基于导数应用的一元三次方程实根个数的研究性学习

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第２１卷第５期高等函授学报（自然科学版）

Ｖ０１．２ｌＮｏ．５２００８年ｌＯ月

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）

Ｏｃｔｏｂｅｒ２００８

・中小学教学・，

基于导数应用的一元三次方程实根

个数的研究性学习

林道荣１，季振辉２，吕效国１，钟志华ｈ３

（１．南通大学理学院，江苏南通２２６０００；２．江苏省启东中学．江苏启东２２６２００；

３南京师范大学数学科学学院，南京２２１０００）

摘

要：本文探讨了基于导数应用的一元三次方程实根个数的研究性学习。展现了整个研究

性学习的教学设计．资料收集、整理与分析，发现一元三次方程实根个数的充要条件的全过程。

关键词：一元三次方程；实根个数；函数；导数；零点中图分类号：０１７１

文献标识码：Ａ

文章编号：１００６—７３５３（２００８）０５—００３８—０４

Ｉ研究性学习的意义

求之一是让学生在教师指导下开展研究性学习；２１世纪是一个知识经济的时代，知识经济的二是现代数学的发展趋势是数形结合，而重点中核心是创新。因此，培养创新能力，是本世纪对教育学的学生、理应先行；三是给中学数学教师及关注提出的艰巨任务，这需要迅速转变过去继承性的教中学数学教学的学者提供教学资料。下面介绍这育模式［１］。开展研究性学习活动可以培养学生的创一教学的具体设计过程。新精神和实践能力，顺应了时代对学校教育改革的２．１问题的背景

要求［２］。今天我们强调研究性学习，重视学生的学，一元ｎ次方程的求解是代数学的重要内容，并不意味着淡化课堂中的教学，相反，这是对教学而一元一次方程和一元二次方程是中学代数的基提出了更高的要求，即教师的“教”必须有利于学生本内容。

的学习方式向主动学习、科学学习、合作学习的方一元一次方程凹＋ｂ一０（ｎ≠Ｏ），无论实数

向转变；必须有利于学生创造力的发展；必须有利ａ，ｂ取何值（口≠ｏ），总有唯一实根ｚ一一ｂ／ａ．

于学生学习能力的可持续发展［３］。

对于一元二次方程ａ．２７２＋如＋Ｃ＝０（口≠Ｏ），’２

一元三次方程实根个数的研究性学习的

定义判别式Ａ＝ｂ２—４ａｃ，采用配方法，有结论。

教学设计

引理１［６］

对于实系数的一元二次方程凹２

历史上有许多数学家和学者研究了一元三次＋妇＋Ｃ＝０（口≠Ｏ），定义判别式△一ｂ２—４ａｃ，

方程的求解方法，如把一元三次方程叮３＋缸２＋

（１）如果△＞０，那么方程有两个不相等的实

ＣＸ＋ｄ＝０化为缺二次项的一元三次方程ｚ３＋舡

＋ｑ＝０的卡当方法Ⅲ；又如利用了平面解析几何根Ｘｌ：－——ｂ－－ｒｖＺ，ｚ２：－－—＿ｂ＋ｒ伍；

厶“

厶Ⅱ

的知识，用圆与抛物线ｙ＝ｚ２的交点来解一元三（２）如果△＝ｏ，那么方程只有一个实根ｚ

次方程的笛卡儿方法嘲。我们在一元三次方程求ｂ

解方法的教学过程中采用的是导数应用的方法。２一五’

