任意角的三角函数

“任意角的三角函数”教学设计

浙江省黄岩中学 李柏青

一、教学内容解析

在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中, 研究的视角由“静态”到“动态”, 同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系”. 借助直角坐标系研究角, 一方面引入象限角, 使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路.

“任意角三角函数” 是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张，但为什么要作这样的推广呢？更合适的理由是任意角三角函数是描述周期变化为重要数模型。

任意角三角函数是函数的下位概念, 是刻划圆周运动规律的重要数学模型. “任意角三角函数”在圆周运动中, 最基本、简单的情形是质点P 绕着单位圆的圆心作匀速圆周运动, 在此运动中, 关键是抓住质点P 的坐标（x , y ）随旋转角θ的变化而变化的函数关系. 这种关系是确定的, 至于如何更好地表达, 合理的命名是非本质的内容. 由于当角θ为锐角时, y 是θ的正弦, x 是θ的余弦, 是θ的正切, 因此可以以此为据, 推广到任意角相应的三角函数定义.

引入锐角三角函数的概念, 目的是为了研究三角形中的边角关系, 因此定义侧重几何的角度, 利用相似直角三角形的性质, 得到锐角和三角形边与边的“比值”之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念, 目的是为了研究周期变化现象, 因此定义侧重代数的角度, 在直角坐标系下, 以单位圆为工具, 得到角和它的终边与单位圆的交点坐标之间的确定关系. 两者同时都是函数的下位概念, 在弧度制下, 归结为数集到数集的映射.

教材中对任意角三角函数的定义有两种——单位圆的定义和欧拉的传统定义[1]. 从任意角三角函数的使命看, 单位圆的定义显得形式简单, 便于研究性质, 同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性, 某种意义上说, 任意角三角函数就是圆的性质的几何表示. 但两个定义本质相同, 相互之间一点就通.

二、教学目标解析

1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义, 经历“单位圆法”定义三角函数的过程；

2．会用定义求特殊角的三角函数值, 会求已知终边位置的角的三角函数值；

3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；

4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．

三、教学问题诊断分析

1．三角函数是一类特殊的函数, 因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学, 让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系. 学生虽有锐角三角函数的概念, 但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上, 有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识.

2．锐角三角函数到任意角三角函数的推广, 并非简单的特殊到一般意义上的推广, 而是观念角度的变化, 需要将直角三角形为载体的几何定义方式转化为以直角坐标系为载体的坐标定义方式.

3．将终边上的任意一点化归到单位圆上的点, 不仅是求简, 更是三角函数本质的体现, 但学生的理解很难到位, 需要在今后的学习中循序渐进.

4．在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应, 再实现数到坐标的对应, 会造成一定的理解困难, 为了突出重点, 分散难点, 本节课暂时不作过度的解释.

四、教学支持条件分析

由于随着任意角的终边的“转动”, 角的大小、终边上点的坐标等也随之变化, 为了更好体现多元联系性, 宜适当采用《几何画板》进行动态演示.

五、教学过程设计

（一）复习

前面学习了任意角的概念，你对它的哪些特点印象比较深?

设计意图：对任意角的概念的理解和掌握是本课的一个基础.

(二) 问题的提出

任意角是一条射线绕端点O 旋转生成的. 在角的旋转过程中，终边上的点都绕O 点作着圆周运动. 圆周运动是生活中常见吗？你试着举出一些作圆周运动的实际例子.

圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化现象，而函数是描述客观世界变化规律的数学模型，那么用什么样的函数反映这种运动变化现象呢？

设计意图：任意角------圆周运动-------周期变化-------函数模型，用函数来刻划圆周运动，解决任意角三角函数引入的必要性问题.

