ) PF 1PF 2A 1F 1A 2F 2c =====1，+∞） ⑺离心率：
e =
PM 1PM 2A 1K 1A 2K 2a ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b 2b 2b 2b 2
⑼通径的长是，焦准距，焦参数a c a 22其中c =a +b 1-PF 2=2a 3双曲线标准方程的两种形式：
y 2x 2
①2－2=1，c =a 2+b 2，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） a b y 2x 2
②2－2=1，c =a 2+b 2，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） a b
y 2x 2
42－2=1（a ＞0，b ＞0）
a b
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）
⑷渐近线：
x 2y 2x 2y 2b
①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y =±x
a a b a b
x y x 2y 2b
②若渐近线方程为y =±x ⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ
a b a a b
x 2y 2x 2y 2
③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，
a b a b
λ
④特别地当a =b 时⇔离心率e =2⇔两渐近线互相垂直，分别为y=±x ，此时双曲
线为等轴双曲线，可设为x 2-y 2=λ；y =
b b x ，y =－x a a
2
a a 2a 2
⑸准线：l 1：x =－，l 2：x =，两准线之距为K 1K 2=2⋅
c c c
a 2
⑹焦半径：PF 1=e (x +) =ex +a ，（点P 在双曲线的右支上x ≥a ）；
c a 2
PF 2=e (-x ) =ex -a ，（点P 在双曲线的右支上x ≥a ）；
c
当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）
x 2y 2x 2y 2
⑺与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0a b a b x 2y 2x 2y 2
-=1⑻与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2
a b a +k b 2-k
题型讲解
例1 根据下列条件，求双曲线方程：
x 2y 2
-=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）（1）与双曲线； 916
y 2x 2
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）164
y 2x 2
分析：设双曲线方程为2－2=1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b
a b
的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程y 2x 2
解法一：（1）设双曲线的方程为2－2=1，
a b
⎧b 4=⎪⎪a 3
由题意，得
⎨ 22
⎪(-3) -=1⎪16⎩9
解得a 2=
9
，b 2=4 4
y 2x 2
所以双曲线的方程为－=1944
y 2x 2
（2）设双曲线方程为2－2=1
a b
由题意易求c
又双曲线过点（32，2），
4(32) 2
∴－=122
b a
又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8
y 2x 2
故所求双曲线的方程为－=1128
y 2x 2
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
9161
将点（－3，2）代入得λ＝，
422
y x 所以双曲线方程为－916y 2x 2
（2）设双曲线方程为－＝1，
16-k 4+k
y 2x 2
将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为－＝1128
点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）例2 设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围分析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围
|y |
解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得=2，
|x |
即y =±2x （x ≠0 ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线， 从而得 ||PM |－|PN ||0， ∴0
因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上y 2x 2
故2－2
m 1-m
②
2
m 2(1-m 2)
将①代入②，并解得x =， 2
1-5m
22
∵1－m >0，∴1－5m >0
解得0
5
即m 的取值范围为（－，0）∪（0，）
55
评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力例3 已知α∈[0,π], 设讨论随α值的变化，方程x 2sin α+y2cos α=1表示的曲线形状解：(1)α=0时，两直线y=1和y= ─1;
(2)α=π/2时，两直线x=1和x=─1; (3)0
(4)α=π/4时，半径为2的圆;
(5)π/4
(2)双曲线的右焦点F 的轨迹方程;
(3)过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程解：(1)依题意，2a=b+c, ∴b 2=(2a─c)2 = c2─a2, 5a 2─4ac=0,
两边同除以a 2, 得e =
5; 4
(2)设双曲线的右焦点F(x,y), 由双曲线的定义，点M 到右焦点的距离与点M 到准线
的距离之比为e=
5, 4
(x -1) 2+(y -2) 25 ∴=,
41-0
∴F 的轨迹方程为(x─1)2+(y─2)2(3)设Q(x,y), 点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4, ∴|QF|=
5x , 4
QF 5x 5
=: = x , FM 44
x +x ⨯12x y +x ⨯22x +y ∴x 1== , y1== ,
1+x 1+x 1+x 1+x
25
代入(x1─1)2+(y1─2)2=整理得：
16
又设点F(x1,y 1), 则点F 分线段QA 的比为点Q 的轨迹方程为 9x 2─16y2+82x+64y─55=0x 2
