二次函数与一元二次方程根的分布
二次函数与一元二次方程根的分布
一、内容黄金组
1.能应用不等式的有关知识,对一元二次方程的实根分布进行讨论. 2.借助二次函数的图象进行实根分布的讨论,培养学生数形结合的思想. 3.能将实根分布等价转化为不等式(组)的求解问题,体现等价转化的数学思想. 二、要点大揭秘
1.二次函数及图象
设有一元二次函数y=ax+bx+c(a≠0),判别式Δ=b-4ac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x轴无交点.
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当Δ>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x1<x2.一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.
观察图象不难知道.
图像为
观察图象不难知道△=0,a>0 , △=0,a<
当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
观察图象不难知道.
a>0时,绝对不等式f(x)>0解为x∈R.
a<0时,
(1)应用求根公式; (2)应用根与系数关系;
绝对不等式f(x)<0解为x∈R.
2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种:
(3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
设f(x)=ax+bx+c(a>0),方程ax+bx+x=0的个根为α,β(α≤β),m,n为常数,且n<m,方程根的分布无外乎两种情况:
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②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑
三、好题解给你
(1) 预习题
1. 设有一元二次函数y=2x-8x+1.试问, 当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小? 由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么? 解:经配方有y=2(x-2)-7
∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边, ∴y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此 ymax=f(4)=1. ymin=f(3)=-5.
2.设有一元二次函数y=2x-4ax+2a+3.试问,此函数对称轴是什么? 当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系? 由此,求y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值. 解:经配方有y=2(x-a)+3. 对称轴为x=a.
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当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值也变大. 当3<a<4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x≤a,随x变大,y的值变小,但若a≤x≤4,随x变大,y的值变大.
当4≤a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值反而变小.
根据上述分析,可知.
当a≤3时,ymax=f(4)=2a-16a+35.ymin=f(3)=2a-12a+21. 当3<a<4时,ymin=f(a)=3.
其中,a≤3.5时,ymax=f(4)=2a-16a+35.
a≥3.5时,ymax=f(3)=2a-12a+21.
当a≥4时,ymax=f(3)=2a-12a+21.ymin=f(4)=2a-16a+35. (2) 基础题
例1.设有一元二次方程x+2(m-1)x+(m+2)=0.试问: (1)m为何值时,有一正根、一负根.
(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1. (3)m为何值时,有两正根. (4)m为何值时,有两负根.
(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?
解:(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x2<0,依违达定理有m+2<0. ∴ m<-2.
反思回顾:x1、x2<0条件下,ac<0,因此能保证△>0.
(2)设x1<1,x2>1,则x1-1<0,x2-1>0只要求(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0.
依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1<0.
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(3)若x1>0,x2>0,则x1+x2>0且x1,x2>0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0,即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0. ∴(7m+1)(9m+10)<0.
例2. 当m为何值时,方程
解:负数根首先是实数根,∴
有两个负数根? ,
由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正. 由以上分析,有
即
∴当
时,原方程有两个负数根.
(3) 应用题
例1. m取何实数值时,关于x的方程x+(m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2? 解:设f(x)=x+(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于
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所以当-5<m≤-4时,方程的两个实根大于2.
例2.已知关于x方程:x-2ax+a=0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a的取值范围.
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解:设f(x)=x-2ax+a,则方程f(x)=0的两个根α,β就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标,如图0<α<1,β>2的条件是:
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<1,β>2.
例3.m为何实数时,关于x的方程x+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.
解:设f(x)=x+(m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f(2)<0,即4+2(m-2)+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
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(4) 提高题
例1.已知函数
的图象都在x轴上方,求实数k的取值范围.
解:(1)当
,则所给函数为二次函数,图象满足:
,即
解得:
(2)当
时,
若
,则
的图象不可能都在x轴上方,∴
若
,则y=3的图象都在x轴上方
由(1)(2)得:
反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.
例2.已知关于x的方程(m-1)x-2mx+m+m-6=0有两个实根α,β,且满足0<α<1<β,求实数m的取值范围.
解:设f(x)=x-2mx+m+m-6,则方程f(x)=0的两个根α,β,就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标.
如图,0<α<1<β的条件是
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解得
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例3.已知关于x的方程3x-5x+a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈(-2,0),β∈(1,3),求实
数a的取值范围.
解:设f(x)=3x-5x+a,由图象特征可知方程f(x)=0的两根α,β,并且α∈(-2,0),β∈(1,3)的
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解得-12<a<0. 四、课后演武场
1.已知方程(m-1)x+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值范围是( B )
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A.
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B.
C.
D.
2.方程 x+(m-1)x+(m-2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值范围是( C ) A.0<m<2 B.-3<m<1 C.-2<m<0 D.-1<m<1
3.已知方程
有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( C )
A.
B.
C.
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D.
4.已知关于x的方程3x+(m-5)x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.
可知方程f(x)=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:f(4)<0)
5.已知关于x的方程x+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.
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征可知方程f(x)=0的两根都在(0,2)内的充要条件是