基于三个方面的考虑：一是中学数学新课程的要

（３）如果△＜０，那么方程没有实根．

收稿日期：２００８—０４—１５．

基金项目：南通大学高等教育研究课题（０６ＧＪ００６）．

作者简介：林道荣（１９６３一）．男，江苏海安人，副教授．硕士生导师．研究方向：组合优化，数学教育．

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对于一兀三次方程凹５＋ｂｘ‘＋口＋ｄ＝０，

的所有交点的横坐标。

其中口，６：ｃ，ｄ都是实数且口≠ｏ，令ｚ＝ｙ一昙化

对一元五次方程求根公式的研究，人们花费６ａ

了近３００年的时间，直到１９世纪２０年代由挪威青为ｙ３＋缈？ｑ＝ｏ，其中户＝—３ａ瓦ｃ—ｒｂ２，ｑ＝

年数学家阿贝尔Ｈｏ的重大发现才算告一段落．一个具体的一元，ｚ次方程能否用根式求解的问题，—２ｂ—ｓ－－—９互ａｂ死ｃ

ｒ＋—２７一ａＺｄ，使用代数方法，有卡当公式。

由法国青年数学家伽罗华［４３最后解决。二十一岁、引理２嘲

对于实系数的一元三次方程Ｘ３＋

去世的伽罗华在其短暂的一生对数学的贡献是划如＋ｑ一０来说：

时代的，他找到了方程的根可由系数经加、减、乘、除、开方运算表示出来的充分必要条件［８］。函一（一号＋孵）｛＋（一号一ｐａ

（１）如果百ｑＺ下行ｐＳ＞０，那么方程只有一个实根

２．２问题的提出

多项式函数是代数学与分析学的重要内容，

ａｉ；

在数学的很多领域中起着重要的作用。若能深刻（２）如果专ｏｚ＋荔＝ｏ，那么方程有两个不相等

的了解多项式函数，那么利用多项式函数解决问题就能起到事倍功半的效果。

的实根ｚ－＝一２（号）毒，ｚ：＝（号）｛；

一次函数和二次函数是中学代数的基本内容

之一，它们既简单又具有丰富的内涵与外延。在方

（３）如果等＋筹＜ｏ，那么方程有三个互不相

程和函数学习的基础上，注意到方程的根就是对等的实根：

应函数的图象和工轴的交点的横坐标，即函数的零点就是对应方程的根，可知：

ｚｊ＝（一号＋√军＋荔ｉ）｛＋

引理３［７】

一次函数，（ｚ）＝戤＋ｂ（ｎ≠０）

ｃ一号一挥巧）｛’

时，无论ａ，ｂ取何值（口≠０），厂（ｚ）图象始终与Ｘ轴只有一个交点，即厂（ｚ）有且只有一个零点；二

一ｃ一丢＋铷一号＋挥巧）｛＋次函数，（ｚ）一仳２＋妇＋ｃ（ｎ≠Ｏ）时，定义判别

式△＝ｂ２—４ａｃ．二次函数有两个不同零点的充要ｃ一虿１一参ｃ一号一再巧）｛’条件是△＞０；有一个零点的充要条件是△＝０；没有零点的充要条件是△＜０．

一ｃ一虿１一铷一号＋冉巧灯我们知道，一元一次方程和一元二次方程的实根个数可由一次函数和二次函数的性态来确ｃ一号＋争肛号一挥巧）÷－

定，自然地引导或启发学生提出问题：如何利用三次多项式函数的性态来确定三次多项式函数的零一元三次方程的求解除了求根公式以外，还有点个数或一元三次方程的实根个数？很多求根方法，其中之一是笛卡ＪＬ／ｙ法‘５１，它是利２．３指导学生制订研究计戈ｌｌ，撰写开题报告

用平面解析几何的理论，通过圆与抛物线Ｙ＝，的教师介绍了问题的背景，提出了问题后首先交点来求解一元三次方程（和一元四次方程）。

对教学班级进行研究性学习分组。分组的原则是不妨设一元三次方程的形式为ｚ３＋ｐｘ＋ｑ＝３—４个学生一小组，优劣互补，即小组中有男生０，这个方程两边乘以ｚ，使它增添一个根丑＝０，

也有女生、有学习成绩好中差之分的同学、有组织就可以把它化成方程一＋舻２＋ｑｘ＋ｒ＝０的形

协调能力强的同学、有敢想敢说的同学、有埋头苦

式，其中ｒ＝ｏ．取ｚ。＝一号，弘＝Ｌ尹，Ｒ２＝ｚ：

干的同学、当然也要有会写的同学。

分组后，教师要让各小组的成员思考为什么＋舅，则方程一＋肛２＋弘＋ｒ＝０的全部实根就

提出该课题？对该课题打算怎样实施？要求各小组是抛物线ｙ＝Ｘ２与圆（ｚ—ｚｏ）２＋（ｖ—ｙｏ）２＝Ｒ２

在此基础上提出研究计划，收集或提供有关文献

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资料［９］，撰写开题报告。

２．４评价研究计划的可行性与合理性

对各小组写出的开题报告教师要一一审查，对每小组的研究计划教师要与该组学生面对面讨论。许多小组的研究计划不全面，其中最普遍的问题是不可实施，因为学生们没有研究数学问题的经历，对此教师不要批评而要鼓励。教师要告诉学生研究计划在于能否实施．很多小组的学生会简单的认为由三次函数的图形就可以确定一元三次方程实根的个数，实际并非如此。教师要引导学生思考二次函数的性态可以通过导数这一工具来定量研究，从而引导学生通过使用导数定量研究三次函数来掌握三次函数的性态。

