高一数学数列部分经典习题及答案
. 数 列
一.数列的概念: (1)已知a n =
n 1*
(n ∈N ) ,则在数列的最大项为__(答:); {a }n
n 2+15625
an
,其中a , b 均为正数,则a n 与a n +1的大小关系为__(答:a n
(2)数列{a n }的通项为a n =
(3)已知数列{a n }中,a n =n 2+λn ,且{a n }是递增数列,求实数λ的取值范围(答:λ>-3); 二.等差数列的有关概念:
1.等差数列的判断方法:定义法a n +1-a n =d (d 为常数)或a n +1-a n =a n -a n -1(n ≥2) 。 设{a n } 是等差数列,求证:以b n =
a 1+a 2+ +a n
n ∈N *为通项公式的数列{b n }为等差数列。
n
2.等差数列的通项:a n =a 1+(n -1) d 或a n =a m +(n -m ) d 。
(1)等差数列{a n }中,a 10=30,a 20=50,则通项a n =2n +10);
(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:
8
3.等差数列的前n 和:S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
d 。 ,S n =na 1+
22
1315
(n ≥2, n ∈N *) ,a n =,前n 项和S n =-,求a 1,n (答:a 1=-3,n =10); 222
2
(1)数列 {a n }中,a n =a n -1+
2*
⎧⎪12n -n (n ≤6, n ∈N ) T n =⎨2(2)已知数列 {a n }的前n 项和S n =12n -n ,求数列{|a n |}的前n 项和T n (答:). *
⎪⎩n -12n +72(n >6, n ∈N )
三.等差数列的性质:
1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数,且率为公差d ;前n 和
S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222
2.若公差d >0,则为递增等差数列,若公差d
(1)等差数列{a n }中,S n =18, a n +a n -1+a n -2=3, S 3=1,则n =____ (答:27) (2)在等差数列{a n }中,a 100,且a 11>|a 10|,S n 是其前n 项和,则
A 、S 1, S 2 S 10都小于0,S 11, S 12 都大于0 B 、S 1, S 2 S 19都小于0,S 20, S 21 都大于0 C 、S 1, S 2 S 5都小于0,S 6, S 7 都大于0 D 、S 1, S 2 S 20都小于0,S 21, S 22 都大于0
(答:B )
*
4.若{a n }、{b n }是等差数列,则{ka n }、{ka n +pb n } (k 、p 是非零常数) 、{a p +nq }(p , q ∈N ) 、
S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,„也成等差数列,而{a a n }成等比数列;若{a n }是等比数列,且a n >0,则{lga n }是等
差数列. 等差数列的前n 项和为25,前2n 项和为100,则它的前3n 和为。(答:225)
5.在等差数列{a n }中,当项数为偶数2n 时,项数为奇数2n -1时,S 偶-S 奇=nd ;S 奇-S 偶=a 中,S 2n -1=(2n -1) ⋅a 中
(这里a 中即a n );S 奇:S 偶=(k +1) :k 。如 (1)在等差数列中,S 11=22,则a 6=______(答:2);
(2)项数为奇数的等差数列{a n }中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). 6.若等差数列{a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ,且
A n a (2n -1) a n A 2n -1
=f (n ) ,则 n ===f (2n -1) . B n b n (2n -1) b n B 2n -1
如设{a n }与{b n }是两个等差数列,它们的前n 项和分别为S n 和T n ,若
a 6n -2S n 3n +1
,求n (答:) =
8n -7T n 4n -3b n
7.“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小
a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫确定出前多少项为非负(或非正)值是所有非正项之和。法一:由不等式组⎧; 或⎨⎪⎨
⎩a n +1≤0⎝
⎪
⎩a n +1≥0⎭
法二:因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n ∈N 。
(1)等差数列{a n }中,a 1=25,S 9=S 17,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大, (2)若{a n }是等差数列,首项a 1>0, a 2003+a 2004>0,a 2003⋅a 20040成立的最大正整数n 是
(答:4006)
