不定方程姓名
不定方程 姓名
方程的个数少于未知数的个数的方程叫做不定方程．如3X+4Y=15，一个方程中含有X、Y两个未知数，它是一个不定方程。对小学同学来说，了解不定方程可以解决枚举法解题不容易列出算式的缺陷。
一、解不定方程的方法
通常情况下我们都是寻找不定方程的正整数解（非零自然数）。
1、求下面不定方程的非零自然数解
3X+4Y=15
解： 3X = 15－4Y （变形） X =154Y （用含Y的式子表示X） 3
117当（1）Y=1 X= （2）当Y=2 X= （3）当Y=3 X=1 33
所以本方程只有一组解 Y=3 X=1
注意：（1）也可以用含X的式子表示Y。
（2）有时候不定方程根本就没有非零自然数解。
【自主练习】（1）2X+3Y=18 （2）3x+2y=25
二、用不定方程解决实际问题
例1：一个士兵将子弹放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果子弹数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
【分析】尽管每种盒子里装的数量是知道的，子弹总数为99颗，但盒子的总数并不知道，它与解题直接相关，因此会出现两个未知数。不妨设大盒子有X个，小盒子有Y个，列出不定方程为：
12X+5Y=99
Y=
9912X （后面的讨论请你完成） 5
【自主练习】1、小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1元5角一支的，他两种圆珠笔各买了多少支？
2、有甲乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨。现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每一辆卡车都要满载，问甲乙两种卡车各需多少辆？
3、甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
5、在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？
例2、一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，……）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验？
【分析】这是一个平均数问题，由于没有男生和女生的人数，也没有他们之间的数量关系，我们不可能用参数法解决，但男、女生人数正是我们要求出的问题，所以题目中自然会出两个未知数。
设男生有X人，女生有Y人。
3.6（X+Y）=4X+3.25Y
4X－3.6X=3.6Y－3.25Y（整理）
0.4X=0.35Y X=7Y 8
讨论Y必须是8的倍数（1）当Y=8时，X=7（2）当Y=16时，X=14
（3）当Y=24时，X=21 （4）当Y=32时，X=28
经分析可以知道只有Y=24时，X=21才满足条件。
【自主练习】1、甲班有42名学生，乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高______分。（1998年奥林初赛试题）
2、某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元；超过10吨时，每吨0.8元，张家比李家多交水费3.3元，如果两家的用水量都是整数吨。问两家各交水费多少元？