教师还要提醒学生三次函数无最大值与最小

值，给学生介绍一些新概念——极值（包括极大

值和极小值）、极值点（取得极值的点，包括极大值点和极小值点），告诉学生极大值是局部最大值，而极小值局部最小值，指出极值点和极值可由导数定量描述。

２．５课题研究中检查与指导

根据各小组的研究计划，检查进度，督促做好分析或观察．对困难的小组要及时指点，要求各小组组长至少在实施中期主动向指导教师汇报或请教一次。

２．６论文写作指导和结题评价

对研究论文的写作，教师要指导学生用文字表达研究的成果，要求各小组把研究的内容与结果一步一步的写出，强调逻辑性与条理性。

对每个小组，要求提供开题报告、研究笔记、研究论文、结题报告，教师要认真审阅并给出书面评价。３学生论文

学生完成研究性学习任务后，教师要及时指导学生撰写论文。在论文中要求学生明确研究目标，理顺研究内容与研究步骤，对研究产生的问题要进行思考与分析。

以下为启东中学××级高三（１９）、（２０）班中三位同学论文的要点。

设三次多项式函数

厂（士）＝ＣｌＸ３＋妇２＋“＋ｄ（ａ≠０）．（３．１）

为了简单起见，不妨设ｎ＞０．

’

４０

先考虑其导函数为

／（ｚ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋Ｃ，

（３．２）

其对应方程为

３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ＝０

（３．３）

记（３．３）式的判别式为△２—４（６２—３ａｃ）．３．１

Ａ２＞０情形

－——ｂ此时方程（３．３）有两个不相等的实根ｚ。＝

———百７—～’ｚｚ－—ｉ瓶堕－－３ａｃ，ｚ。２———百丁—一’显骶：－－——ｂ＋—百痧匝－－３ａｃ，显然．７５１

＜ｚ２．由

ｆ（ｘ２）一舳）：—２Ｅ＋—２７—ａ％－－＿９ａｂ：万ｃ＋—２

—２ｂ３＋—２７ａ２—ｃ－９丽ａｂｃ－型２～／鲤（ｂｆｚ－婴３（ａｆｃ）－３

３ａｃ）３，可得

ｆ（ｘｔ）・ｆ（ｘ２）＝ｃ［４Ｅ－－１８ａｂｃ－－ｚｆｆ，ｎｃ。＋ａｃ（２７ａ＋４ｃ）］．

当ｆ（ｘ。）＜０并且ｆ（ｘ。）＜０时，三次函数

，（ｚ）＝缸３＋ｂｘ？＋位＋ｄ（ａ≠ｏ）图象见图３．１

所示．此时三次函数两个极值都小于０，并且图象与．２７轴有且只有一个交点．当ｆ（ｘ。）＞０并且ｆ（ｘ２）＞０时，三次函数厂（ｚ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ＣＸ＋ｄ（ａ≠ｏ）图象见图３．２所示．此时三次函数两个极值都大于０，并且图象与．Ｊｒ轴有且只有二个交点．由此可知三次函数图象与ｚ轴有且只有一个交点的条件是ｆ（ｚ－）・ｆ（ｘｚ）＞０．

图３．１

三次函数与。轴图３．２

三次函数与．７Ｃ轴

有且只有一个交点有且只有一个交点

当ｆ（ｘ１）＝０且ｆ（ｘ２）＜０时，即当ｆ（ｘ。）＝

０时（因为ｆ（ｘ－）＞ｆ（ｚｚ）），三次函数厂（ｚ）一酊３

＋缸２＋＠＋ｄ（ａ≠Ｏ）图象见图３．３所示．此时三次函数的极大值等于０，并且图象与ｚ轴有且只有两个交点．而当ｆ（ｘ・）＞０并且ｆ（ｘ。）一０时，即当ｆ（ｘ２）＝０时（因为ｆ（ｘｔ）＞ｆ（ｘ：）），三次函数

．厂（ｚ）一盯３＋ｂｘ２＋盯＋ｄ（ａ≠Ｏ）图象见图３．４

所示．此时三次函数的极小值等于０，并且图象与

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ｚ轴有且只有两个交点．因为ｆ（ｘｔ），ｆ（ｘ：）分别为极大值和极小值，所以不可能同时为零。由此三次函数图象与ｚ轴有且只有两个交点的条件是ｆ（ｘ１）・ｆ（ｘ２）＝０．