8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差
数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究a n =b m . 四.等比数列的有关概念: 1.等比数列的判断方法:定义法
*
a n +1a a
,其中q ≠0, a n ≠0或n +1=n (n ≥2) 。 =q (q 为常数)
a n a n a n -1
(1)一个等比数列{a n }共有2n +1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则a n +1为____(答:
5
); 6
(2)数列{a n }中,S n =4a n -1+1 (n ≥2) 且a 1=1,若b n =a n +1-2a n ,求证:数列{b n }是等比数列。 2.等比数列的通项:a n =a 1q n -1或a n =a m q n -m 。
设等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,前n 项和S n =126,求n 和公比q . (答:n =6,q =
1
或2) 2
a 1(1-q n ) a 1-a n q
3.等比数列的前n 和:当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =。如 =
1-q 1-q
(1)等比数列中,q =2,S 99=77,求a 3+a 6+ +a 99 (答:44)
特别提醒:等比数列前n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q 是否为1时,要对q 分q =1和q ≠1两种情形讨论求解。 4.提醒:(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:a 1、q 、n 、a n 及S n ,其中a 1、
q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少
运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为„,
a a
, , a , aq , aq 2„(公比为q );但偶数2
q q
个数成等比时,不能设为„
a a
, , aq , aq 3,„,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且3
q q
公比为q 2。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
5. 等比数列的性质:
(1)当m +n =p +q 时,则有a m a n =a p a q ,特别地,当m +n =2p 时,则有a m a n =a p 2.
(1)在等比数列{a n }中,a 3+a 8=124, a 4a 7=-512,公比q 是整数,则a 10=___(答:512); (2)各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5⋅a 6=9,则log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10=(答:10)。
(2) 若{a n }是等比数列,则{|a n |}、{a p +nq }(p , q ∈N ) 、{ka n }成等比数列;若{a n }、{b n }成等比数列,则{a n b n }、
*
a
n 成等比数列; 若{a n }是等比数列,且公比q ≠-1,则数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,„也是等比数列。当q =-1,n
且n 为偶数时,数列S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,„是常数数列0,它不是等比数列.
(1)已知a >0且a ≠1,设数列{x n }满足log a x n +1=1+log a x n (n ∈N *),且x 1+x 2+ +x 100=100,则
x 101+x 102+ +x 200=答:100a 100);
(2)在等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若S 30=13S 10, S 10+S 30=140,求S 20的值(答:40)
(3)若a 1>0, q >1,则{a n }为递增数列;若a 11, 则{a n }为递减数列;若a 1>0,0
-a 1n a
q +1=aq n +b ,这里a +b =0,但a ≠0, b ≠0,这是等比数列前n 项和公式的一1-q 1-q
个特征,据此很容易根据S n ,判断数列{a n }是否为等比数列。
若{a n }是等比数列,且S n =3n +r ,则r =(答:-1)
(5) S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m . 如设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1, S n , S n +2成等差数列,则
q 的值为_____(答:-2)
(6) 在等比数列{a n }中,当项数为偶数2n 时,S 偶=qS 奇;项数为奇数2n -1时,S 奇=a 1+qS 偶.
