归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法

摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words：Function Limit；Computing method；L’Hospital rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的. 求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1函数极限的ε-δ定义[1]

设函数f 在点x 0的某个空心邻域U (x 0; δ' ) 内有定义，A 为定数，若对任给的

ε>0，存在正数δ(

x →x 0

2. 求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则. 以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据

下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性 设lim f (x ) =lim g (x ) =A ，且在某U (x 0; δ' ) 内有

x →x 0

x →x 0

f (x ) ≤h (x ≤) g (，则x ) lim h (x ) =A .

x →x 0

1

例1求极限lim x []

x →0x

解：当x >0时，有

1

1-x

x

而lim +(1-x ) =1, 由函数迫敛性可得

x →0

1

lim +x []=1 x →0x

11

同理可得x

x →0x →0x x

注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式：x -10), -1≤sin x ≤1, -1≤cos x ≤1 2.2 依据极限的四则运算求极限[2]

依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型：

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则：

x m -1

例2 求极限lim n （n 和m 都是正整数）

x →1x -1

(x -1)(x m -1+x m -2+Λ+1)

解：原式=lim

x →1(x -1)(x n -1+x n -2+Λ+1)

x m -1+x m -2+Λ+1m

= =lim n -1

n -2x →1x +x +Λ+1n

∞±∞, 0⋅∞,

∞

等未定型：因“∞”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运∞

算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算.

13-) 例3求极限lim (2x →11-x 1-x

1+x +x 2-3

解：原式=lim

x →1(1-x )(1+x +x 2)

=lim

-(1-x )(x +2) -3

==-1

x →1(1-x )(31+x +x 2)

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:lim

sin x 1

=1，lim(1+) x =e .

x →0x →∞x x

函数经过一定变形，若能出现以下情况：

sin f (x ) 1g (x )

(f (x ) →0), (1+) (g (x ) →∞), (1+h (x )) h (x ) (h (x ) →∞) f (x ) g (x )

时，也可采用重要极限来求.

例4 求极限

[2]

1

3x +sin x 2

lim x →0sin 3x -x 3

x

⋅sin x

3+1⋅0sin x 解：原式=lim ==1

x →0sin 3x 3⋅1-0

3-x 2

3x

3x +22x -1

) 例5 求极限lim (

x →∞3x -1

3+

3

解：原式=lim [(1+)

x →∞3x -1

3x -1

23

3x -13]() =e 2⋅1=e 2 3x +2

1

2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用. 需要记住一些常见的等价无穷小, 如当x →0时:

sin x ~x , tan x ~x , arcsin x ~x , arctan x ~x , e x -1~x , ln(1+x ) ~x , (1+x ) α-1~αx .

tan x -sin x

x →0sin x 3

1sin x -sin x cos x

⋅解:原式=lim

x →0cos x sin x 3

x

2sin x sin 2

1 =lim ⋅3x →0cos x sin x

例6 求极限[2]lim

x 2x ⋅11

=lim ⋅3=

x →0cos x x 2

注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代. 2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则[1]:

型不定式极限 若函数f 和g 满足: 0

(i)lim f (x ) =lim g (x ) =0;

x →x 0

x →x 0

(ii)在点x 0的某空心邻域U 0(x 0) 内两者都可导, 且g '(x ) ≠0 (iii)lim

f '(x )

=A (A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 g '(x )

lim

f (x ) f '(x )

=lim =A x →x 0g (x ) g '(x )

x →x 0

x →x 0

∞

型不定式极限 若函数f 和g 满足: ∞

(i)lim +f (x ) =lim +g (x ) =∞;

x →x 0

x →x 0

(ii)在点x 0的某右邻域U 0+(x 0) 内两者都可导, 且g '(x ) ≠0 (iii)lim

f '(x )

=A (A 可为实数, 也可为±∞或∞), 则 g '(x )

lim +

f (x ) f '(x )

=lim +=A x →x g (x ) g '(x ) 0

x →x 0

x →x 0

0∞

因此函数为, 型，通常可采用此法，如下：

0∞

[⎰⎰例7计算极限lim

x →0

x

x 2

arctan(1+t ) dt ]du x (1-cos x )

解：原式=lim x →0(1-cos x ) +x ⋅sin x

⎰

x 2

arctan(1+t ) dt

arctan(1+x 2) ⋅2x =lim x →02sin x +x ⋅sin x

4x 22

+2arctan(1+x ) 2

=lim x →03cos x -x ⋅sin x

2arctan(1+x 2) π=lim = x →03cos x 6

注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用L' Hoshital 法

0∞

则求, 型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用.