-y 2=1, 直线l 通过其右焦点F 2，且与双曲线的右支例5 已知双曲线的方程为4
交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F1A|²|F1B|的最小值解：设A(x1,y 1),B(x2,y 2),
a 2444
A 到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+，
c 5|AF 1|由双曲线的定义，=e=,
d 245
∴|AF1|=(x1+)=x 1+2,
225
x 2+2, 2
5∴|F1A|²|F1B|=(x 1+2)(x 2+2)=x 1x 2+5(x1+x2)+4 (1)
422
双曲线的右焦点为F 2(,0),
同理，|BF1|=
(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5) ，
⎧y =k (x -) ⎪由⎨x 2消去y 得 (1─4k2)x 2+8k 2x─20k2─4=0,
2
⎪-y =1⎩4
20k 2+48k 2
∴x 1+x2=, x 1x 2= ─, 22
4k -14k -1
代入(1)整理得
40k 225k 2+565k 2+5
+|F1A|²|F1B|=+4=+4 222
4k -14k -14k -1
185
65(k 2-) +
8544+4=81+= 22
44(4k -1) 4k -1
81
∴|F1A|²|F1B|>;
4
1
(2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,
2
1981
∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|²|F1B|=
224
由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F1A|²|F1B| 例6 2416x 2－9y 2=144
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小y 2x 2
解：（1）由16x －9y =144得－=1，
916
2
2
∴a =3，b =4，c =5F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =
54，渐近线方程为y =±x 33
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2
（2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=
2|PF 1||PF 2|
(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|236+64-100== =02|PF 1||PF 2|64
∴∠F 1PF 2=90例7 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是
y 2x 2
与点P 位置无关的定值C ′：2－2=1写出具有类似特性的性质，并加以
a b
证明y 2x 2
解：类似的性质为若MN 是双曲线2－2=1上关于原点对称的两个点，点P 是双
a b
曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 设点M 的坐标为（m ，n ）， 则点N 的坐标为（－m ，－n ），
m 2n 2
其中2－2=1a b
又设点P 的坐标为（x ，y ），
y -n y +n
，k PN =， x -m x +m
y -n y +n y 2-n 2
得k PM ²k PN =²=，
x -m x +m x 2-m 2
22
22b 222b 22
将y =2x －b ，n =2m －b ，代入得 k PM ²k PN a a 由k PM =
点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求小结：
（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：
（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；
（2）已知渐近线的方程bx ±ay =0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上2别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错
34, 注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题; 注意参量的个数及转化; 养成化简整理的习惯学生练习
1动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切, 则动圆圆心轨迹是 ( ) A 圆 椭圆 C 双曲线 D 双曲线的一支 答案: D: 外切条件: d =r 1+r 2
x 2y 2
2已知F 1, F 2是双曲线2-2=1, (a >b >0) 的左、右焦点, 过F 1且垂直于x 轴的直线
a b
与双曲线的左支交于A 、B 两点, 若∆ABF 2是正三角形, 那么双曲线的离心率为 ( )
A 2 答案: B
C 2 D 3
x 2
-y 2=1有公共渐进线的双曲线是 ( ) 3过点(2 -2) 且与双曲线2
y 2x 2x 2y 2y 2x 2x 2y 2
-=1 B -=1 C -=1 D -=1 A 24424224
x 2
-y 2=λ, 代入求λ 答案: A: 设2x 2y 2
-=1上一点P 到它的右焦点距离是8, 那么点P 到它的右准线的距离4如果双曲线
6436
是( )
A 10 B 32327
C 27 D
57
答案: D解析: 点P 右支上x 2
-y 2=1的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点, 直线PQ 过F 2, 5已知F 1, F 2是双曲线2
且倾斜角为α, 则PF 1+QF 1-的值为 ( )
A 42 8 C 22 D 随α的大小变化 答案: A解析: 用双曲线定义列方程可解
6 过双曲线2x 2-y 2-2=0的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点, 若AB =4则这样的
直线存在 ( )
A 0条 B 1条 C 2条 D 3条
答案: D: l ⊥x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径, 故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条x x y 21
7直线y =-x +5与曲线+=1的交点个数是 ( )
3925
A 0个 1个 C 2个 D 3个
答案: D : (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点, 故y=5为其切线, 当直线斜率不为0时, 直线必与每个曲线交于两点
