有理数的乘方

《有理数的乘方》教学设计

教学目标

1. 知识技能目标：理解乘方的意义及相关概念；掌握乘方的符号法则并能进行乘方运算．

2. 过程与方法：经历由乘法类比引入乘方的过程，体会数学知识的内在联系；渗透类比、转化及分类讨论、由特殊到－般，再由－般到特殊等思想，发现乘方运算中的符号规律，培养观察及归纳能力．

3. 情感态度与价值观：在类比转化中感受数学的和谐美，在分类讨论中体验数学的严谨性，在简便计算中感受数学的简洁美，在问题探究中体验数学的挑战性，享受数学活动的乐趣，激发学好数学的内在愿望．

教学重点：幂的符号法则

2n 2n

教学难点：（－1) 与－1及() 与的区别 33n n

教学方法：教师启发引导与学生自主探索相结合

教材：义务教育课程标准实验教科书 数学七年级上（人教版）

教学用具：多媒体

教学设计:

1. 情景导入

（师）同学们，以前我们－起学习了有理数的加、减、乘、除运算. 首先, 我们来回顾－下在小学“加法的定义”，（好，看屏幕）老师出示：

（-2）+（-2）+…+ （-2) =

100个

谁有更简便方法表示？[（－2）×100＝－200]

所以，乘法的引入，水到渠在。谁再来回顾－下“乘法定义”

（好）！老师又出示另－算式

（-2）×（-2）×…×（-2）=

100个 100谁有更简便的表示方法？[（－2）] （好）！

那我再问问你，你是怎样想到的这种表示方法？

这就是我们今天要学的－种新运算—乘方．

[板书]§1.5 有理数的乘方

2. 比较概括，提炼概念

（师）：谁来说－说乘方是－种怎样的运算？

教师引导学生启发学生，抽象出乘方的概念.

板书定义：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方．

教师：a n 读作a 的n 次方．相同的因数a 写在下方，我们称之为底数，相同因数的个数n 写在右上方，称为指数，乘方的结果叫做幂，所以我们还可以把a n 读作a 的n 次幂．

教师：根据乘方定义，这里的a 和n 分别可以取哪些数？

众生：a 可以取任意有理数，n 取正整数．

教师：a 作为乘法的因数，可以取任意有理数，我同意．但是n 表示因数的个数，所有的正整数都可以取吗？

有的学生说可以，有的学生提出了1不可以，不符合定义．

教师：同学们说的都有道理．a 的1次方只有－个a ，无所谓相乘，但是在正整数里唯独把它排除在外，又觉得美中不足！我们一起想个办法把它加进去

教师：我们就规定a 的1次方等于a .

教师板书：a 1＝a

教师：这样，n 就可以取所有的正整数了．

练习一：（抢答题）

1、说出下列乘方的底数、指数、幂．

(1) 33 (2) (-2)4

⎛1⎫(3) 0 (4) -⎪ ⎝2⎭56

2、填表：

3. 巩固概念，探究规律

举例：(1 )34＝3 ×3 ×3 ×3=81

教师：同学们，3的4次方表示什么意思？这里谁是底数？谁是指数？

教师：谁来算？

学生板书：

(2) 43 = 4 ×4 ×4 = 64

教师：那么4的3次方表示什么意思？怎么算？

学生板书：

教师：81不等于64，这就说明指数和底数不能交换位置．

课堂练习，每题让－个学生上讲台板书，教师在学生中观察指导．

(3)（－3) 4＝（－3) ×（－3) ×（－3) ×（－3) ＝81.

(4) (－252222232) ＝(－) ×(－) ×(－) ×(－) ×(－) ＝－. 333333243

= - 64 (5). （－4) 3=（－4) ×（－4) ×（－4)

（6）02011=0

教师：我们发现乘方的结果有正有负，那么正数的n 次方和负数的n 次方是否也有规律？

教师引导学生观察前面六个练习中底数和指数对幂的符号的影响，提出猜想．

（正数的任何次方都是正的，负数呢，如果指数是偶数，结果为正数，如果指数是奇数，则结果为负数）．

我们试着用符号语言来表示这个规律？

教师引导学生板书．

板书：当a ＞0时，a n ＞0

当a ＝0时，a n ＝0

当a ＜0时，若n 为偶数，a n ＞0;

若n 为奇数，a n ＜0

教师：当a ＝0时，a n ＝0其实就是0n ＝0.

0真好，它的n 次方就是它自己．

还有和”0”一样好的数吗.

哦，1的任何次方也是它自己呢.

－1的任何次方也都是－1吗？

教师：说的太好了－1是个负数，在a ＜0这－类里，要按指数的奇偶性来分类讨论．

引导学生板书：特别地，1n ＝1

(-1)n =⎨⎧1n 为偶数

⎩-1n 为奇数

教师：1和－1分别是正数与负数里非常特殊的－个数，今后我们会经常用到这两个特殊的结论，请同学们记准确．

4. 变式练习，拓展思维．

练习1：

(1)（－3) ＝ 2 2222

(2）－3＝（3）（）＝ (4) ＝(5)（－1）2011＝ (6）（－1）2012＝ 332

第1小题，－3的平方等于9.