0∞

2.6 依据麦克劳林展开式求极限

一般常见函数的麦克劳林公式[1]:

x 2x n

e =1+x ++ ++ο(x n )

2! n !

x

x 3x 5x 2m -1m -1

sin x =x -++ +(-1) +ο(x 2m )

3! 5! (2m -1)!

2m x 2x 4m x cos x =1-++ +(-1) +ο(x 2m +1) 2! 4! (2m )! n

x 2x 3n -1x ln(1+x ) =x -++ +(-1) +ο(x n ) 23n

(1+x ) α=1+αx +

α(α-1)

2!

x 2+ +

α(α-1) (α-n +1)

n !

x n +ο(x n )

1

=1+x +x 2+ +x n +ο(x n ) 1-x

0∞

利用洛必达法则求, 型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展

0∞

0∞

开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对, 型函数极限也可采用此法.

0∞

cos x -e -x

例8 求极限lim 4x →0x x 2x 4

解： cos x =1-++ο(x 5)

224

2

e

-

x 22

x 2x 4

=1-++ο(x 5)

28

2

cos x -e -x

原式=lim

x →0x 4

14

x +ο(x 5)

1

=lim 4=- x →0x 12

-

注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂. 2.7 运用函数的连续性求极限

函数的连续性定义[1]: 设函数f 在某U (x 0) 内有定义, 若

x →x 0

lim f (x ) =f (x 0) ,

则称f 在点x 0连续.

若函数f 在区间I 上的每一点都连续, 则称f 为I 上的连续函数.

x 2+5

例9 计算极限lim 2

x →2x -3

思路：f (x ) 为连续函数, x 0为f (x ) 的定义区间上的一点，则lim f (x ) =f (x 0) .

x →0

22+5

=9 解：原式=2

2-3

2.8 运用导数的定义求极限

导数的定义[1]: 设函数y =f (x ) 在点x 0的某邻域内有定义, 若极限

lim

f (x ) -f (x 0)

x -x 0

x →x 0

存在, 则称函数f 在点x 0处可导, 并称该极限值为函数f 在点x 0处的导数, 记作

f '(x 0) .

若函数f 在区间I 上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称f 为I 上的可导函数.

例10 计算lim

ln(h +x ) -ln h

(h >0)

x →0x

x →0

思路：对具有lim

f (x 0+h ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)

或lim 形式的极限，可由导数的h →0h x -x 0

定义来进行计算.

解：原式=(lnx )' |x =h =

1 h

2.9运用定积分的定义求极限

定积分的定义[1]: 设f 是定义在[a , b ]上的一个函数, J 是一个确定的实数. 若对任意给的正数ε, 总存在某一正数δ, 使得对[a , b ]的任何分割T , 以及在其上任意选取的点集{ξi }, 只要T

∑f (ξ) ∆x -J

i

i

i =1

n

则称函数f 在区间[a , b ]上可积或黎曼可积; 数J 称为f 在区间[a , b ]上的定积分或黎曼积分, 记作J =⎰f (x ) dx

a b

1例11 计算[3

]lim +

n →0n 11n i

思路：和式极限，利用定积分定义lim ∑f () =⎰f (x ) dx 求得极限.

0n →0n n i =1

1n 解：原式=lim n →0n i =1

=⎰ d ) x

=⎰

πx

2

dx =

π

2.10 运用微分中值定理求极限

拉格朗日中值定理[1]: 若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[a , b ]上连续；

（ii ）f 在开区间(a , b ) 内可导，则在内至少存在一点ξ，使得

f ' (ξ) =

f (b ) -f (a )

.

b -a

例12：计算

[3]

e x -e sin x lim x →0x -sin x

思路：对函数f (x ) 在区间[sinx , x ]上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式=lim e α=1 （其中α在[sinx , x ]区间内）

α→0

综上所述，求极限时，在不同的函数类型下，所采用的技巧是各不相同的，对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析（第五版）[M]. 高等教育出版社，2001. [2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003. [3]李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报，2004.