(7)如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列,那么数列{a n }是非零常数数列,故常数数列{a n }仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ), 关于数列{a n }有下列三个命题:①若a n =a n +1
(n ∈N ) ,则{a n }既是等差
n
数列又是等比数列;②若S n =a n 2+b n (a 、b ∈R ),则{a n }是等差数列;③若S n =1-(-1),则{a n }是等比数列。这些命题中,真命题的序号是
(答:②③)
五. 数列的通项的求法: ⑴公式法:
⑵已知S n (即a 1+a 2+ +a n =f (n ) )求a n ,用作差法:a n =
{
S 1,(n =1)
。
S n -S n -1,(n ≥2)
①已知{a n }的前n 项和满足log 2(S n +1) =n +1,求a n (答:a n =
{
3, n =1
);
2n , n ≥2
②数列{a n }满足
11114, n =1a 1+2a 2+ +n a n =2n +5,求a n (答:a n =n +1)
2, n ≥2222
{
f (1),(n =1) ⎧⎪f (n )
⑶已知a 1 。如数列{a n }中,a 1=1, 对所有的n ≥2都有a 2 a n =f (n ) 求a n ,用作商法:a n =⎨
,(n ≥2)
⎪⎩f (n -1)
a 1a 2a 3 a n =n 2,则a 3+a 5=______(答:
61) 16
⑷若a n +1-a n =f (n ) 求a n 用累加法:a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) 如已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n -1=+a 1(n ≥2) 。
1n +1+n
(n ≥2) ,则a n =_______(
答: a n 1)
⑸已知
a n +1a a a =f (n ) 求a n ,用累乘法:a n =n ⋅n -1⋅ ⋅2⋅a 1(n ≥2) 。如已知数列{a n }中,a 1=2,前n 项和S n ,a n a n -1a n -2a 1
2
若S n =n a n ,求a n (答:a n =
4
)
n (n +1)
⑹已知递推关系求a n ,用构造法(构造等差、等比数列)。
特别地,(1)形如a n =ka n -1+b 、a n =ka n -1+b n (k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的
等比数列后,再求a n 。
① 已知a 1=1, a n =3a n -1+2,求a n (答:a n =2 ; 3n -1-1)② 已知a 1=1, a n =3a n -1+2n ,求a n (答:a n =5 ; 3n -1-2n +1)(2)形如a n =
a n -1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka n -1+b
1a n -1
,求a n (答:a n =);
3n -23a n -1+1
①已知a 1=1, a n =
②已知数列满足a 1=1
=a n (答:a n =
1
) 2n
注意:(1)用a n =S n -S n -1求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(n ≥2,当n =1时,;a 1=S 1)(2)一般地当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时,常需运用关系式a n =S n -S n -1,先将已知条件转化为只含a n 或
54, n =1
) S n 的关系式,然后再求解。如数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=a n +1,求a n (答:a n =n -1
3 4, n ≥23
六. 数列求和的常用方法:
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1
222
的关系,必要时需分类讨论. ;③常用公式:1+2+3+ +n =n (n +1) ,1+2+ +n =n (n +1)(2n +1) ,
{
13+23+33+ +n 3=[
n (n +1) 2
]. 如 2
n
(1)等比数列{a n }的前n 项和S n=2-1,则a +a +a + +a 2122232
n =_____(答:
4n -1
); 3
2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求:S n =-1+3-5+7- +(-1) n (2n -1) (答:(-1) n ⋅n )
3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法).
1117x 2
f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f () +f () +f () 已知f (x ) =,则=______(答:)
23421+x 2
4.错位相减法:
设{a n }为等比数列,T n =na 1+(n -1) a 2+ +2a n -1+a n ,已知T 1=1,T 2=4,①求数列{a n }的首项和公比;②求数列{T n }的通项公式. (答:①a 1=1,q =2;②T n =2n +1-n -2);
5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有: ①
=-; ②=(-) ;
③
[1**********]1
④
n 111111
;
=-=[-] ;⑤
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) (n +1)! n ! (n +1)!
=.
⑥=
(1)求和:
n 111
); ++ +=(答:
1⨯44⨯7(3n -2) ⨯(3n +1) 3n +1
1n +n +1
,且S n=9,则n =_____(答:99);
(2)在数列{a n }中,a n =
6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如
①求数列1×4,2×5,3×6,„,n ⨯(n +3) ,„前n 项和S n (答:
n (n +1)(n +5)
);
3
②求和:1+
2n 111
) ++ +=(答:
n +11+21+2+31+2+3+ +n