图３．３三次函数与ｚ轴

图３．４

三次函数与ｚ轴

有且只有两个交点

有且只有两个交点

当ｆ（ｘ。）＞０且ｆ（ｘ２）＜Ｏ时，三次函数

，（ｚ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋Ｃ．Ｔ＋ｄ（ａ≠０）图象见图３．５

所示．此时三次函数的两个极值一正一负，并且图象与ｚ轴有且只有三个交点．由此总结三次函数与ｚ轴有且只有三个交点的条件是

厂（ｚ１）・ｆ（ｘ２）＜０．

３．２△２≤０情形

因为口＞０并且△。≤０，所以／（ｚ）＝３ａｘ２

＋２ｂｘ＋ｃ≥０恒成立，因此三次函数厂（ｚ）＝ａｘ

３

＋ｋ２＋ＣＸ＋ｄ（ａ≠０）是增函数，函数图象与ｚ轴有且只有一个交点［９３．此时三次函数厂（ｚ）＝ａ．Ｔｃ３

＋ｋ２＋ＣＸ＋ｄ（ａ≠０）图象见图３．６所示。

图３．５三次函数与．７Ｃ轴图３．６三次函数图象与ｚ

有且只有三个交点轴有且只有一个交点

３．３结论

定理设三次函数厂（ｚ）一ａｘ３＋ｂｘ２＋口＋ｄ（口≠Ｏ），记△２—４（ｂ２—３ａｃ），

△３一—ｃ［－—４ｂ—３－－——１８—ａｂｃ—－－＿ｂ万Ｚｃ丁＋—ａ—ｃ（—２７—ａ—＋一４ｃ）］，则

（１）三次函数有三个互不相同的零点的充要条件是△２＞ｏ且△。＜ｏ；

（２）三次函数有两个不相同的零点的充要条件是△２＞０且Ａ３＝０；

（３）三次函数有一个零点的充要条件是△ｚ＞０且△ｓ＞０，或者△２≤０．

４研究性学习的其它教学问题

对于研究性学习，通常先由教师简要讲解，主要是提出问题，适当介绍问题的背景与主要的数学理论和研究方法；然后让学生自己动手去做，自己去尝试，去观察，通过观察得出结论。教师在学生动手研究中要密切了解学生的思维进程，加以引导，通过梳理统一意见。

教师对学生的论文要认真批改，写出评语，给出成绩．论文可从纵横两方面批改，纵的方面看文

章内容的份量、条理；横的方面看研究的思路、过程、结果。对论文的更高的标准是创造性，对于有创造性的论文，要给以高分作为鼓励。同时教师应安排时间，对课题研究进行评讲。并让学生们参加讨论，找出研究性学习成功的经验，分析研究性学习不足的原因。

总之，对研究性学习如何教学、如何指导进行研究与教学实践，必将推动中学数学新课程的教学指导思想、教材建设和教学方法等工作的深入

开展，为全面提高中等数学教育质量打下良好的

基础。

．

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基于导数应用的一元三次方程实根个数的研究性学习

作者：作者单位：

林道荣， 季振辉， 吕效国， 钟志华

林道荣,吕效国(南通大学,理学院,江苏,南通,226000)， 季振辉(江苏省启东中学,江苏,启东,226200)， 钟志华(南通大学,理学院,江苏,南通,226000;南京师范大学,数学科学学院,南京,221000)

高等函授学报（自然科学版）

JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCE EDITION)2008,21(5)

刊名：英文刊名：年，卷(期)：

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3. 彭春齐 高考中导数应用的新变化——用导数探讨函数图象的交点问题[期刊论文]-中学数学2007(12)4. 刘慧锋 导数应用常见错误例析[期刊论文]-陕西教育（教学）2010(1)5. 陆先舫 关于导数应用的复习备考[期刊论文]-考试周刊2008(18)

6. 张世林. 谭柱魁. 覃德才 聚焦高考导数应用的一个热点——不等式恒成立与有解问题[期刊论文]-中学数学2010(3)

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10. 夏桂芳 新高考强化了导数应用——不等式恒成立与有解问题辨析[期刊论文]-中学数学2011(7)

引用本文格式：林道荣. 季振辉. 吕效国. 钟志华 基于导数应用的一元三次方程实根个数的研究性学习[期刊论文]-高等函授学报（自然科学版） 2008(5)