(二) 概念的生成

问题1 函数研究的是数量及其关系，那么在点P 所作的圆周运动中，你能发现哪些量？能找到这些量与量之间的关系吗？

问题2 让我们先从 “从最基本、简单的情形开始！”, 当α是锐角时，你能找出α，r , x P , y P 的关系吗？

设计意图：让学生清楚要用函数表示圆周运动的关键是把握圆周上点的坐标与相应角的数量关系，而研究往往从最熟悉、最简单的情形出发，在任意角是锐角的情形下，学生容易由数想形，构造直角三角形，并进一步联想到通过锐角三角函数来表达直角三角形之间的边角关系：

当α是锐角时， ，

问题3

对于这些比值，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数，你认为这些比值是由α唯一确定的吗？

当角α确定后，比值也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关！

问题4 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？

设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆. 同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系

对于任意角的三角函数可由教师顺势给出：

当α是锐角时，设P (x , y ) 是α的终边与单位圆的交点，则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦，

就称为锐角α的正切. 记为sin α=y ,c o s α=x ，

问题5 设α是锐角, P （x , y ）是α的终边与单位圆的交点，当α确定时, x , y , 的值是唯一确定. 那么当α是任意角时，x , y , 的值也是由α唯一确定吗？

例如α是钝角，若α确定，则终边与单位圆的交点坐标P (x , y ) 也唯一地确定，此时我们就把y 就称为钝角α的正弦，x 就称为钝角α的余弦，就称为钝角α的正切. 记为sin α=y ,c o s α=x ，

.

类似地，我们可以这这个名称推广到任意角：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x , y ), 则

y 叫做α的正弦, 记作sin α= y.

x 叫做α的余弦, 记作c o s α=x ;

叫做α的正切, 记作t a n α=.

任意角α的正弦、余弦和正切, 统称为任意角α的三角函数.

追问1：你认为任意角三角函数的定义符合高中函数的定义吗？能确定这些函数的定义域、值域吗？你能说说任意角三角函数的对应法则吗？

追问2：你能将任意角三角函数与锐角三角函数的概念进行比较吗？

设计意图：定义可以由教师明确给出，关键是让学生理解其合理性，理解概念的背景和生成过程. 完整的概念生成后, 再与已有相关知识建立联系, 促进新旧知识的分化, 加深新知识的理解.

(六) 概念的巩固

例1 求的正弦、余弦、正切值.

练习（口算）：求下列三角函数值：

（1） , (2) co s3 , (3).

变式：若已知sin α=-1,你能写出α的一个角吗？

例2 角α的终边过P , 求它的三角函数值.

例3

设计意图：让学生熟悉定义, 从中概括出用定义解题的步骤.

(七) 探究与发现

例3 不求值, 你能判断下列三角函数值的符号吗？你能总结一般的规律吗？

（1）sin1170︒, (2)co s , (3)tan.

设计意图：通过丰富的实例, 从不同的角度让学生进一步理解任意角三角函数的定义.

思考：

一个质点从点（1,0）出发在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动, 若经过的弧长为x , 试用x 表示质点所在位置P 点的坐标.

一个质点从（r ,0）出发绕O 点按按逆时针方向作匀速圆周运动, 若经过的弧长为x , 试用x 表示质点所在位置P 点的坐标.

设计意图：让学生进一步体会三角函数在描述圆周运动中的作用，进一步理解任意角三角函数的定义.

(八) 小结反思

通过学习, 你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？

答：任意角三角函数是刻划圆周运动的重要数学模型, 它实质上就是以角为自变量, 以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐标比为函数值的函数.

在

研究过程中, 从最简单、最基本的问题入手, 通过观察分析, 借助数形结合和化归等思想方法解决问题.

(九) 目标检测

1. 求的正弦、余弦、正切值.

2. 已知角θ的终边在直线y =x 上, 求角θ的三个三角函数值.

3. 确定下列三角函数值的符号：

（1）sin ; (2)co s(-4500); (3) tan()

思考题：

若角α的终边过点P (x , y ), 且|OP |=r (r >0)(O 为坐标原点), 求sinα,co sα,tanα.