点关于直线对称的向量求法
06-06
点关于直线对称的向量求法
新疆泽普二中 王永高
点关于直线对称的求法，教学中笔者主要是利用斜率相乘为-1，中点坐标代入来求解，但是学生由于运算能力欠佳，导致结果常常算不对。近日笔者发现可以推导出一个形式较好的公式。
设点A (x 0, y 0) ，直线l :Ax +By +C =0(A , B 不同时为，则A (x 0, y 0) 关于直线0）
l :Ax +By +C =0(A , B 不同时为0）的
x 1=x 0-2A B （x 1, y 1) ，其中： Ax 0+By 0+c Ax 0+By 0+C , y =y -2B 102222A +B A +B
证明方法一是用代数法，通过斜率互为负倒数，中点坐标代入，方法二是用向量法。下面通过直线的方向向量和法向量去证明。
→ 沿垂直于直线方向和平行于直线方向进行分解，如图，设直线l 与y 轴的交点位P ，向量AP
→ 和AN → ，则AP → =AM→ +AN→ 。 得到AM
设直线l 法向量方向上的单位向量是e 1，直
→ =λAM → =μe
e 1，AN 2l 方向向量方向上的单位向量是e 2。那么有
→ =λ从而AP e 1+μe 2
上式两边同时点乘e 1
→ ∙e =λ则AP 1e 1∙e 1+μe 2∙e 1
→ ∙e ）e e 1=2（AP 11→ ∙e 而：AB → =2AM→ =2λ故λ=AP1
→ =(-x , -C -y ) ，e =AP 001(A , B ) A 2+B 2B → =，从而：AB -Ax 0-By 0-C ∙(2A , 2B ) 22A +B → =OA→ +AB→ 得 由OB
→ =(x -2A Ax 0+By 0+C , y -2A Ax 0+By 0+C ) OB 002222A +B A +B 从而得证。