求函数定义域和值域方法和典型题归纳

求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：

（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。 （2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。 二、求函数定义域

（一）求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总：

①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；

②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（01）

⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.

2

（f(x)=logx(x-1)）

注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

如：

f(x)=

x

2

)

x

2.抽象函数（没有解析式的函数）

解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围； （2）在同一个题中x不是同一个x；

（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。

例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。 解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]）

∴0≤x+1≤2 ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围）

∴f(x)的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变） ∴f(2x-1)中

0≤2x-1≤2 12

32

∴-≤x≤

⎧⎩

12

3⎫⎬ 2⎭

∴f(2x-1)的定义域为⎨x|-3.复合函数定义域

≤x≤

复合函数形如：y=f(g(x)),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例2：

若函数f(x)的定义域为(-2,3),g(x)=f(x+1)+f(x-2),求g(x)的定义域。

分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。

解：由f(x)的定义域为（-2,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；

⎧-3

∴⎨，解得0

所以，g(x)的定义域为（0,2）.

（二）求定义域的典型题 1.已知函数解析式 （1）求下列函数的定义域

(1)f(x)=

1x+3

;(2)f(x)=(x+1)+

(3)f(x)=

x-1x-1

2

;

(4)f(x)=(x-1)

x+2

;(5)f(x)=log(2x-3)(x-

2

14

);(6)f(x)=

12-x

+（2）求下列函数的定义域

(1)f(x)=

x-1(2)f(x)=

x-

12

(3)f(x)=(4)f(x)=

(3)与函数定义域有关的问题题 ①若函数f(x)=

x-4

x+(2m+1)x+m

2

2

的定义域为R，求实数m的取值范围。

②函数y=

R，求k的取值范围。

③函数f(x)=R，求m的取值范围。

2.求抽象数定义域

①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求f(

12

x-1)的定义域。

f(2x)x-1

②若数f(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)=的定义域。

③若数f(x-1)的定义域为[-1,2],

求函数g(x)=f(x+2)+定义域。

的

④若函数f(x)的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x-a),(a≤求函数g(x)的定义域。

12

)，

⑤若f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)，(a>0,且a≠1)，令 F（x）=f(x)-g(x),求F（x）的定义域。 二、求函数值域

（一）求函数值域方法和情形总结

1.直接观察法（利用函数图象）

一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。 2.配方法

适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a

例1：求f(x)=x2-4x+6在[1,5]上的值域. 解：配方：f(x)=(x-2)2+2 f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间

ymin=f(2)=2

（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）

ymax=f(5)=11

所以，f(x)的值域为[2,11]. 3.分式型

（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为y=a+例2：求f(x)=

5x-14x+2

的值域.

dbx+c

。

5

解：f(x)=

5x-14x+2

=(4x+2)-1-

4x+2

10

7=5-

42(4x+2)

由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到即：函数f(x)的值域为{y|y≠

54}.

54

，

跟踪练习：已知f(x)=ax2+4(a+1)x-3(x∈(0,2])在x=2处有最大值，

⎡1⎫

,+∞⎪ ⎢2⎣⎭

求a的取值范围.

（2）利用x2≥0来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现x2形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。 例3：求函数f(x)=

3x-1x+2

22

的值域.

解：由于x2+2不等于0，可将原式化为 yx2+2y=3x2-1

即 (y-3)x2=-1-2y（由于x2≥0） 只需y≠3,则有

-1-2yy-

3

x2=≥0y-3)(-1-2y)≥0

所以，函数值域y∈⎢-

⎣

⎡1

⎫,3⎪. 2⎭

2

（3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现x

混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。 例4：求函数y=

2xx+1

2

的值域

解：由于函数的定义域为R，即x2+1≠0 原式可化为 yx2-2x+y=0

（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）

所以，∆=4-4y2≥0 所以，函数值域为y∈[-1,1] 跟踪练习：求下列函数值域 （1）y=

11+x

（2）y=

1-x1+x

22

（3）y=

11+x

2

)= (4y

x+2x+3x+6

2

（5）若y=log3

mx+8x+n

x+1

2

2

的定义域为R，值域为[0,2]，求常数m,n

的值（m=n=5）

4.换元法

通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。 例5

：求函数f(x)=2x-

解：令t=

2

2

t≥0,则x=t+1，带入原函数解析式中得

2

y=2(t+1)-t=2t-t+2=2(t-

因为，t≥0

所以，函数的值域为y∈⎢,+∞⎪.

⎣8⎭跟踪练习：求下列函数的域

⎡15

⎫

14

)+

2

158

（1）y=2sinx-3cosx-1 （2

）y=2x+1+

2

（3）y=sinx+cosx+sinxcosx，（令t=sinx+cosx）

(4) y=x+4+

(令x=3cosθ(θ∈[0,π]))