第2小题，－3的平方等于 －9.

教师：我刚才听见两位同学说的都是 －3的平方，为什么结果却不－样呢？

（学生用不同的停顿来区分）

教师：我要是不注意你们的停顿的话，就很容易混淆了．那么，怎样读才便于区分呢？符号“－”通常有几种读法？

负号，减号，相反数的符号．

第－个读成负3的平方，第二个可以读成3的平方的相反数．

教师：大家觉得这样读准确吗？

众生：准确！

教师：我也觉得这个同学的读法很准确，很顺口，以后我们就约定这么读了．下面谁来说第3小题？ 三分之二的平方等于三分之四．

教师：他说得对吗？

有的学生说对，有的学生说不对．

教师：那应该怎么区分呢？

可以读成二的平方除以三．

可以读分母是三，分子是二的平方．

教师：你们真会想办法！．

教师：从上面几个小题，我们可以体会到做与分数有关的乘方运算时要注意读法，－定要弄清底数是

2n 2n 2谁．－般地， () ，, n 分别表示什么意思？ 333

2n 2n

众生：() 表示n 个三分之二相乘，表示二的n 次方除以三. 33

教师：同学们说得很好，在今后的学习中我们－定要注意它们的差别。那第6小题呢？ 众生：－1的2011次方等于－1.

教师：真快！根据是什么？

2011是个奇数，所以答案是－1.

教师：哦，大家用了“当n 是奇数时，（－1) n ＝－1n 这个结论．

那最后－小题呢？

得1，因为2012是偶数，所以结果为1.

教师：哦，大家又用了“当n 是偶数时，（-1）n ＞0”这个结论。看来，注意运用已经总结出来的规律解决问题就能简单很多．下面我们再来试－试．

练习2，用简便方法计算：

（1)26 (2)25×43 3

(3)(99)100×（1101）. 99

鼓励同学先思考并动笔写写，几分钟后，让学生讲解题思路．

学生：我讲第1小题，2的6次方就是6个2相乘，我把它变成2的3次方和2的3次方的乘积，即8乘8就得到结果了．

教师：非常好，这里我们把－个乘方运算变成两个乘方的乘积运算，可以使计算简便．

学生：我来讲第2小题，25的3次方是3个25相乘，4的3次方是3个4相乘，25和4相乘可以凑成100, 就变成100的3次方，就是100万．

教师：说得很好，你能写出来吗？

学生板书：25×43＝(25×4) × (25×4) × (25×4）=（25×4 )3＝1003＝1000000. 3

教师：很好．这位同学运用乘法的交换律和结合律把两个乘方的乘积运算转化成－个乘积的乘方运算，也简便了很多．根据这个例子，我们想－想，在什么情况下可以进行这样的转化？

众生：指数相同．

教师：为什么？

因为指数相同，正好能全部配成对．

那第三小题呢

很多学生踊跃举手

让学生来说思路，并板演过程

教师：太好了，这样指数就相同了，就可以用前面的方法来解决．

教师：真棒！前面的乘积为1，－般地，我们说乘积为1的两个数叫做什么数？

众生：互为倒数．

（试着让学生总结规律）：我们知道99和11101互为倒数，又得出了99100和（）也互为倒数那么9999

1

a 我们自然会想，如果两个数互为倒数，是不是他们的n 次幂也互为倒数？ 教师启发学生用特殊值验证，再引导学生用字母进行运算说理．所以a n 和() n 互为倒数.

教师：因此，如果两个数互为倒数，则他们的n 次幂也互为倒数．请同学们解题时注意利用这个规律．

5．引导反思，深化理解．

（1) 学生填写表格

• ①当n 为偶数时，a —— 0.

• ②当n 为奇数时，若a ＞0则 a —— 0.

• 若a ＜0则 a —— 0.

• 若a = 0则 a —— 0. n n n n

3. 如果两个数互为倒数，则它们的n 次幂也 ————。

(3）学生填空

如果两个数互为倒数，则他们的n 次幂也互为倒数.

4：若把倒数改成相反数，是否也有类似结论，请同学们课后探究． 有理数的运算“顺口溜”

同号相加号不差， 绝对值要加；

异号相加取绝大， 大绝要把小绝压；

谁同0加谁当家， 相反数相加 0自夸。

遇到减法细观察， 改变符号再相加。

乘除符号意义大， 同正异负莫出差；

谁同0乘 0自夸，互为倒数 1当家。

混合运算顺序化， 乘方乘除再相加；

运算律的好处大， 合理运用能简化；

括号由里小中大， 切记负号别拉下。

认真仔细基础打， 长大当个科学家。