一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学
一元函数微分学由导数和微分组成。导数:样本量随自变量的变化而变化的快慢程度;微分:曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) (3)
(C ) '=0
(2) (4)
(x μ) '=μx μ-1
(cosx ) '=-sin x
(sinx ) '=cos x
2
(5) (tanx ) '=sec x 2
(6) (cotx ) '=-csc x
(7) (9) (11) (13) (15)
(secx ) '=sec x tan x
(8) (10) (12)
(14) (16)
(cscx ) '=-csc x cot x
(a x ) '=a x ln a
(loga x ) '=
1x ln a
(ex ) '=e x
(lnx ) '=
1x ,
(arcsinx ) '=
1-x 2
11+x 2
(arccosx ) '=-
1-x 2
11+x 2
(arctanx ) '=
(arccotx ) '=-
三、函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ) ,v =v (x ) 都可导,则 (1) (3)
(u ±v ) '=u '±v '
(2) (4)
(Cu ) '=C u '(C 是常数)
(uv ) '=u 'v +u v '
'
⎛u ⎫u 'v -u v ' ⎪=
v 2⎝v ⎭
四、反函数求导法则
若函数x =ϕ(y ) 在某区间I y 内可导、单调且ϕ'(y ) ≠0,则它的反函数y =
f (x ) 在对应区间I x 内也可导,且
f '(x ) =
1
ϕ'(y )
或
dy 1=dx dx
dy
五、复合函数求导法则 设y =
f (u ) ,而u =ϕ(x ) 且f (u ) 及ϕ(x ) 都可导,则复合函数
y =f [ϕ(x )]的导数为
dy dy du =
dx du dx 或y '=f '(u ) ϕ'(x )
六、高阶导数的莱布尼兹公式
七、隐函数的导数
一般地,如果变量x ,y 之间的函数关系是由某一个方程
F (x , y )=0所确定,那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.
对数求导法
根据隐函数的求导法,我们还可以得到一个简化求导运算的方法.
它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数(包括幂指函数)的求导. 这个方法是先取对数,化乘、除为加、减,化乘方、开方为乘积,然后利用隐函数求导法求导,
因此称为对数求导法. 幂指函数的一般形式为y =u v (u >0),其中
u , v 是x 的函数.
八、由参数方程所确定的函数的导数
一般地,如果参数方程
⎧⎪x =ϕ(t ),(t 为参数) ⎨y =ψt ()⎪⎩
确定y 与x 之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.
如果函数x =ϕ(t ),y =ψ(t )都可导,且ϕ'(t )≠0,又x =ϕ(t )具有单调连续的反函数t =ϕ-1(x ),则由参数方程所确定的函数可以看成y =ψ(t )与t =ϕ-1(x )复合而成的函数y =ψ[ϕ-1(x )]
dy dy dt dy 1ψ'(t )
=⋅=⋅=,
dx dt dx dt dx ϕ't dt
即
dy ψ'(t )= , dx ϕ't dy dy
也可写成 =dt .
dx dx
dt
-t
⎧⎪x =3e
求方程⎨t
⎪⎩y =2e
d 2y
所确定的函数的二阶导数2.
dx
'
dy 2e t 2e t 22t
解 ===-e , -t dx 3e -t 3-3e
()
()
4-e 2t
42t 143t d y d ⎛dy ⎫d ⎛22t ⎫d ⎛22t ⎫dt =-e ⋅=-e ==e ==-e -t ⎪ ⎪dt 3⎪dx 2dx 3-3e 9dx dx ⎝dx ⎭dx ⎝3⎭⎝⎭
dt
2
注意二阶导的求法。 九、微分 1、定义 设函数y =
f (x ) 在某区间内有定义,x 0及x 0+∆x 在此区间
内,如果函数的增量
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0)
可表示为
∆y =A ∆x +o (∆x )
f (x ) 在点x 0点可微的,
其中A 是不依赖∆x 的常数,那么称函数y =而A ∆x 叫做函数y =
dy ,即
f (x ) 在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分,记作
dy =A ∆x dy =f '(x ) dx
2、可微与可导关系
对一元函数而言,函数的可微性与可导性是等价的 结论
y =f (x ) 在点x 0处可微⇔y =f (x ) 在点x 0处可导,且f '(x 0) =A ,
由此dy =f '(x 0) ∆x 。 主部的定义
∆y =dy +o (∆x )
即dy 是∆y 的主部,因而
∆y ≈dy
3、微分的几何意义
函数y =f (x ) 的图形是一条曲线,
函数y =
增量时,
f (x ) 是可微的,当∆y 是曲线y =f (x ) 的点的纵坐标的
dy
就是曲线的切线上点的纵坐标的增量
切线段近似代替曲线段。因而,
∆y ≈dy
当∆x 很小时, 在点M 的附近,
4、微分在近似计算中的应用
利用为微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当|∆x |很小时,有
∆y ≈dy =f '(x 0) ∆x
f (x 0+∆x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ∆x
即
或 f (x ) ≈f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0)
特别地,当x 0=0, 且|x |很小时,有f (x ) ≈f (0) +f '(0) x 常见的近似公式有(|x|很小时):
+x ≈1+
tan x ≈x
x
n
e x =1+x ln(1+x ) ≈x sin x ≈x