x 2y 2
8P 为双曲线2-2=1上一点, F 1为一个焦点, 以PF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的
a b
位置关系为 ( )
A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交 答案: C: 用两圆内切或外切的条件判断
9设θ∈(0,
π
4
) , 则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围是 ( )
A (0,
11) B (, 22
22) C (2, +∞) D (, 22
2)
答案: C : e =
tan +cot tan θ
=+cot 2θ
x 2
-y 2=1的两个焦点, 点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90 , 则设F 1, F 2是双曲线4
∆PF 1F 2的面积为 ( )
A 1
5
C 2 D 2
答案: A : 勾股定理, 双曲线定义联立方程组h 或面积公式x 2
-y 2=1的左、右焦点,P 在双曲线上, 当∆F 1PF 2的面积为111设F 1, F 2是双曲线4
时, PF 1⋅PF 2的值为( ) A 0 1 C
1
D 2 2
答案: A 解析: 不妨设x p , y p >0, 由
11
, ⋅2c ⋅y p =1∴y p =
25
22230P (, ) ∴PF 1=(--, -) , PF 2=(-, -) , ∴1⋅PF 2=0
555555
y 2x 2
－=1的渐近线方程是
493294A =±x =±x C y =±x D y =±x
2349
答案：由双曲线方程可得焦点在x 轴上，a =2，b =3y =±
b 3x =±x 2a
x 2
2，－2）且与双曲线－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是
2
2y 22y 2x 22x 22=1 －=1 =1 －=1 4224
x 2
答案：A 解析：可设所求双曲线方程为－y 2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=
2
－2
y 2x 2
－＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离
6436
是
A
C
答案：D
88解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为=8³e 10y 2x 2
P 是双曲线2－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2
9a
分别是双曲线的左、右焦点|PF 1|=3，则|PF 2|等于 A 或5 C D 答案：C
3
解析：由渐近线方程y =x ，且a =2，∴b =3|PF 2|－|PF 1|=4，∴|PF 22
“ab
C 充分必要条件
答案：C 解析：由ab 0，b 0由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然x 2y 2x
2y 2若椭圆2+2=1, (a >b >0) 的离心率为, 则双曲线2-2=1的离心率为-2a b a b
: a =2b
双曲线的渐进线方程y =±
3
x , 则双曲线的离心率为________ 4
答案：
5, 4等轴双曲线的离心率为_________ : 渐进线垂直, 开口开阔与否的分界值y 2x 2
C 过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心
916
到双曲线中心的距离是____________
16
C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆3
416
C 的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，±）33
答案：
A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________y 2x 2
答案：－=1（x ＞0916
y 2x 2
F 1、F 2是双曲线－=1的焦点，点P 在双曲线上P 到焦点F 1的
1620
距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上______________________________________________________ 答案：|PF 2|=17
解析：易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17
y 22
A （0，2）可以作___条直线与双曲线x －＝1有且只有一个公共点4
答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线y 22
x －=1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P
2
为AB 中点（1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦（1）解：设过P （1，2）点的直线AB 方程为y －2=k （x －1），
2224
代入双曲线方程得（2－k ）x +（2k －4k ）x －（k －4k +6）=02k 2-4k
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=－，
2-k 2
x 1+x 22k 2-4k
由已知=x p =1，∴2=2解得k =12k -2
又k =1时，Δ=16＞0，从而直线AB 方程为x －y +1=0
（2）证明：按同样方法求得k =2，而当k =2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在
kx 2－y 2＝1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为l ，l 与右准线交于A ，F A 与左
准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 的中点，求双曲线方程 解：由题意k ＞0，c =+
准线方程为x =±1，渐近线方程l 为y =x ， k k 11，于是A （，）， kc kc kc
k (x -c ) 1+kc 21直线F A 的方程为 y =，于是B （－，）kc 1-kc 2k c (kc 2-1)
23由B 是AC 中点，则x C =2x B －x A ＝－，y C =2y B －y A
kc 将x C 、y C 代入方程kx 2－y 2＝1，得k 2c 4－10kc 2＋25＝解得k （1+1）＝5，则k ＝4k 4x 2－y 2＝1． 课前后备注
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